1、第1课时坐标系考情考向分析极坐标方程与直角坐标方程互化是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，属于低档题1平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系它使平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系点O称为极点，射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM
2、的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为点M的极径，称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系我们约定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的任一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立：或这就是极坐标与直角坐标的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a,0
3、)，与极轴垂直的直线cosa过点，与极轴平行的直线sin_a(0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()题组二教材改编2P11例5在直角坐标系中，若点P的坐标为(，)，则点P的极坐标为_答案解析2，tan，又点P在第三象限，得，即P.3P32习题T4若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x
4、1)的极坐标方程为_答案解析y1x(0x1)，sin1cos(0cos1)，.4P32习题T5在极坐标系中，圆2sin(0,00)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin10.(1)求圆C的圆心的极坐标；(2)当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围解(1)由C：得(x2)2(y2)2r2，曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆，圆心的极坐标为.(2)由直线l：sin10，得直线l的直角坐标方程为xy10，从而圆心(2,2)到直线l的距离d.圆C与直线l有公共点，dr，即r.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴
5、的正半轴重合；取相同的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos及ysin直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换题型二求曲线的极坐标方程例1将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的任一点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意
6、，得由xy1，得x221，即曲线C的标准方程为x21.(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos4sin3，故所求直线的极坐标方程为.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程跟踪训练1已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y
7、0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)2x2y2，xcos，ysin，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，22cos2sin0，圆C的极坐标方程为2sin.又直线l的参数方程为(t为参数)，消去t后得yx1，直线l的极坐标方程为sincos.(2)当时，OP2sin2，点P的极坐标为，OQ，点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.题型三极坐标方程的应用例2在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4.(1
8、)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OMOP16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)由题意知OP，OM1.由OMOP16，得C2的极坐标方程4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题意，知OA2，B4cos，于是OAB的面积SOABsinAOB4cos22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.思维升华极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与
9、x轴正半轴重合；取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系跟踪训练2在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长解由sin2，得(sincos)2，可化为xy20.圆4可化为x2y216，圆心(0,0)到直线xy20的距离d2，由圆中的弦长公式，得弦长l224.故所求弦长为4.1(2018江苏省南京师范大学附属中学模拟)在极坐标系中
10、，已知圆C：2cos和直线l：(R)相交于A，B两点，求线段AB的长解圆C：2cos的直角坐标方程为x2y22x0，即(x)2y22，直线l：(R)的直角坐标方程为yx，圆心C到直线l的距离d1，所以AB22.2在极坐标系中，圆C的极坐标方程为28sin130，已知A，B，P为圆C上一点，求PAB面积的最小值解圆C的直角坐标方程为x2y24x4y130，即(x2)2(y2)23，由题意，得A(0，1)，B(0，3)，所以AB2.P到直线AB距离的最小值为2，所以PAB面积的最小值为2.3(2018江苏省姜堰、溧阳、前黄中学联考)圆C：2cos，与极轴交于点A(异于极点O)，求直线CA的极坐标方
11、程解圆C：22coscossin，所以x2y2xy0，所以圆心C，与极轴交于A(，0)直线CA的直角坐标方程为xy，即直线CA的极坐标方程为cos1.4在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若OP3OQ，求直线l的极坐标方程解(1)，siny，化为sin2，曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R)，根据题意知3，解得0或0，直线l的极坐标方程为(R)或(R)5在极坐标系中，P是曲线C1：12sin上的动点，Q是曲线C2：12cos上的动点
12、，求PQ的最大值解对曲线C1的极坐标方程进行转化，12sin，212sin，x2y212y0，即x2(y6)236.对曲线C2的极坐标方程进行转化，12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，PQmax6618.6在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解(1)因为xcos，ysin，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4s
13、in40，得2340，解得12，2.故12，即MN.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.7(2018江苏江阴中学调研)在极坐标系中，设圆C：4cos与直线l：(R)交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程解以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则由题意，得圆C的直角坐标方程为x2y24x0，直线l的直角坐标方程为yx.由解得或所以交点的坐标分别为(0,0)，(2,2)所以以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，即x2y22x2y，将其化为极坐标方程为22(cossin)，即2(cossin)8以原点O为极点，x轴正半轴为极
14、轴建立极坐标系，直线l的方程为sin，C的极坐标方程为4cos2sin.(1)求直线l和C的直角坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长解(1)直线l：sin，yx，即yx2.C：4cos2sin，24cos2sin，x2y24x2y，即x2y24x2y0.(2)C：x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25.圆心C(2,1)，半径R，C的圆心C到直线l的距离d，AB22.弦AB的长为.9在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点
15、，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标解(1)xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos，sin)，根据题意，设PQ2cos，QR2sin，PQQR42sin，当时，PQQR取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.10(2018江苏)在极坐标系中，直线l的方程为sin2，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长解因为曲线C的极坐标方程为4cos，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为sin2，则直线l过点A(4,0)，且倾
16、斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB.如图，连结OB.因为OA为直径，从而OBA，所以AB4cos2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.11已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为(sincos)1，求直线l被曲线C截得的弦长解(1)曲线C的参数方程为(为参数)，曲线C的普通方程为(x2)2(y1)25.将代入并化简得4cos2sin，即曲线C的极坐标方程为4cos2sin.(2)l的直角坐标方程为xy10，圆心C(2,1)到直线l的距离d，弦长为22.12在极坐标系中，曲线C：2acos(a0)，l：cos，C与l有且仅有一个公共点(1)求a；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且AOB，求OAOB的最大值解(1)曲线C：2acos(a0)，变形为22acos，化为x2y22ax，即(xa)2y2a2，曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆由l：cos，展开为cossin，l的直角坐标方程为xy30.由题意，知直线l与圆C相切，即a，又a0，a1.(2)由(1)知，曲线C：2cos.不妨设A的极角为，B的极角为，则OAOB2cos2cos3cossin2cos，当时，OAOB取得最大值2.13
