1、9.3圆的方程最新考纲回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(xa)2(yb)2r2(r0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r概念方法微思考1二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？提示2已知C：x2y2DxEyF0，则“EF0且D0”是“C与y轴相切于原点”的什么条件？提示由题意可知，C与y轴相切于原点时，圆心坐标为，而D可以大于0，所以“EF0且Dr2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.()(5)方
2、程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆()题组二教材改编2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22.3以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4y0相切的圆的方程是()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案A4圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_答案(x2)2y210解析设圆心坐标为C
3、(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y210.题组三易错自纠5若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是()A(，)(，)B(，2)(2，)C(，)(，)D(，2)(2，)答案B解析将x2y2mx2y30化为圆的标准方程得2(y1)22.由其表示圆可得20，解得m2.6若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1B0a1或a1Da4答案A解析点(1,1)在圆内，(1a)2(a1)24，即1a0)，又圆与直线4x3y0相切，1，解得a2或a(舍去)圆的标
4、准方程为(x2)2(y1)21.故选A.题型一圆的方程例1(1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.2y2B.2y2C.2y2D.2y2答案C解析方法一(待定系数法)根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0)，半径为r，则圆E的标准方程为(xa)2y2r2(a0)由题意得解得所以圆E的标准方程为2y2.方法二(待定系数法)设圆E的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2y2x10，即2y2.方法三(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB
5、的垂直平分线y2(x1)上又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为|EB|，所以圆E的标准方程为2y2.(2)(2018安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线xy0上，圆C与直线xy0相切，且在直线xy30上截得的弦长为，则圆C的方程为_答案(x1)2(y1)22解析方法一所求圆的圆心在直线xy0上，设所求圆的圆心为(a，a)又所求圆与直线xy0相切，半径r|a|.又所求圆在直线xy30上截得的弦长为，圆心(a，a)到直线xy30的距离d，d22r2，即2a2，解得a1，圆C的方程为(x1)2(y1)22.方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则
6、圆心(a，b)到直线xy30的距离d，r2，即2r2(ab3)23.由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2.又圆心在直线xy0上，ab0.联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.方法三设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，半径r，圆心在直线xy0上，0，即DE0，又圆C与直线xy0相切，即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d22r2，(DE6)2122(D2E24F)，联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程(2)待定系数法若已
7、知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值跟踪训练1一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_答案x2y26x2y10或x2y26x2y10解析方法一所求圆的圆心在直线x3y0上，设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10
8、或x2y26x2y10.方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx的距离为，r27，即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切，r2a2，又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法三设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圆与y轴相切，0，则E24F.圆心到直线yx的距离为d，由已知得d2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线x3y0上，D3E0.联立
9、，解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(
10、由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆的几何性质列方程相关点代入法：找到要求点与已知点
11、的关系，代入已知点满足的关系式跟踪训练2设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x0，y0)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为圆(x3)2(y4)24，除去两点和.题型三与圆有关的最值问题例3已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解设txy，则y
12、xt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.引申探究1在本例的条件下，求的最大值和最小值解可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，的最大值为2，最小值为2.2在本例的条件下，求的最大值和最小值解，求它的最值可视为求点(x，y)到
13、定点(1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点(1,2)的距离为，的最大值为1，最小值为1.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题跟踪训练3已知实数x，y
14、满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处
15、取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.1若a，则方程x2y2ax2ay2a2a10表示的圆的个数为()A0B1C2D3答案B解析方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1)0，即3a24a40，解得2a.又a，仅当a0时，方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，故选B.2(2018海淀模拟)若直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴，则a的值为()A1B1C2D2答案B解析圆的方程x2y22y0可化为(x1)2y21，可得圆的圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为xya0是圆x2y22y0的
16、一条对称轴，所以圆心(1,0)在直线xya0上，可得1a0，a1，即a的值为1，故选B.3以(a,1)为圆心，且与两条直线2xy40,2xy60同时相切的圆的标准方程为()A(x1)2(y1)25B(x1)2(y1)25C(x1)2y25Dx2(y1)25答案A解析由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.，解得a1.r，所求圆的标准方程为(x1)2(y1)25.4圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0Bx2y210y0Cx2y210x0Dx2y210x0答案B解析根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32(r1)2r2，解
17、得r5，可得圆的方程为x2y210y0.5(2018重庆模拟)已知圆C1：(x1)2(y1)24，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)24B(x2)2(y2)24C(x2)2(y2)24D(x2)2(y2)24答案B解析根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，圆C1：(x1)2(y1)24，其圆心为(1,1)，半径为2，若圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C1与C2的圆心关于直线xy10对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x2)2(y2)24.6(2018长沙模拟)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是()A1B2C
18、1D22答案A解析将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2的距离的最大值为d11，故选A.7已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，5为半径的圆8已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为_答案(0，1)解析圆C的方程可化为2(y1)2k21
19、，所以当k0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，1)9若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_答案(x2)22解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)又因为圆与直线y1相切，所以|1m|，解得m.所以圆C的方程为(x2)22.10点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_答案(x2)2(y1)21解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则解得代入xy4中，得(x2)2(y1)21.11已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上，(1)求的最大值和最小值
20、；(2)求xy的最大值和最小值解方程x2y26x6y140可变形为(x3)2(y3)24，则圆C的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示设切线方程为ykx，即kxy0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径，可得2，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)(转化为截距的最值问题求解)设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距，显然当动直线yxb与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示由圆心C(3,3)到切线xyb的距离等于圆C的半径，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值为
21、62，最小值为62.12在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P点的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x01，即y0x01.当y0x01时，由yx1，得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由yx1，得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.13已
22、知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点记d|PB|2|PA|2，其中A(0,1)，B(0，1)，则d的最大值为_答案74解析设P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x(y01)2x(y01)22(xy)2.xy为圆上任一点到原点距离的平方，(xy)max(51)236，dmax74.14已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x2y0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆C的方程为_答案(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知或故所求圆C的方程为(x1)
23、2(y1)22或(x1)2(y1)22.15已知动点P(x，y)满足x2y22|x|2|y|0，O为坐标原点，则的最大值为_答案2解析表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离当x0，y0时，x2y22x2y0化为222，曲线上的点到原点的距离的最大值为22，当x0，y0时，x2y22x2y0化为222，曲线上的点到原点的距离的最大值为22，当x0，y0时，x2y22x2y0化为222，曲线上的点到原点的距离的最大值为22，当x0，b0)对称，求的最小值解由圆x2y24x12y10知，其标准方程为(x2)2(y6)239，圆x2y24x12y10关于直线axby60(a0，b0)对称，该直线经过圆心(2,6)，即2a6b60，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号16
