1、第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1(2018开封质检)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e.又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为点(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(
2、kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故k2，则m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m22，显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)设原点O到直线的距离为d，则SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1)思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的
3、范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练1(2018浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y
4、22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPAB|PM|y1y2|.因为x1(1x00，y1y2，y1y2.|AB|，将代入上式得|AB|，|m|1，SAOB|AB|11，当且仅当|m|，即m时，等号成立，AOB面积的最大值为1.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(
5、些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解跟踪训练2(2018邢台模拟)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m.(2)令t，则t2.则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.1已知P(x0，y0)是椭
6、圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则x0的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析由题意可知，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy30，点P在椭圆上，则y1，故x30，解得x0，即x0的取值范围是.2定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为()A1B.C2D5答案B解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2x的焦点为F，抛物线的准线为x，所求的距离d，所以(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号)3过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，
7、则|FA|的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1|AF|cos，|AF|(1cos)，|AF|.由得1cos，22(1cos)4，b0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足cb，则c2b2a2c2，所以2c2a2，所以e0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D1答案A解析由题意可得F，设P(y00)
8、，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选A.6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则AOB面积的最小值为()A.B2C2D4答案B解析设P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在抛物线上，所以y1，y2.因为y，则过点A，B的切线分别为y(xx1)，y(xx2)均过点P(x0，1)，则1(x0x1)，1(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的两根，则x1x22x0，x1x24，设直线AB的方程为ykxb，联立得x24kx4b0，则x1x24b4，即b1，|AB|x1x2|，O到直线AB的
9、距离d，则SAOB|AB|d2，即AOB的面积的最小值为2，故选B.7椭圆C：y21(a1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|BF2|的最大值等于_答案7解析因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦点弦性质，知当ABx轴时，|AB|取最小值21，因此|AF2|BF2|的最大值等于817.8(2018晋城模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|t|PF2|(t(1,3)，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范
10、围是_答案(0，解析由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|PF2|2c，|PF1|PF2|2c，整理得e1，1t3，12，1e2.又e21，03，故00，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若PQF2的周长为16，则的最大值为_答案解析由题意，得ABF2的周长为32，|AF2|BF2|AB|32，|AF2|BF2|AB|4a，|AB|，324a，b(0a8)，令ta1(1tb0)的一个顶点坐标为B1(0，)，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，点P是该椭圆内一点，四边形ABCD(ABCD)的对
11、角线AC和BD交于点P，设直线AB：yxm，记g(m)S，求f(m)g(m)m34m3的最大值解(1)顶点坐标为B1(0，)，b22，椭圆方程为1.(2)联立lAB与椭圆方程整理得3x24mx2m240，488m20，即m20，b0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B，C两点，记BAC，若的离心率为，则()ABCD答案B解析e，ca，b2c2a2a2，双曲线方程可变形为x2y2a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，xya2.A(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，(x0a)(x0a)ya2xy0，即.故选B.14若点O和点F分别为椭圆
12、1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值为6.15如图，由抛物线y212x与圆E：(x3)2y216的实线部分构成图形，过点P(3,0)的直线始终与图形中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为()A4,5 B7,8 C6,7D5,6答案B解析由题意可知抛物线y212x的焦点为F(3,0)，圆(x3)2y216的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|x03，由得(x3)212x16，整理得x26x70，解得x11，x27(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xCxD1，因此0x01，又|AB|AP|BP|4x03x07，所以|AB|x077,8，故选B.16已知椭圆C1：1与双曲线C2：1有相同的焦点，求椭圆C1的离心率e1的取值范围解椭圆C1：1，am4，bn，cm4n，e1.双曲线C2：1，am，bn，cmn，由条件知m4nmn，则n2，e1.由m0得m44，1，即e，而0e11，e11.14
