1、第九章 平面解析几何考试内容等级要求直线的斜率与倾斜角B直线方程C直线的平行关系与垂直关系B两条直线的交点B两点间的距离，点到直线的距离B圆的标准方程与一般方程C直线与圆、圆与圆的位置关系B中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质B中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质A顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质A曲线与方程A9.1直线的方程考情考向分析以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在填空题中出现1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转
2、到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式(x1x2，y1y2)不含直线xx1和直线yy1截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k
3、就越大吗？提示倾斜角0，)，当时，斜率k不存在；因为ktan.当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当(0，)且时就不是了2“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数应注意过原点的特殊情况是否满足题意题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)若直线的斜率为tan，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(
4、x2x1)(xx1)(y2y1)表示()题组二教材改编2P80T6若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为答案1解析由题意得1，解得m1.3P88T13过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是答案解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是.5(2018江苏省南京市秦淮中学期末)已知倾斜角为90的直线经过点A(2m,3)，B(2，1)，则m的值为答案1
5、解析倾斜角为90的直线经过点A(2m,3)，B(2，1)，2m2，解得m1.6过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线xsiny20的倾斜角的取值
6、范围是答案解析设直线的倾斜角为，则有tansin，又sin1,1，0，)，所以0或.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为答案(，1，)解析如图，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的取值范围为
7、0，45135，180)思维升华 (1)倾斜角与斜率k的关系当时，k0，)当时，斜率k不存在当时，k(，0)(2)斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan求斜率公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan的单调性跟踪训练1(1)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a.答案1或0解析平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.(2)若直线l经过A(3,1)
8、，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是答案解析直线l的斜率k1m21，所以ktan1.又ytan在上是增函数，因此.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的；(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且AB5.解(1)方法一设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.方法二由
9、题意，所求直线的斜率k存在且k0，设直线方程为y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直线l的方程为y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时AB5，即x1为所求设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得两直线交点为(k2，否则与已知直线平行)则B点坐标为.由已知2252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求
10、直线的方程为x1或3x4y10.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况跟踪训练2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin(00，b0，直线l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.
11、命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以OAOBab(ab)5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当OAOB取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.1直线xya0(a为常数)的倾斜角为答案60解析设直线的倾斜角为，斜率为k，化直线方程为yxa，ktan.0180，60.2过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方
12、程是答案x2解析直线yx1的斜率为1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为，斜率不存在，过点(2,1)的直线方程为x2.3直线MN的斜率为2，其中点N(1，1)，点M在直线yx1上，则点M的坐标为答案M(4,5)解析设M的坐标为(a，b)，若点M在直线yx1上，则有ba1.若直线MN的斜率为2，则有2.联立可得a4，b5，即M的坐标为(4,5)4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为答案k1k3k2解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k30，所以A，B(0,12k)，故SOAOB(12k)(44)4，当且仅当4k
13、，即k时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.13已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为答案150解析由y，得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长AB22，所以SAOB21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，由图可得k，故直线l的倾斜角为150.14设点A(2,3)，B(3,2)，若直线axy20与线段AB没有交点，则a的取值范围是答案解析直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，kMA，kMB，结合题意可知a，且a0，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则的最小值为答案解析动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，abmc30.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，3，解得m0.ac3.则(ac)，当且仅当c2a2时取等号15
