1、9.9曲线与方程考情考向分析以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤3几种常见的求轨迹方程的方法(1)直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法(2)定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的
2、定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件(3)相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0，y0可用x，y表示，则将点Q的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法)概念方法微思考1f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件吗？提示是如果曲线C的方程是f(x，y)0，则曲线C上的点的坐标满足f(x，y)0，以f(x，y)0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)0是点P(x0，
3、y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件2曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(3)ykx与xy表示同一直线()(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()题组二教材改编2P64T10已知点F，直线l：x，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的
4、直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是_答案y2x解析由已知MFMB，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3P64T9设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心的轨迹方程为_答案x28y84P64T8设P为曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是_答案x24y21解析设P(x0，y0)，M(x，y)，则x02x，y02y，代入y1，得x24y21.题组三易错自纠5方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是_答案一条直线和一条射线解析原方程可化为或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条
5、射线和一条直线6到定点(0,7)和到定直线y7的距离相等的点的轨迹方程是_答案x228y7已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_答案x2y24(x2)解析连结OP，则OP2，P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，方程为x2y24(x2)题型一定义法求轨迹方程例1已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程解由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PMPN(Rr1)(
6、r2R)r1r242MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制跟踪训练1在ABC中，BC4，ABC的内切圆切BC于D点，且BDCD2，则顶点A的轨迹方程为_答案1(x)解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点则BEBD，CDCF，AEAF.所
7、以ABAC2)题型二直接法求轨迹方程例2已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程(1)证明由题意知，F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，则SABF|ba|FD|ba|，
8、SPQF.由题意可得|ba|，所以x11或x10(舍去)设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2x1.所以所求轨迹方程为y2x1.思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2
9、分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足2，求点M的轨迹方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得PF2F1F2，即2c，整理得2210，得1(舍去)或，所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c，代入直线方程得不妨设A，B(0，c)设点M的坐标为(x，y)，则，(x，yc)由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)，由2，即x
10、x2.化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)题型三相关点法求轨迹方程例3如图所示，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知抛物线E：y22x.设C，D，y10，y20，切线l1的斜率为k，则切线l1：yy
11、1k，代入y22x，得ky22y2y1ky0，由0，解得k，l1的方程为yx，同理l2的方程为yx.联立解得易知CD的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足xy8，x02,2，由得x0y22y0y160，y1,2，则代入可得M(x，y)满足可得代入xy8，并化简，得y21，考虑到x02,2，知x4，2，动点M的轨迹方程为y21，x4，2思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程跟踪训练3如图，动圆C1：x2y2t2,1t3与椭圆
12、C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，yb0)由题意得解得所以椭圆方程为t2(t21)x2(t21)y2t2.(2)设点P(x，y)，Q(x1，y1)，解方程组得由t和，得或其中t1.消去t，得点P
13、的轨迹方程为x2y和x2y.其轨迹为抛物线x2y在直线x右侧的部分和抛物线x2y在直线x左侧的部分1设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且PA1，则点P的轨迹方程是_答案(x1)2y22解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连结MA，PM，则MAPA，且MA1，又PA1，PM，即PM22，(x1)2y22.2已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|2，则P点的轨迹方程是_答案4x24y24x8y10解析设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x1，y2)，(2x1,2y2)所以(2x1)2(2y2)24，整理得4x24y24x8y10.3在平面直角坐标系中，已知
14、两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹方程是_答案x2y50解析设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，化简得x2y50.4设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是_答案x23y21(x0，y0)解析设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，所以即ax0，b3y0.由题意得，点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入axby1得所求的轨迹方程
15、为x23y21(x0，y0)5已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是_答案y21(y1)解析由两点间距离公式，可得AC13，BC15，AB14，因为A，B都在椭圆上，所以AFACBFBC，AFBFBCAC22，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，其方程为1(y0)9.如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是_答案椭圆解析可构造如图所示的圆锥母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线
16、的定义可知，P的轨迹为椭圆10如图，P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且，则动点Q的轨迹方程是_答案1解析由于，又22，设Q(x，y)，则，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.11.如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程；(2)若APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值(1)解由已知可设抛物线的方程为x22py(p0)因为点P(2,1)在抛物线上，所以222p1，解得p2.故抛物线的方程为x24y.(2)证明由题意知kAPkBP0，所以0.所以0，
17、所以0，所以x1x24.所以kAB1.所以直线AB的斜率为定值12.如图，P是圆x2y24上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程解(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由知，P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21，轨迹C为椭圆(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，(*)设A(x1，y1)，
18、B(x2，y2)，则x1,2，x1x2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.四边形OAEB为平行四边形，(x1x2，y1y2)，又(x，y)，消去k，得x24y26x0，由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0，得k2，0x0，满足题意14设点P(x，y)是曲线a|x|b|y|1(a0，b0)上的动点，且满足2，则ab的取值范围为_答案2，)解析设F1(0，1)，F2(0,1)，则满足2的点P的轨迹是以F1(0，1)，F2(0,1)为焦点的椭圆，其方程为1.曲线a|x|b|y|1(a0，b0)为如图所示的菱形ABCD，C，D.由于2，所以菱形ABCD在椭圆上或
19、其内部，所以1，即a1，b.所以ab12.15已知过点A(3,0)的直线与x3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x3相交于点D，若直线CD与圆x2y29相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为_答案1(y0)解析设点M(x，y)，C(3，m)，D(3，n)，则直线CD的方程为(mn)x6y3(mn)0，因为直线CD与圆x2y29相切，所以3，所以mn9，又直线AC与BD的交点为M，所以解得所以9，所以点M的轨迹方程为1(y0)16曲线C是平面内与两个定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离的积等于常数a2(a24)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_答案解析因为原点O到两个定点F1(2,0)，F2(2,0)的距离的积是4，又a24，所以曲线C不过原点，即错误；设动点P在曲线C上，因为F1(2,0)，F2(2,0)关于原点对称，所以PF1PF2a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为PF1PF2sinF1PF2PF1PF2a2，即F1PF2的面积不大于a2，即正确17
