1、9.6椭圆考情考向分析椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以填空题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1
2、(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c23.椭圆的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率概念方法微思考1在椭圆的定义中，若2aF1F2或2aF1F2，动点P的轨迹如何？提示当2aF1F2时动点P的轨迹是线段F1F2；当2aF1F2时动点P的轨迹是不存在的2椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆3点和椭
3、圆的位置关系有几种？如何判断提示点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()题组二教材改编2P37T4椭圆1的焦距为4，则m_.答案4或8解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10
4、m)4，m8.m4或8.3P37T5过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为_答案1解析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，则1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.4P57T6设椭圆1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到其右焦点的距离为1，则点P到其右准线的距离为_答案2解析m2m21，m2a2，m21b2，c21.又312a，a2，e，点P到其右准线的距离d2.题组三易错自纠5若方程1表示椭圆，则m的取值范围是_答案(3,1)(1,5)解析由方程表示椭圆知解得3mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭
5、圆C的方程为_答案1解析AF1B的周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方程为1.8(2019江苏南京外国语学校月考)已知点A(1,2)在椭圆1内，F是右焦点，P是椭圆上动点，则PAPF的最小值是_答案解析根据椭圆的第二定义得到，其中d表示P点到右准线的距离记为PD，故PAPFPAd，当且仅当P，A和D三点共线时，值最小，右准线方程为x，代入得到PAPF的最小值是.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是_答案椭圆解析由条件知
6、PMPF，POPFPOPMOMROF.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆2已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_答案4解析由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得BABFCACF2a，所以ABC的周长为BABCCABABFCFCA(BABF)(CFCA)2a2a4a4.3椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2_.答案解析F1(，0)，PF1x轴，P，PF1，PF24.4已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点
7、，则PAPF的最大值为_，最小值为_答案66解析椭圆方程化为1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，AF1，PAPFPAPF16，又AF1PAPF1AF1(当P，A，F1共线时等号成立)，PAPF6，PAPF6.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例1(1)已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_答案1解析由题意得PAPB，P
8、APFPBPFr2AF2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1.(2)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是_答案1(y0)解析由ACBC188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)设其方程为1(ab0)，则a5，c4，从而b3.由A，B，C三点不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是1(y0)命题点2待定系数法例2如图，设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式跟踪训练1(1)已知椭圆G
9、的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_答案1解析依题意设椭圆G的方程为1(ab0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，2a12，a6，椭圆的离心率为，e，即，解得b29，椭圆G的方程为1.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_答案1解析所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.题型三椭圆的几何性质命题点1求离心率的值(或范围)例3(1)设椭圆
10、C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为_答案解析方法一如图，在RtPF2F1中，PF1F230，F1F22c，PF1，PF22ctan30.PF1PF22a，即2a，可得ca.e.方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令PF21，PF1F230，PF12，F1F2.e.(2)椭圆1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，OPa，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则椭圆的离心率为_答案解析设P(x，y)，则OP2x2y2，由椭圆定义得，PF1PF22a，PF2PF1PF2PF4a2，又PF
11、1，F1F2，PF2成等比数列，PF1PF2F1F4c2，则PFPF8c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，椭圆的离心率e.(3)已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_答案解析因为PT(bc)，而PF2的最小值为ac，所以PT的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a
12、20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.联立，得e.命题点2求参数的值(或范围)例4设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是_答案(0,19，)解析方法一设椭圆焦点在x轴上，则0m3，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan120，且由1，可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)方法二当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB1
13、20，则tan60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)命题点3椭圆的第二定义例5(2018南通、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y于点Q，求的值解(1)由题意得，c1，解得a，c1，b1.所以椭圆的标准方程为y21.(2)由题意知OP的斜率存在当OP的斜率为0时，OP，OQ，所以1.当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为ykx.由得(2k21)x22，解得x2，所以
14、y2，所以OP2.因为OPOQ，所以直线OQ的方程为yx.由得xk，所以OQ22k22.所以1.综上可知，1.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围跟踪训练2(1)已知椭圆1上一点P到右准线的距离为10，则点P到该椭圆的左焦点的距离为_答案4解析设F1，
15、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P到右准线的距离为d10，由椭圆的第二定义知，解得PF26.又PF1PF22a10，解得PF14，故点P到椭圆左焦点的距离为4.(2)已知椭圆1(0bb0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是_答案解析F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，离心率0e1，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，eb0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是
16、_答案解析因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，b)，A(a,0)，所以(c，b)，(a，b)因为B2FAB1，所以acb20，即c2aca20，故e2e10，解得e(负值舍去)1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM3，则P点到椭圆左焦点的距离为_答案4解析由题意知OMPF23，PF26，PF12aPF21064.2直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为_答案解析如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtFOB中，OFOBBFOD，即cbab，解得a2c，故椭圆的离心率e.3椭圆1的
17、左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则F1PF2的大小为_答案120解析椭圆1中，a29，b22，a3，b，c，可得F1(，0)，F2(，0)根据椭圆的定义，得PF1PF22a6，结合PF14，得PF26PF12.在F1PF2中，根据余弦定理，得F1FPFPF2PF1PF2cosF1PF2，(2)24222242cosF1PF2，解得cosF1PF2.结合三角形的内角的范围，可得F1PF2120.4设F1，F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上，且|2，则F1PF2_.答案解析因为2，O为坐标原点，|2，所以PO，又OF1OF2，所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上
18、，且F1F2为直径，所以F1PF2.5设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则PF1PF2的值为_答案15解析由椭圆方程1，可得c24，所以F1F22c4，而，所以|，两边同时平方，得|2|22|2，所以|2|2|22161834，根据椭圆定义，得PF1PF22a8，(PF1PF2)2PFPF2PF1PF264，所以342PF1PF264，所以PF1PF215.6(2018江苏如皋中学月考)如图，点A是椭圆1(ab0)的右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于B，C两点，满足BC2AB，ABBC.则该椭圆的离心率为_答案解析因为BC过椭圆的中心，所以BC2OC2OB，又ABBC
19、，BC2AB，所以OAB是以角B为直角的等腰直角三角形，则A(a,0)，B，C，所以1，则a23b2，所以c22b2，e.7设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_答案1解析F2AB是面积为4的等边三角形，ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得F1AF1B.又F1F22c，F1F2A30，2c.又2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，椭圆C的方程为1.8已知A，B，F分别是椭圆x21(0b0，则椭圆的离心率的取值范围为_答案解析如图所示，线段FA的垂直平分线为x，线段A
20、B的中点为.因为kABb，所以线段AB的垂直平分线的斜率k，所以线段AB的垂直平分线方程为y.把xp代入上述方程可得yq.因为pq0，所以0，化为b.又0b1，解得b21，即1b2，所以01b2b0)的离心率为，过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，若2，则k_.答案解析设m为椭圆的右准线，过A，B作AA1，BB1垂直于m，A1，B1为垂足，过B作BEAA1于E，根据椭圆的第二定义，得AA1，BB1，2，cosBAE，tanBAE.k.10.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿
21、地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是_答案解析观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2PF，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20知，0，即0a1c2，即式正确，式不正确11已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1，m0
22、.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.12已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且F1PF260.(1)求椭圆C的离心率的取值范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆C的短半轴长b有关(1)解设PF1m，PF2n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2，当且仅当mn时取等号，e.又0eb0)的离心率
23、等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，_.答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，而AB2c，所以3.15椭圆C1：1的离心率为e1，双曲线C2：1的离心率为e2，其中，ab0，直线l：xy30与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为_答案1解析椭圆C1：1的离心率e1，双曲线C2：1的离心率e2，由，得，则ab，由得3x212x182b20，由12243(182b2)0，解得b23，则a26，椭圆C1的方程为1.16已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，求该椭圆的离心率的取值范围解由得.又由正弦定理得，所以，即PF1PF2.又由椭圆定义得PF1PF22a，所以PF2，PF1，因为PF2是PF1F2的一边，所以有2c0，所以e22e10(0e1)，解得椭圆离心率的取值范围为(1,1)20
