1、8.1 空间几何体的结构、表面积与体积,第八章 立体几何与空间向量,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征,知识梳理,ZHISHISHULI,平行且相等,平行四边形,三角形,梯形,一点,一点,平行,全等,平行,(
2、2)旋转体的结构特征,垂直,一点,一点,矩形,等腰三角形,等腰梯形,圆,矩形,扇形,扇环,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r1r2)l,3.空间几何体的表面积与体积公式,S底h,4R2,1.底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？,提示 不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱.,【概念方法微思考】,2.如何求不规则几何体的体积？,提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(
3、) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) ( ) (6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 S表r2rlr2r2r3r212， r24，r2.,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,3.在如图所示的几何体中，是棱柱的为_.(填写所有正确的序号),1,2,3,4,5,题组三 易错自纠,所以球的表面积为4R2(2R)212，故选A.,1
4、,2,3,4,5,5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_.,147,解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，,所以V1V2147.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 空间几何体的结构特征,1.以下命题： 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,自主演练,解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确. 对于
5、命题，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.,解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错； 对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错； 对于，若底面不是矩形，则错； 由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确. 综上，命题不正确.,2.给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_.(填序号),空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条
6、件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定. (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析.,题型二 空间几何体的表面积与体积,例1 (2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为,多维探究,命题点1 空间几何体的表面积,解析 设圆柱的轴截面的边长为x，,命题点2 求简单几何体的体积,解析 如题图， 因为ABC是正三角形， 且D为BC中点，则ADBC. 又因为BB1平面ABC，AD平面ABC， 故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1
7、B1， 所以AD是三棱锥AB1DC1的高.,空间几何体表面积、体积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.,跟踪训练1 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是_.,解析 ,题型三 与球有关的切、接问题,师生共研,解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线， 则垂足为BC的中点M.,1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？,解 由题意可知，此正方
8、体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.,2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？,因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.,“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理 首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心. (2)“接”的处理 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.,所以AB6，,所以三棱锥DABC高的最大值为246，,3,课时作业,PART THREE,1.将一个等腰
9、梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括 A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆柱、两个圆锥,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,基础保分练,解析 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该
10、圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是 A.圆面 B.矩形面 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面； 将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面； 将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
11、2,13,14,15,16,6.(2018四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.正方形 D.正六边形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 用一个平面去截正方体，则截面的情况为： 截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形； 截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形； 截面为五边形时，不可能是正五边形； 截面为六边形时，可以是正六边形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
12、,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角； 正确，因为两个过相对侧棱
13、的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； 正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由水面高度升高r，得圆柱体积增加了R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12,设六棱锥的斜高为h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2017全国)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_.,14,解析 长方体的顶点
14、都在球O的球面上， 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，求圆锥的体积.,解 设圆锥的底面半径为r，母线为l，,12.若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1ECF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图所示，连接AB1，AC1. 因为B1ECF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积. 又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC
15、1的高相等，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知边长为a的菱形ABCD中，ABC60，将该菱形沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在边长为a的菱形ABCD中，ABC60，将该菱形沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC为正四面体，D在底面的射影为正三角形的中心O，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,解
16、析 把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,且POP是三角形的内角，,设底面圆的半径为r，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面积和体积.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 因为ABBCAC182430345， 所以ABC是直角三角形，B90. 又球心O在截面ABC上的投影O为截面圆的圆心， 也即是R
17、tABC的外接圆的圆心， 所以斜边AC为截面圆O的直径(如图所示)， 设OCr，OCR， 则球半径为R，截面圆半径为r，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又2rAC30r15，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求证：DE平面ACD；,证明 四边形DCBE为平行四边形， CDBE，BCDE. DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC. AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC， DC，AC平面ADC， BC平面ADC. DEBC，DE平面ADC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 DC平面ABC，DCBE， BE平面ABC.,
