1、2.4 幂函数与二次函数,第二章 函数概念与基本初等函数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过实例，了解幂函数的概念. 2.结合函数yx，yx2，yx3，y ，y 的图象，了解它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较,yx,知识梳理,ZHISHISHULI
2、,x|x0,x|x0,y|y0,y|y0,y|y0,(，0,(0，),0，),奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(，0),(0，),(1,1),2.二次函数的图象和性质,R,R,1.二次函数的解析式有哪些常用形式？,提示 (1)一般式：yax2bxc(a0)； (2)顶点式：ya(xm)2n(a0)； (3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0).,2.已知f(x)ax2bxc(a0)，写出f(x)0恒成立的条件.,提示 a0且0.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是 ( ) (2)在y
3、ax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (3)函数y 是幂函数.( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( ) (5)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,3.已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是 A.a3 B.a3 C.a3 D.a3,解析 函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a， 由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧， 2a6，
4、解得a3，故选D.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.幂函数f(x) (aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于 A.3 B.4 C.5 D.6,解析 因为a210a23(a5)22， f(x) (aZ)为偶函数， 且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)220，从而a4,5,6， 又(a5)22为偶数，所以只能是a5，故选C.,1,2,3,4,5,6,5.已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_.,1,1,2,3,4,5,6,函数y2x26x3在1,1上单调递减， ymin2631.,6.设二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)”“”或“”)
5、,且f(1)0，f(0)0，而f(m)0.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 幂函数的图象和性质,1.若幂函数的图象经过点 则它的单调递增区间是 A.(0，) B.0，) C.(，) D.(，0),自主演练,即f(x)x2， 它是偶函数，单调递增区间是(，0).故选D.,2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc,解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大， 函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B.,3.已知幂函数f(
6、x)(n22n2) (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为 A.3 B.1 C.2 D.1或2,解析 由于f(x)为幂函数，所以n22n21， 解得n1或n3， 经检验只有n1符合题意，故选B.,4.(2018潍坊模拟)若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是 _.,解析 不等式(a1) 32a0或32aa10或a1032a，,(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. (3)在比
7、较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,题型二 求二次函数的解析式,例1 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_.,解析 由f(0)3，得c3， 又f(1x)f(1x)， 函数f(x)的图象关于直线x1对称，,师生共研,f(x)x22x3,f(x)x22x3.,(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.,x22x,解析 设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，,得a1，所以f(x)
8、x22x.,求二次函数解析式的方法,跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.,x22x1,解析 设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa(a0)， 又f(x)ax2bx1，所以a1， 故f(x)x22x1.,(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.,x24x3,解析 因为f(2x)f(2x)对任意xR恒成立， 所以f(x)图象的对称轴为直线x2. 又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(
9、x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，即a1， 所以f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.,题型三 二次函数的图象和性质,命题点1 二次函数的图象,例2 (2018重庆五中模拟)一次函数yaxb(a0)与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是,多维探究,解析 若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A； 若a0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc的图象开口向下，故可排除D；,命题点2 二次函数的单调性,例3 函数f
10、(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是 A.3,0) B.(，3 C.2,0 D.3,0,解析 当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意.,解得3a0.综上，a的取值范围为3,0.,若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.,3,解析 由题意知f(x)必为二次函数且a0，,命题点3 二次函数的最值 例4 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值.,解 f(x)a(x1)21a. (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，
11、最大值为f(2)8a14，,(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.,将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值.,解 f(x)(xa)21a2， f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.,解析 设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1， 又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，所以a1，b1， 所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1,1上恒成立， 即x23x1m0在1,1上恒成立，,命题点4 二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，若不等式f
12、(x)2xm在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_.,(，1),所以g(x)ming(1)131m0，所以m1.,(2)函数f(x)a2x3ax2(a1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大值为_.,2,所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立， 所以有a23a28，解得5a2， 又a1，所以a的最大值为2.,解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范
13、围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.,跟踪训练2 (1)函数yx2bxc(x0，)是单调函数的充要条件是 A.b0 B.b0 C.b0 D.b0,解析 函数yx2bxc(x0，)是单调函数，,(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_.,1或3,解析 由于函数f(x)的值域为1，)， 所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4， 当xR时，f(x)minf(a)a22a41， 即a22a30，解得a3或a1.,(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实数a的 取值范围为_.,
14、研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论. 例 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.,思想方法,SIXIANGFANGFA,数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用,解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1. 当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数， 所以最小值为f(t1)t21； 当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；,当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)
15、在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为f(t)t22t2.,3,课时作业,PART THREE,1.幂函数yf(x)经过点(3， )，则f(x)是 A.偶函数，且在(0，)上是增函数 B.偶函数，且在(0，)上是减函数 C.奇函数，且在(0，)上是减函数 D.非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.幂函数y (mZ)的图象如图所示，则m的值为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 y (mZ)的图象与坐标轴没有交点， m24m0，即0m4. 又函数的图象关于y轴对称且mZ， m24m为偶数，m2.,1
16、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.若幂函数f(x)(m24m4) 在(0，)上为增函数，则m的值为 A.1或3 B.1 C.3 D.2,解析 由题意得m24m41，m26m80， 解得m1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则 A.a0,4ab0 B.a0,2ab0 D.a0,2ab0,
17、解析 由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc图象的对称轴为x 2， 4ab0，又f(0)f(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是a0， 故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.已知函数f(x)x22ax1a，x0,1有最大值2，则a等于 A.2 B.0 C.0或1 D.2或1,解析 函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，其图象的对称轴方程为xa. 当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.,7.已知f(x)x2，g(x
18、) ，h(x)x2，当0x1时，f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_.,解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示， 可知h(x)g(x)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,h(x)g(x)f(x),8.已知二次函数yf(x)的顶点坐标为 且方程f(x)0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)4x212x40,所以a4，所以f(x)4x212x40.,9.已知函数f(x)x2(a1)x5在区间 上为增函数，那么f(2
19、)的取值范围是_.,7，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由于其图象(抛物线)开口向上，,所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.,10.设函数f(x)2x24x在区间m，n上的值域是6，2，则mn的取值范围是_.,0,4,解析 令f(x)6，得x1或x3；令f(x)2，得x1. 又f(x)在1,1上单调递增，在1,3上单调递减， 当m1，n1时，mn取得最小值0； 当m1，n3时，mn取得最大值4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018河南南阳一中月考)已知函数f(x)x2mx1，若
20、对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.,解析 因为函数图象开口向上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函数f(x)x2(2a1)x3. (1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；,解 当a2时，f(x)x23x3，x2,3，,f(x)maxf(3)15，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值.,f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即a1，满足题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
21、3,14,15,16,13.如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3,0)， 对称轴为x1.给出下面四个结论： b24ac；2ab1；abc0；5ab. 其中正确的是 A. B. C. D.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；,结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误； 由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下， 所以a0，所以5a2a， 即5ab，正确.,14.当
22、x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是 _.,(，5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 不等式x2mx40对x(1,2)恒成立， mxx24对x(1,2)恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,m5.,方法二 设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.若函数(x)x2m|x1|在0，)上单调递增，求实数m的取值范围.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 当0x1时，(x)x2mxm，此时(x)单调递增，,当x1时，(x)x2mxm，此时(x)单调递增，,综上，实数m的取值范围是2,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.是否存在实数a2,1，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时， 值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.,解 f(x)(xa)2aa2，当2a1时，f(x)在1,1上为增函数，,综上可得，存在实数a满足题目条件，a1.,
