1、第2课时 定点与定值问题,第九章 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 定点问题,师生共研,解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b1， 且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.,(2)若123，试证明：直线l过定点，并求此定点.,解 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)， N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，,123，y1y2m(y1y2)0， ,由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0， ,代入得t2m232m2t20， (mt)
2、21， 由题意mt0，mt1，满足， 得直线l的方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点.,圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,解 圆x2y24与x轴交于点(2,0)， 即为椭圆的焦点，圆x2y24与y轴交于点(0，2)， 即为椭圆的上下两顶点，所以c2，b2.,(2)证明：直线MN过定点.,证明 设直线MN的方程为ykxm.,设M(x1，y1)，N(x2，y2)，,由MAN的平分线在y轴上，得k1k20.
3、又因为|AM|AN|，所以k0，所以m1. 因此，直线MN过定点(0,1).,题型二 定值问题,师生共研,例2 (2018北京)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围；,解 因为抛物线y22px过点(1,2)， 所以2p4，即p2. 故抛物线C的方程为y24x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为ykx1(k0)，,依题意知(2k4)24k210， 解得k0或0k1.,又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2). 从而k3. 所以直
4、线l的斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1).,证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60 (|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60)，,由|F1F2|
5、4得c2，从而b2，,(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.,证明 当直线l的斜率存在时， 设斜率为k，显然k0，则其方程为y2k(x1)，,56k232k0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,当直线l的斜率不存在时，,得k1k24. 综上，k1k2为定值.,数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUN
6、SUAN,直线与圆锥曲线的综合问题,(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；,解 设P(x0，y0)(y00)，,所以直线PF1，PF2的方程分别为,(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k20，证明 为定值，并求出这个定值.,解 设P(x0，y0)(y00)， 则直线l的方程为yy0k(xx0).,素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧设而不求
7、，从而简化了运算过程.,课时作业,2,PART TWO,基础保分练,解 由椭圆定义得|MF1|MF2|4， 由垂直得|MF1|2|MF2|2|F1F2|24(4b2)， ,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,(2)设C的上顶点为H，过点(2，1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.,1,2,3,4,5,6,解 依题意，H(0,1)，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线RS的方程为ykxm(k0)， 代入椭圆方程化简得(4k21)x28kmx4m240. 由题意知，16(4k2m21)0， 设R(x1，y1)，S(x2，y2)，
8、x1x20，,1,2,3,4,5,6,故kHRkHS为定值1.,2.(2018威海模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F，直线y4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|2|PQ|. (1)求p的值；,1,2,3,4,5,6,(2)已知点T(t，2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM 和直线TN的斜率之和为 ，证明：直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.,1,2,3,4,5,6,解 由(1)知C的方程为y28x，,1,2,3,4,5,6,设直线MN的方程为xmyn，,所以y1y28m，y1y28n，,1,2,3,4,5,6,解得nm1.所以直线MN的方程为x
9、1m(y1)，恒过定点(1，1).,1,2,3,4,5,6,3.(2018齐齐哈尔模拟)已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；,解 由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x1的距离， 由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点， 以x1为准线的抛物线， 故曲线C的方程为y24x.,1,2,3,4,5,6,(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值.,1,2,3,4,5,6,证明 由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，
10、 得斜率互为相反数，且不等于零. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l1的方程为yk(x1)2，k0. 直线l2的方程为yk(x1)2，,16(k1)20，,1,2,3,4,5,6,4.(2018南昌检测)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，过左焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，且|PQ| . (1)求C的方程；,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,所以b24，a22b28，,(2)若直线l是圆x2y28上的点(2,2)处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，设切线的斜率都存在.求证：直线AB过定点，并求
11、出该定点的坐标.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 依题设，得直线l的方程为y2(x2)， 即xy40， 设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x0x1且x0x2，,得(2k21)x24k(y1kx1)x2(y1kx1)280， 由相切得16k2(y1kx1)28(2k21)(y1kx1)240， 化简得(y1kx1)28k24，,1,2,3,4,5,6,即x1x2y1y8， 同理，切线MB的方程为x2x2y2y8， 又因为两切线都经过点M(x0，y0)，,所以直线AB的方程为x0x2y0y8，,1,2,3,4,5,6,又x0y04， 所以直线AB的方程可化
12、为x0x2(4x0)y8， 即x0(x2y)8y80，,所以直线AB恒过定点(2,1).,1,2,3,4,5,6,技能提升练,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.,1,2,3,4,5,6,证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线AB的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知x1x2，y1y2.,1,2,3,4,5,6,当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为ykxm，,消去y，得(14k2)x28kmx4m240，,因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB，,1,2,3,4,5,6,所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20，,整理得5m24(k21)，,1,2,3,4,5,6,拓展冲刺练,(1)求椭圆C的方程；,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,证明 由|MA|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上， 由椭圆的对称性知点A，B关于原点对称. 若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，,同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，,1,2,3,4,5,6,若点A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为ykx(k0)，,1,2,3,4,5,6,
