1、第3课时 证明与探索性问题,第九章 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 证明问题,师生共研,解 设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，,因此点P的轨迹方程为x2y22.,(2)设点Q在直线x3上，且 1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,证明 由题意知F(1,0).,又由(1)知m2n22，故33mtn0.,又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也
2、涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法.,又a2b2c2，联立解得a23，b21.,(2)求证：PMPN.,证明 方法一 当P点横坐标为 时，纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.,PM的方程为yy0k(xx0)，,又kPM，kPN为方程的两根，,所以PMPN. 综上知PMPN.,纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.,联立得(13k2)x212k(sin kcos )x12(sin kcos )230， 令0， 即144k2(sin kcos )24(13k2)12(sin kcos )230， 化简得(34cos2)k24sin 2k14sin20
3、，,所以PMPN. 综上知PMPN.,题型二 探索性问题,师生共研,例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y 与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点， (1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；,(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.,解 存在符合题意的点，证明如下： 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. 将ykxa代入C的方程得x24kx4a0. 故x1x24k，x1x24a.,当ba时，有k1k20， 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPMOPN，所以点P(0，a)
4、符合题意.,解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,理由如下： 方法一 由题意，直线l的斜率存在， 设直线l的方程为ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，,所以16k28m280. (*),所以C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合.,由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|3|CD|.
5、,方法二 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(m,0)，D(0，n)，,解得M(2m，n)，N(m,2n). 又M，N两点在椭圆上，,课时作业,2,PART TWO,基础保分练,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,设P(x，y)，则 c|y|，,1,2,3,4,5,6,(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M(x1，y1)与N(x2，y2)，且x1x2，证明直线MN过定点，并求AMN的面积S的取值范围.,1,2,3,4,5,6,解 设MN方程为xnym(n0)，,由题意知，16(n2m24)0，,关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和
6、为0，,得2ny1y2m(y1y2)4(y1y2)0，,1,2,3,4,5,6,直线MN方程为xny1，直线MN过定点B(1,0).,2.(2018菏泽模拟)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O，焦点为圆F：x2y24x30的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限. (1)求抛物线E的方程；,1,2,3,4,5,6,解 圆F的方程为(x2)2y21， 圆心F的坐标为(2,0)，半径r1. 根据题意设抛物线E的方程为y22px(p0)，,抛物线E的方程为y28x.,(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|
7、的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，|BC|2r， |AB|CD|4|BC|42r8. |AD|AB|BC|CD|10. 讨论： 若l垂直于x轴，则l的方程为x2，代入y28x， 解得y4. 此时|AD|8，不满足题意； 若l不垂直于x轴，则设l的斜率为k(k0)， 此时l的方程为yk(x2)，,1,2,3,4,5,6,抛物线E的准线方程为x2， |AD|AF|DF|(x12)(x22)x1x24，,易知k2符合题设. 存在满足要求的直线l：2xy40或直线l：2xy40.,1
8、,2,3,4,5,6,3.(2018三明质检)已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y x上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(1,0)对称. (1)求E和的标准方程；,1,2,3,4,5,6,所以的标准方程为x24y. 因为E与x轴相切，故半径r|a|1， 所以E的标准方程为(x2)2(y1)21.,1,2,3,4,5,6,(2)过点M的直线l与E交于A，B，与交于C，D，求证： .,1,2,3,4,5,6,证明 由题意知，直线l的斜率存在， 设l的斜率为k，那么其方程为yk(x1)(k0)，,因为l与E交于A，B两点，,1,2,3,4,5,6,16k216k0恒成立，
9、 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x24k，x1x24k，,解得a22，b21，,1,2,3,4,5,6,(2)已知点P关于y轴的对称点Q在抛物线C：y2mx上，是否存在直线l与椭圆交于A，B，使得A，B的中点M落在直线y2x上，并且与抛物线C相切，若直线l存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,若直线l斜率存在，设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,A，B的中点M落在直线y2x上，,消元可得方程y22y2b0，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,消元可得方程9y28y10， 6449280，所
10、以直线x4y20满足题意. 当直线l斜率不存在时，直线x0满足题意. 综上所述，直线l的方程为x0或x4y20.,1,2,3,4,5,6,技能提升练,1,2,3,4,5,6,解 设椭圆的焦距为2c，,从而椭圆C的方程可化为x23y23b2. ,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点N(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,设M(x，y)，由(1)中各点的坐标有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)， 故xx1x2，yy1y2. 又因为点M在椭圆C上，所以有(x1x2)23(y1y2)23b2，,1,2,3,4,5,6,又点A，B在椭圆C上，,将，代入可得，
11、221. 所以，对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，,1,2,3,4,5,6,所以存在0,2)，使得cos ，sin . 也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在0,2)，,1,2,3,4,5,6,(1)求椭圆E的方程；,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,解 由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,其判别式(8k)216(4k21)0，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，,
