1、9.6 双曲线,第九章 平面解析几何,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,平面内与两个定点F1，F2的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做_，两焦点间的距离叫做_ _. 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当_时，P点的轨迹是双曲线； (2)当_时，P点的轨迹是两条射线； (3)当_时，P点不存在.,1.双曲线定义,知识梳理,
2、ZHISHISHULI,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线,的焦距,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,(1，),2a,2b,a2b2,1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？,提示 不一定.当2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.,2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？,提示 若A0，B0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2By2
3、1表示双曲线的充要条件是AB0.,【概念方法微思考】,3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0,0ab，双曲线哪些性质受影响？,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.,把点A(4,1)
4、代入，得a215(舍负)，,1,2,3,4,5,6,7,题组三 易错自纠,(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2， 由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1， 1n3，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 双曲线的定义,例1 (1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
5、则点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点， 又O为F1F2的中点，|MF2|2. 点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M 相交于点P， 由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|， |PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|， 由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.,师生共研,(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.,解析 由双曲线的定义有,1.本例(2)中，若将条件“|PF1|2|PF2|”
6、改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？,解 不妨设点P在双曲线的右支上，,在F1PF2中，由余弦定理，得,|PF1|PF2|8，,2.本例(2)中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“ ”，则F1PF2的面积是多少？,解 不妨设点P在双曲线的右支上，,在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216， |PF1|PF2|4，,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|P
7、F2|的联系.,跟踪训练1 设双曲线x2 1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.,设|PF2|m， 则|PF1|m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形，,题型二 双曲线的标准方程,例2 (1)(2018大连调研)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,师生共研,解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.,根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1
8、|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6.,又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a1，c3，则b28.,(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：,解 设双曲线的标准方程为,b6，c10，a8.,焦距为26，且经过点M(0,12)；,解 双曲线经过点M(0,12)， M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,解 设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2
9、)待定系数法 焦点位置不确定时，设Ax2By21(AB0)；,解析 由虚轴长为8，可得b4，,可得a2b29. 由可得a24，b25.,题型三 双曲线的几何性质,多维探究,命题点1 与渐近线有关的问题,解析 由题意，不妨设|PF1|PF2|， 则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a， 解得|PF1|4a，|PF2|2a. 在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca， 所以有|PF2|F1F2|，所以PF1F230，,命题点2 求离心率的值(或范围),解析 根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为xay0， 而圆(x2)2y21的圆心为(2,0)，半径为1，,1.求
10、双曲线的渐近线的方法,2.求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法,列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.,解析 因为ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|BF2|AF2|m， 因为A为双曲线右支上一点， 所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a， 因为B为双曲线左支上一点， 所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a， 由ABF260，得F1BF2120， 在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos 120，,离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类
11、问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,高考中离心率问题,解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2.,1b2.,故选A.,例2 已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若ACBF1
12、，则双曲线的离心率为,又b2c2a2，可得3c410c2a23a40，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018海淀模拟)设曲线C是双曲线，则“C的方程为x2 1”是“C的渐近线方程为y2x”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1
13、5,16,解析 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以ab2，,4.(2018金华模拟)已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于 A.2 B.4 C.6 D.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2| (|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|4.故选B.,A.3 B.2 C.3 D.2,1,2,3,4
14、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意及正弦定理得,|PF1|2|PF2|， 由双曲线的定义知|PF1|PF2|2， |PF1|4，|PF2|2， 又|F1F2|4， 由余弦定理可知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由题意可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当且仅当A，F0，P三点共线时取得“”，故选B.,A.32 B.16 C.84 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
15、,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知F1，F2分别是双曲线x2 1(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一 象限内的点
16、，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_.,4,解析 由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2， |AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|. 由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|， |BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(0,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
17、2,13,14,15,16,解析 双曲线的一条渐近线方程是3xy0， 由渐近线的性质，知当点P是双曲线的一个顶点时，点P到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(1,0)，,又双曲线与渐近线没有交点，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为点P在双曲线C上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018福建六校联考)已知双曲线C： 1(a0，b0)的右焦点为F，左 顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆
18、交C的右支于P，Q两点，APQ的一个 内角为60，则双曲线C的离心率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称， 又APQ的一个内角为60， PAF30，PFA120，|AF|PF|ca， |PF1|3ac， 在PFF1中，由余弦定理得， |PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图所示，设PF1，PF
19、2分别与PAF2的内切圆切于M，N， 依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲 线的右支上，且|PF1|6|PF2|，求此双曲线的离心率e的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由定义，知|PF1|PF2|2a.,当P，F1，F2三点不共线时， 在PF1F2中，由余弦定理，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当P，F1，F2三点共线时，,
