1、微专题十二 圆锥曲线中性质的推广,第九章 平面解析几何,真题研究 一道高考解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况.如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质.对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质.这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质.正如普通高中数学课程标准(实验)所倡导的数学探究性课题学习，引导学生围绕某个数学问题，观察分析，自主探究，提出有意义的数学问题，探求适当的数学结论和规律.,一、试题展示,题1 (2018全国)如图1所示，设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，
2、0)，过点A的直线l与C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；,解 当l与x轴垂直时，l的方程为x2， 可得点M的坐标为(2,2)或(2，2).,即x2y20或x2y20.,(2)证明：ABMABN.,证明 当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线， 所以ABMABN. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.,所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补， 所以ABMABN. 综上，ABMABN.,题2 (2018全国)设椭圆C： y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2
3、,0). (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；,解 由已知得F(1,0)，l的方程为x1.,(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.,证明 当l与x轴重合时，OMAOMB0. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以OMAOMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,(2k21)x24k2x2k220，由题意知0恒成立，,从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以OMAOMB.综上，OMAOMB.,点评 以上两题是2018年高考全国卷解析几何题的倒数第二题，是选拔题.第(1)问根据直线方程的求法，多数学
4、生都能完成，第(2)问是个探索性问题，重点考查用坐标法研究圆锥曲线中的定点定值问题，考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学思想，同时考查综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的运算能力和数学素养.本题的呈现形式“平易近人”，是平面几何中的角平分线问题，但本题的解决过程却充分体现了坐标法的思想，可以将等角的几何关系式转化为坐标代数关系式，然后再用坐标法来处理.本题看起来很平常，实际上却背景丰富，有一定难度和区分度，也有很大的数学价值和研究空间，我们重点研究第二小问的相关性质.,二、性质研究 性质1 如图3所示，已知抛物线y22px(p0)，点B(m,0)(m0)，设不与x
5、轴垂直的直线l与抛物线相交于M，N两点，则直线l过定点A(m,0)的充要条件是x轴是MBN的角平分线.,图3,证明 先证明必要性： 设不与x轴垂直的直线l的方程为yk(xm)(k0)，代入y22px，整理得 k2x2(2k2m2p)xk2m20.,所以ABMABN，所以x轴是MBN的角平分线. 再证明充分性： 设不与x轴垂直的直线l的方程ykxb(k0)，代入y22px，整理得 k2x22(kbp)xb20. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由根与系数关系得,即y1(x2m)y2(x1m)0. 再将y1kx1b，y2kx2b代入上式， 得(kx1b)(x2m)(kx2b)(x1m)0，
6、 即2kx1x2(bkm)(x1x2)2mb0， 将式代入式，得2kb22(bkm)(pkb)2mbk20， 整理得bkm，此时0，直线l的方程为yk(xm)， 所以直线l过定点A(m,0).,图4,证明 先证明必要性： 设不与x轴垂直的直线l的方程为yk(xm)(k0)，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得,所以OMAOMB，所以x轴是AMB的角平分线. 再证明充分性：,(a2k2b2)x22kta2xa2(t2b2)0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得,整理得tkm.此时0， 所以直线l的方程为yk(xm)， 所以直线l过定点P(m,0).,图5,性质3的证明类似于性质2的证明.,三、性质推广,图6,证明 当直线l垂直于x轴时，易得kPBkQB2kAB. 当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(xm)，,整理得(a2k2b2)x22ma2k2xa2(k2m2b2)0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由根与系数的关系得,性质6 已知抛物线y22px(p0)及A(m,0)，B(m，n)(其中m0)，直线l过点A且与抛物线交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别为kPB，kAB，kQB，则kPBkQB2kAB. 性质5、性质6的证明，类似性质4的证明.,
