1、,第十二章 概率、随机变量及其分布,高考专题突破六 高考中的概率与 统计问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 离散型随机变量的均值与方差,师生共研,例1 某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元.用表示经销一辆汽车的利润.,(1)求上表中的a，b值；,又4020a10b100，所以b10.,(2)若以频率作
2、为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；,解 记分期付款的期数为，的可能取值是3,6,9,12,15. 依题意，得,则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为,(3)求的分布列及均值E().,解 由题意，可知只能取3,6,9,12,15. 而3时，1；6时，1.5；9时，1.5；12时，2；15时，2. 所以的可能取值为1,1.5,2，且P(1)P(3)0.4，P(1.5)P(6)P(9)0.4，P(2)P(12)P(15)0.10.10.2. 故的分布列为,所以的均值E()10.41.50.420.21.4.,离散型随机变量
3、的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应.,跟踪训练1 某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及均值.,解 因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生， 所以X的分布列服从参数N8，M3，n3的超几何分布
4、.,所以X的分布列为,题型二 概率与统计的综合应用,师生共研,例2 (2016全国)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列；,解 由柱状图并以频率代替
5、概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2， X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而 P(X16)0.20.20.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04； 所以X的分布列为,(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；,解 由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的
6、最小值为19.,(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？,解 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040(元). 当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080(元). 可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.,概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗
7、透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.,跟踪训练2 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将T表示为X的函数；,解 当X100,130)时， T500X300(130X)800X39 000. 当X130,150时，T50013065 000.,(2)根据直方图估计利润
8、T不少于57 000元的概率；,解 由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150. 由直方图知需求量X120,150的频率为0.7， 所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.,(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的均值.,解 依题意可得T的分布列为,所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.,题型三 概率
9、与统计案例的综合应用,师生共研,例3 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：,(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？,解 由表格数据可得22列联表如下：,所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.,(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户
10、. 求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；,解 视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，,为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及均值.,解 记抽出的男“移动支付达人”人数为Y，则X300Y.,所以Y的分布列为,所以X的分布列为,得X的均值E(X)300E(Y)400.,概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.,跟踪训练3 电视传媒公司为了
11、解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：,将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？,解 由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100(100.020100.005)25， “非体育迷”人数为75，从而22列联表如下： 将22列联表的数据代入公式计算，,因为2.7063.0303.841， 所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关.,(2)将上述调查所得到的频率视为概
12、率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X).,解 由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，,课时作业,2,PART TWO,基础保分练,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析 设事件D为“作射线CM，使AMAC”. 在AB上取点C使ACAC， 因为ACC是等腰三角形，,事件D发生的区域D907515， 构成事件总的区域90，,2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边
13、长的概率为_.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,3.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：,(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？,1,2,3,4,5,6,且2.0572.706. 所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关.,1,2,3,4,5,6,(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X的分布列和均值
14、.,1,2,3,4,5,6,由题意，得X可能的取值为0,1,2.,1,2,3,4,5,6,故X的分布列为,4.某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损. (1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解 设被污损的数字为a，则a有10种情况. 由888990919283838790a99， 得a8， 有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均
15、人数，,(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并绘制了如下对照表：,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,即预测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时间为4.9小时.,5.为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示).如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立. (1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天
16、比赛中， 恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；,1,2,3,4,5,6,技能提升练,1,2,3,4,5,6,因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立， 所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率,(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的均值和方差(精确到0.01).,1,2,3,4,5,6,解 由题意，知XB(12,0.47). 所以X的均值E(X)120.475.64， X的方差D(X)120.47(10.47) 2.989 22.99.,1,2,3,4,5,6,拓展冲刺练,6.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优
17、惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：,该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：,1,2,3,4,5,6,假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.根据所给数据，回答下列问题： (1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；,解 2510540， 即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位，,1,2,3,4,5,6,(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；,解 第1次消费时，803050(元)，所以游泳馆获得的利润为50元， 第2次消费时，800.953046(元)，所以游泳馆获得的利润为46元， 第3次消费时，800.903042(元)，所以游泳馆获得的利润为42元， 第4次消费时，800.853038(元)，所以游泳馆获得的利润为38元，,所以这4次消费中，游泳馆获得的平均利润为44元.,1,2,3,4,5,6,(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和均值E(X).,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,由题意知，X的所有可能取值为0,2,4,6.,1,2,3,4,5,6,X的分布列为,
