1、,第三章 导数及其应用,阶段自测卷(二),一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.(2019沈阳东北育才学校联考)已知曲线yf(x)在x5处的切线方程是yx5，则f(5)与f(5)分别为 A.5，1 B.1,5 C.1,0 D.0，1,解析 由题意可得f(5)550，f(5)1， 故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,2.已知函数f(x)xsin xax，且 1，则a等于 A.0 B.1 C.2 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
2、,19,20,21,22,3.(2019淄博期中)若曲线ymxln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于 A.1 B.0 C.1 D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 f(x)的导数为f(x)m 曲线yf(x)在点(1，m)处的切线斜率为km10，可得m1. 故选A.,4.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 020(x)等于 A.sin xcos x B.sin xcos x
3、 C.sin xcos x D.sin xcos x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x， f3(x)f2(x)sin xcos x， f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos xf1(x)， fn(x)是以4为周期的函数， f2 020(x)f4(x)sin xcos x，故选B.,5.(2019四川诊断)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x (其中e为自然对数的底
4、数)，则f(e)等于 A.1 B.1 C.e D.e1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 已知f(x)2xf(e)ln x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 由题意知，函数的定义域为(0，)，,7.(2019沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，)上的函数f(x)x2m，g(x)6ln x4x，设两曲线yf(x)与yg(x)在公共点处的切线相同，则m值等于 A.5 B.3 C.3 D.5,解得x1，这就是切点的横坐标，代入
5、g(x)求得切点的纵坐标为4， 将(1，4)代入f(x)得1m4，m5. 故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 依题意得，f(x)aexcos x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,9.(2019河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个
6、小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h(0h5)， 小圆柱的底面半径设为r(0r5)，由于r，h和球的半径5满足勾股定理， 即r2h252， 所以小圆柱体积Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)， 求导V(3h5)(h5)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,10.(2019凉
7、山诊断)若对任意的0x1x2a都有x2ln x1x1ln x2x1x2成立，则a的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，)上导数小于零，单调递减. 由于x1x2且f(x1)f(x2)，故x1，x2在区间(0,1)上，故a的最大值为1，故选B.,11.(2019洛阳、许昌质检)设函数yf(x)，xR的导函数为f(x)，且f(x)f(x), f(x)f(x)，则下列不等式成立的是(注：e为自然对数的底数) A.f(0)e1f(1)e2f(2) B.e1f(1)f(
8、0)e2f(2) C.e2f(2)e1f(1)f(0) D.e2f(2)f(0)e1f(1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 设g(x)exf(x)， g(x)exf(x)exf(x)ex(f(x)f(x)， f(x)g(0)g(1)， e1f(1) f(0)e2f(2)，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,f(x)x2x2(x1)(x2)， 所以函数f(x)在(2,1)上单调递增，在(，2)，(1，)上单调递减， 又由
9、关于x的方程f(x2)m有四个不同的实数解，等价于函数f(x)的图象与直线ym在x(0，)，上有两个交点，,可得f(x)x2xa， 则f(0)ba，f(0)a2，则b2 ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.(2019陕西四校联考)已知函数f(x)ln x2x24x，则函数f(x)的图象在x1处的切线方程为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,xy30,解析 f(x)ln x2
10、x24x，,所求切线方程为y(2)x1，即xy30.,14.已知函数f(x)(xa)ln x(aR)，若函数f(x)存在三个单调区间，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,函数f(x)(xa)ln x(aR)，若函数f(x)存在三个单调区间，则f(x)有两个变号零点， 即f(x)0有两个不等实根，即ax(ln x1)有两个不等实根，转化为ya与yx(ln x1)的图象有两个不同的交点.令g(x
11、)x(ln x1)，,21,22,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,15.(2019山师大附中模拟)已知函数f(x)x32xex ，其中e是自然对数的 底数，f(a1)f(2a2) 0，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,当且仅当x0时等号成立，可得f(x)在R上递增，,可得f(x)为奇函数，则f(a1)f(2a2)0 ，即有f(2a2)0f(a1)f(1a)， 即有2a21a ，,1,2,3,4,5,6,7,8
12、,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,16.(2019湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，且对任意的不相等的实数x1，x20，)有 0成立，若关于x的不等式f(2mxln x3) 2f(3)f(2mxln x3)在x1,3上恒成立，则 实数m的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解析 函数f(x)满足f(x)f(x)， 函数f(x)为偶函数. 又f(2mxln x3)2f(3)f(2mxln x3) 2f(3)f
13、(2mxln x3)， f(2mxln x3)f(3). 由题意可得函数f(x)在(，0)上单调递增，在0，)上单调递减. |2mxln x3|3对x1,3恒成立， 32mxln x33对x1,3恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,g(x)在1，e上单调递增，在(e,3上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,h(x)在1,3上单调递减，,三、解答题(本大题共70分) 17.(10分)(2019辽宁重点高中联考)已知函数f
14、(x)x3mx2m2x1(m为常数，且m0)有极大值9. (1)求m的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解 f(x)3x22mxm2(xm)(3xm)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,从而可知，当xm时，函数f(x)取得极大值9， 即f(m)m3m3m319，m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,2
15、2,(2)若斜率为5的直线是曲线yf(x)的切线，求此直线方程.,解 由(1)知，f(x)x32x24x1， 依题意知f(x)3x24x45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,即5xy10或135x27y230.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,18.(12分)(2019成都七中诊断)已知函数f(x)xsin x2cos xax2，其中a为常数. (1)若曲线yf(x)在x 处的切线斜率为2，求该切线的方程；,解 求导得f(x)xc
16、os xsin xa，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,(2)求函数f(x)在x0，上的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解 对任意x0，f(x)xsin x0， 所以f(x)在0，内单调递减. 当a0时，f(x)f(0)a0， f(x)在区间0，上单调递减，故f(x)minf()a. 当a时，f(x)f()a0， f(x)在区间0，上单调递增，故f(x)minf(0)4. 当00，f()a0，且f(x)在区间0，上单调递减
17、，结合零点存在定理可知，存在唯一x0(0，)，使得f(x0)0， 且f(x)在0，x0上单调递增，在x0，上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)4和f()a中较小的一个值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,19.(12分)(2019武汉示范高中联考)已知函数f(x)4ln xmx21(mR). (1)若函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy10平行，求实数m的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解 f(x)4ln
18、xmx21， f(x) 2mx， f(1)42m， 函数f(x)在(1，f(1)处的切线与直线2xy10平行，f(1)42m2， m1.,(2)若对于任意x1，e，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,解 对于任意x1，e，f(x)0恒成立， 4ln xmx210，在x1，e上恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,令g(x)0，得1x ，,令g(x)0，得 xe，,当x变化时，g(x)，g(x)
19、的变化如下表：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20.(12分)已知函数f(x)ln xax(ax1)，其中aR. (1)讨论函数f(x)的单调性；,21,22,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,解 依题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，,21,22,当a0时，f(x)ln x，函数f(x)在(0，)上单调递增；,20,1,2,3,4,5,6
20、,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,(2)若函数f(x)在(0,1内至少有1个零点，求实数a的取值范围.,21,22,由于当x0时，f(x)且f(1)a2a0知，函数f(x)在(0,1内无零点；,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,f(x)在(0,1内无零点；,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,
21、22,综上可得a的取值范围是1,0.,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21.(12分)(2019湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC的直线DE将ADE剪去，得到所需的梯形钢板BCED，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S(单位：平方米). (1)求梯形BCED的面积S关于它的周长x的函数关系式；,21,22,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
22、4,15,16,17,18,19,解 DEBC，ABC是正三角形， ADE是正三角形，ADDEAE，BDCE3AD， 则DE2(3AD)39ADx，,21,22,故梯形BCED的面积S关于它的周长x的函数关系式为,(2)若在生产中，梯形BCED的面积与周长之比 达到最大值时，零件才能符合使用要求，试确定这个梯形的周长x为多少时，该零件才可以在生产中使用？,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,f(x)，f(x)随x的变化如下表：,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,
23、18,19,21,22,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,22.(12分)(2019衡水中学调研)已知函数f(x)kexx2(其中kR，e是自然对数的底数). (1)若k2，当x(0，)时，试比较f(x)与2的大小；,21,22,解 当k2时，f(x)2exx2，则f(x)2ex2x，令h(x)2ex2x，h(x)2ex2， 由于x(0，)，故h(x)2ex20， 于是h(x)2ex2x在(0，)上为增函数， 所以
24、h(x)2ex2xh(0)20，即f(x)2ex2x0在(0，)上恒成立， 从而f(x)2exx2在(0，)上为增函数， 故f(x)2exx2f(0)2.,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求k的取值范围，并证明：0f(x1)1.,21,22,当x0，函数(x)单调递增且(x)0，函数(x)单调递增且(x)0； 当x1时，(x)0. 作出函数(x)的图象如图所示，,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,由于x1(0,1)，所以0(x11)211， 所以0f(x1)1.,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,(x11)21，,
