1、2020届湖北省鄂州市颚南高中高三上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1设集合，集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由，从而可以表示成，或，这样代入集合便可得到，从而便可看出集合是表达形式同集合的相同，这样既可判断集合的关系.【详解】因为，所以，或，所以或，又，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.2已知复数满足，则共轭复数的模为（ ）AB1CD2【答案】C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果.【详解】由，得，所以，故选：C.【点睛】该
2、题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.3“”是“且”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由题可知，可以解得或，则从不能推出且，即不能满足其充分性，而由且能推出，即能证明其必要性满足，所以“”是“且”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.4若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的中国剩余定理，
3、执行该程序框图，则输出的值等于（ ）A29B30C31D32【答案】D【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被除余，被除余，所以应该满足是的倍数多，并且是比大的最小的数，故输出的为，故选：D.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.5已知，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】首先对分别取以为底的对数，可以发现，利用指数函数的单调性，可
4、知，从而得到其大小关系.【详解】因为，所以，所以，又，所以，故选：C.【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.6设为三角形三内角，且方程有两相等的实根，那么角（ ）ABCD【答案】D【解析】根据方程有两相等实根可得判别式，在依据正弦定理把角换成边，化简得，代入余弦定理得，再根据两边平方，得出与的关系，进而推断出的范围.【详解】依题意有，根据正弦定理得：，即，化简得：，整理得：，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故选：D.【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式
5、的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.7某同学研究曲线的性质，得到如下结论：的取值范围是；曲线是轴对称图形；曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为. 其中正确的结论序号为（ ）ABCD【答案】D【解析】把方程变形可得的取值范围，在方程中互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果.【详解】因为曲线的方程，所以，式子中的范围为，对应的的范围为，所以命题正确；在中，令，方程不变，所以曲线的图象关于直线对称，所以命题正确；设曲线上点的坐标为，因为，所以，即，所以，即，所以，又，所以，所以，则，当且仅当时取等号，所以曲线上的点到原点的距离的最小值是，所以命题正确；
6、所以正确命题的序号是，故选D.【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目.8若在直线上存在不同的三点，使得关于的方程有解（），则方程解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出.【详解】，即，所以，因为三点共线，所以，解得，当时，等价于，不合题意，所以，即解集为，故选B.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.9将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图
7、象关于轴对称，则在上的最小值为（ ）ABCD0【答案】A【解析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于轴对称，得到，结合题中所给的条件，求得，求得函数解析式，利用时，从而确定出函数的最小值.【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，对应的解析式为，因为其函数图象关于轴对称，所以有，因为，所以，所以，当时，所以当时，取得最小值，故选A.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.10已知为的外心，且，则等于（ ）A2B4C6D8【答案】A【解析】根据点为的外心，且，所以，得到答案.【详解】
8、因为点为的外心，且，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.11已知实数满足（是自然对数的底数），则的最小值为（ ）A10B18C8D12【答案】B【解析】首先对式子进行分析，得出其与距离有关，并且是曲线上的点与直线上的点之间距离的平方，分析得出什么时候距离取最小值，求解即可.【详解】设，可得，该题相当于求曲线上的点与直线上的点之间距离的平方的最小值，取最小值时是曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离的平方即为所求，对求导，得，即，解得，所以切点坐标为，点到直线的距离，则有；当且仅当时取等号，故结果为18
9、，故选B.【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，导数的几何意义，曲线在某点处的切线方程，基本不等式，属于较难题目.121777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于（），向此平面任投一根长度为的针，已知此针与其中一条线相交的概率是，则圆周率的近似值为（ ）ABCD【答案】C【解析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是，从中解出，从而得出答案.【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是，所以，
10、故选C.【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.二、填空题13已知为奇函数，函数与的图象关于直线对称，若，则_.【答案】【解析】首先根据题意确定出函数的图象上的一点，从而确定出点关于直线的对称点在函数的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出，利用奇函数的定义求得，得到结果.【详解】根据题意有，点在函数的图象上，且点关于直线的对称点在函数的图象上，设点关于直线的对称点为，则有，解得，所以有，因为函数是奇函数，所以有，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对
11、称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.14已知，若关于的方程有四个实根，则这四根之和的取值范围是_.【答案】【解析】作出的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出关于的函数，从而得出答案.【详解】作出的函数图象，如图所示：设，则，且，因为，所以，所以，所以，设，则，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围是：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.15已知中，角所对边分别为，则_.【答案】【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知
12、等式可得，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理即可解得的值.【详解】因为，所以，所以所以由正弦定理可得：，并且有，所以，由余弦定理可得，整理得，解得（负值舍去），故答案是：.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.16定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），则的取值范围是_.【答案】【解析】令，求出的导数，得到的单调性，可得，由，即可得到，得到结果.【详解】令，则，因为，即，所以在恒成立，即在上单调递减，可得，即，由，可得，则
13、；令，因为，即，所以在上单调递增，可得，即，则，即有，故答案是：.【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.三、解答题17已知是圆（为坐标原点）的内接三角形，其中，角所对的边分别是. （1）若点的坐标是，求的值；（2）若点在优弧上运动，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由点的坐标可得的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；（2）根据题意，可求得，利用正弦定理可得，由题意求得角A的范围，从而可求得，进而得到三角形的周长的取值范围.【详解】（1）根据题意可得，（2），.【点睛】该题考查的是
14、有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.18如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，且交于点，是上任意一点. （1）求证；（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）利用线面垂直的性质得，利用菱形的性质得，利用线面垂直的判定定理得平面，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到；（2）分别以，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，用坐标表示点，求得平面的法向量为，平面的法向量为，根据二面角的余弦值为，可求出，从而得到点的坐标，再利用
15、向量的夹角公式，即可求得与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，又四边形为菱形，又，平面 平面，（2）连，在中，平面分别以，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，则，. 由（1）知，平面的一个法向量为设平面 的一个法向量为，则由 即，令，则因二面角的余弦值为，设与平面所成角为，.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.19若，函数在区间上的最大值记为，求的表达式并求当为何值时，的值最小.【答案】，当时，取最小值.【解析】分类讨论，分时和时两种情况，当时，在区间上为增函数，求出最大
16、值，当时，结合函数的图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得，然后确定的最小值点.【详解】（1）时，单调递增. （2）当，如图所示，令，得或当，即时，当，即时，当，即时，综上，显然当时，取最小值.【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.20已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和. 记得到的平行四边形的面积为. （1）设，用的坐标表示；（2）设与的斜率之积与直线的斜率之积均为，求面积的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先利用题中的条件确定直线的方程，利用点到直线的距离公式求
17、得点C到直线的距离，利用面积公式求得，得到结果；（2）设出直线方程，利用两点斜率坐标公式求得，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得，利用已知条件可得，从而求得，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得，从而得到，得到结果.【详解】（1）直线. ，则（2）设，；又， 椭圆方程为联立，同理可得又将代入得，.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.21有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬
18、币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为. （1）求，；（2）写出与、的递推关系）；（3）求玩该游戏获胜的概率.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）结合题设条件能够求出，；（2）依题意，棋子跳到第站有两种可能：第一种，棋子先到站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到站，又掷出正面，其概率为，由此能够得到与的递推关系；（3）由，知数列是以为首项，为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果.【详解】（1）依题意得，（2）依题意知，棋子跳到
19、第站有两种情况：第一种，棋子先到站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到站，又掷出正面，其概率为. （3）由（2）知，且是以为首项，为公比的等比数列. 又 或玩该游戏获胜的概率为.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目.22已知函数. （1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，是定义域上的增函数，转化为，即恒成立，从而求出的取值范围；（2）将表示为关于的函数，由且，得，设方程，即得两根为，且，利用韦达定理可得，由，从而得到，根据题意可得，由得，将其代入上边式子可得，之后令，则，从而有，则，利用导数研究函数可得结果.【详解】（1）的定义域为，在定义域内单调递增，即对恒成立. 则恒成立. 所以，的取值范围是（2）将表示为关于的函数，由且，得设方程，即得两根为，且. 则， 代入得令，则，得，则 而且上递减，从而即 .【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.第 23 页 共 23 页
