1、2018-2019学年四川省乐山市十校高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在等比数列an中，a116，a48，则a7（）A4B4C2D22（5分）在ABC中，若，则A的大小是（）ABCD3（5分）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若（1，2为实数），则1+2的值为（）A1B2CD4（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a94，则S11等于（）A12B18C22D445（5分）在ABC中，B30，AB2，AC2，则ABC的面积为（）A2BC2 或4D 或26（5分
2、）已知，则向量在方向是的投影为（）ABC1D7（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏8（5分）在ABC中，A60，b1，ABC面积为，则的值为（）ABCD29（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，+），则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心10（5分）在ABC中，tanA+tanB+tanAtanB，且sinAcosA，则此三角形为（）A等腰三
3、角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形11（5分）对于函数yf（x），部分x与y的对应值如表：x123456789y745813526数列xn满足x12，且对任意nN+，点（xn，xn+1）都在函数yf（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+x2020+x2021的值为（）A9394B9396C9428D940012（5分）已知数列an满足：a11，an+1（nN*）若bn+1（n）（+1），b1，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范为（）A2B3C2D3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知A（1，2）和B（3，2），若向量（x+3，x23x4）与相等，
4、则x ；14（5分）已知数列an的前n项和Sn3n+1，则an 15（5分）在锐角ABC中，BC2，sinB+sinC2sinA，则中线AD长的取值范围是 16（5分）以下各说法中：若等比数列an的前n项和为，nN*，则实数a1；若两非零向量，若，则的夹角为锐角；在锐角ABC中，若B2A，则A（）已知数列an的通项，其前n项和为Sn，则使Sn最小的n值为5其中正确说法的有 （填写所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知平面向量，且（1）求向量的坐标；（2）若向量，求向量与向量的夹角18（12分）设递增等差数列an的前n项和为S
5、n，已知a31，a4是a3和a7的等比中项，（）求数列an的通项公式；（）求数列an的前n项和Sn19（12分）设（2sinx，cos2x），（cosx，1），其中x0，（1）求f（x）的最大值和最小值；（2）当，求|20（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2ac且cosB（1）求+的值；（2）若，求a+c的值21（12分）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45，B点北偏西60，这时，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时（
6、）求B点到D点的距离BD；（）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间22（12分）设正项数列an的前n项和为Sn，已知4Snan2+2an（nN*）（1）求证：数列an是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn，且bn，若Tnn+（1）n2对任意nN*都成立，求实数的取值范围2018-2019学年四川省乐山市十校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在等比数列an中，a116，a48，则a7（）A4B4C2D2【分析】由等比数列的性质可得，
7、a1a7a42结合已知可求【解答】解：由等比数列的性质可得，a1a7a42故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的性质：若m+np+q，则anamapaq在数列的项的求解中的应用2（5分）在ABC中，若，则A的大小是（）ABCD【分析】根据已知和余弦定理可得【解答】解：由1得，cosA，0A，A故选：C【点评】本题考查了余弦定理，属中档题3（5分）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若（1，2为实数），则1+2的值为（）A1B2CD【分析】作出图形，根据向量的线性运算规则，得，再由分解的唯一性得出1与2的值即可【解答】解：由题意，如图，因为ADAB，BEBC，又（1，
8、2为实数），1+2故选：C【点评】本题考查向量基本定理，分解的唯一性是此类求参数题建立方程依据，注意体会这一规律4（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a94，则S11等于（）A12B18C22D44【分析】由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S1111a6得答案【解答】解：在等差数列an中，由a3+a94，得2a64，a62S1111a611222故选：C【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题5（5分）在ABC中，B30，AB2，AC2，则ABC的面积为（）A2BC2 或4D 或2【分析】利用余弦定理可得a，再利用三角形面积计算公式即可得出【解
9、答】解：由余弦定理可得：+a22acos30，a26a+80解得a2或4SABCsinB或2故选：D【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）已知，则向量在方向是的投影为（）ABC1D【分析】利用已知条件求出向量的数量积，然后利用向量在方向是的投影公式求解即可【解答】解：知，可得2+13，所以：向量在方向是的投影为：故选：A【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查7（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一
10、层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B3盏C5盏D9盏【分析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，S7381，解得a13故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）在ABC中，A60，b1，ABC面积为，则的值为（）ABCD2【分析】利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得a，进而根据正弦定理求得2R，进而推断出答案可得【解答】解：SABCbcsinA1cc4根据余弦定理有：a2b2+c22bcco
11、sA1+1621413所以，a根据正弦定理，则：故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用要求考生能利用正弦定理和余弦定理对解三角形问题中边，角问题进行互化或相联系9（5分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，+），则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与BAC的角平分线一致，再由可得到（+），可得答案【解答】解：、分别表示向量、方向上的单位向量+的方向与BAC的角平分线一致又，（+）向量的方向与BAC的角平分线一致一定通过ABC的内心故选：B【点评】本题主要考查向量的线性运
12、算和几何意义属中档题10（5分）在ABC中，tanA+tanB+tanAtanB，且sinAcosA，则此三角形为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【分析】由tanA+tanB+tanAtanB，推导出C60，由sinAcosA，推导出A60，从而得到ABC为等边三角形【解答】解：tanA+tanB+tanAtanB，即tanA+tanB（1tanAtanB），tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，A+B120，即C60，sinAcosA，tanA，A60，ABC为等边三角形故选：D【点评】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函
13、数和同角三角函数关系式的合理运用11（5分）对于函数yf（x），部分x与y的对应值如表：x123456789y745813526数列xn满足x12，且对任意nN+，点（xn，xn+1）都在函数yf（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+x2020+x2021的值为（）A9394B9396C9428D9400【分析】xn+1f（xn），x12，可得：xn+3xn，即可求得结果【解答】解：xn+1f（xn），x12x2f（2）4，x3f（x2）f（4）8，x4f（x3）f（8）2，xn+3xn，x1+x2+x3+x4+x2020+x2021673（x1+x2+x3）+x1+x267314+2+4
14、9428故选：C【点评】本题考查了数列的递推关系、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知数列an满足：a11，an+1（nN*）若bn+1（n）（+1），b1，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范为（）A2B3C2D3【分析】，分别令n1，2，3，依次求出a2，a3，a4，由此猜想an，并用用数学归纳法证明由an知bn+1（n）（+1）（n）2n，再由b1，数列bn是单调递增数列，能求出的取值范围【解答】解：，a2，a3，a4，由此猜想an用数学归纳法证明：当n1时，1，成立；假设nk时，等式成立，即，则当nk1时，ak+1，成立anbn+1（n）（+1）（n）2n，
15、b2（1）222，b1，数列bn是单调递增数列，b1b222，解得2故选：C【点评】本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知A（1，2）和B（3，2），若向量（x+3，x23x4）与相等，则x1；【分析】先求出，根据得到关于x的方程组，解出x即可【解答】解：已知A（1，2），B（3，2），向量（x+3，x23x4）与相等，x1故答案为：1【点评】本题考查了两向量相等，关键是根据坐标相等得到方程组，属基础题14（5分）已知数列an的前n项和Sn3n+1，则an【分析】由
16、数列的前n项和求得首项，再由anSnSn1求得n2时的通项公式，验证n1后得答案【解答】解：Sn3n+1，当n1时，a1S14；当n2时，23n1验证n1时上式不成立，an故答案为：【点评】本题考查了数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题15（5分）在锐角ABC中，BC2，sinB+sinC2sinA，则中线AD长的取值范围是）【分析】由已知ABC为锐角三角形结合正弦定理，余弦定理可求b的范围，进而可求bc的范围，然后由可求|，进而可求【解答】解：BC2，sinB+sinC2sinA，由正弦定理可得，b+c2a4，即c4b，锐角ABC，解可得，bcb（4b）4bb2（b2
17、）2+4，结合二次函数的性质可知，（b2）2+44，|，故答案为：）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及二次函数的性质，数量积的性质的综合应用，属于知识的综合应用16（5分）以下各说法中：若等比数列an的前n项和为，nN*，则实数a1；若两非零向量，若，则的夹角为锐角；在锐角ABC中，若B2A，则A（）已知数列an的通项，其前n项和为Sn，则使Sn最小的n值为5其中正确说法的有（填写所有正确的序号）【分析】在中，分别求出a1S13+a，a2S2S16，a3S3S218，再由a1，a2，a3成等比数列，能求出实数a；在中，的夹角为锐角或0；在中，由0A，02A，03A，能求出A的范围；在中
18、，由0，得n，a53，a63，由此能求出使Sn最小的n值为5【解答】解：在中，若等比数列an的前n项和为，nN*，则a1S13+a，a2S2S1（9+a）（3+a）6，a3S3S2（27+a）（9+a）18，a1，a2，a3成等比数列，a1a3，3618（3+a），解得实数a1，故正确；在中，若两非零向量，若，则的夹角为锐角或0，故错误；在中，在锐角ABC中，B2A，0A，02A，03A，解之得A，则A（），故正确；在中，数列an的通项，其前n项和为Sn，由0，得n，a53，a63，使Sn最小的n值为5，故正确故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列、向量的数量积、三角函数
19、等基础知识，考查运算求解能力和推理能力，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知平面向量，且（1）求向量的坐标；（2）若向量，求向量与向量的夹角【分析】（1）分别根据和即可得出3x360，12+4y0，从而解出x12，y3，从而得出；（2）可求出，并设的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角【解答】解：（1）；3x360；x12；y3；（2），；，设的夹角为；则：；0，；即向量与向量的夹角为【点评】考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算18（12分）设递增等差数列an的前n项和
20、为Sn，已知a31，a4是a3和a7的等比中项，（）求数列an的通项公式；（）求数列an的前n项和Sn【分析】（I）在递增等差数列an中，由，解得，由此能求出an （II）在等差数列中，由，能求出数列an的前n项和Sn【解答】解：（I）在递增等差数列an中，设公差为d0，解得（5分）an3+（n1）22n5（II）由（I）知，在等差数列中，故（10分）【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化19（12分）设（2sinx，cos2x），（cosx，1），其中x0，（1）求f（x）的最大值和最小值；（2）当，求|【分析】（1）根据 f（x）2
21、sinxcosx+cos2xsin（2x），x0，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值和最大值（2）当时，由 sin（2x）0，可得2x，从而求得|的值【解答】解：（1）由于（2sinx，cos2x），（cosx，1），其中x0，f（x）2sinxcosx+cos2xsin2x+cos2xsin（2x）根据 2x，故当2x 时，函数f（x）取得最大值为1，当2x+时，函数取得最小值为（2）当时，sin（2x）0，结合2x，可得2x0，即2x（cosx2sinx，1cos2x），|【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的定义域和值域，求向量的模，属于中档题20（12分）在
22、ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2ac且cosB（1）求+的值；（2）若，求a+c的值【分析】（1）根据同角的三角函数的关系和正弦定理即可求出，（2）由向量的数量积结合余弦定理即可求出【解答】解：（1）b2ac且cosB，sinB，因b2ac由正弦定理得 sin2BsinAsinC则（2）由可得accosB，又cosB可得b2ac，由余弦定理有b2a2+c22accosB（a+c）22ac（1+cosB），（a+c）22（1+），解得a+c3，a+c3【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理，以及向量的数量积和同角的三角函数的关系，属于基础题21（12分）某海域的东西方向上分
23、别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45，B点北偏西60，这时，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时（）求B点到D点的距离BD；（）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间【分析】（）利用正弦定理，求出BD，（）在DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间【解答】解：（）由题意知AB5（3+）海里，DBA906030，DAB904545，ADB180（45+30）105，（2分）在DAB中，由正弦定理得，DB10（海里） （6分）（）在DBC中
24、，DBCDBA+ABC30+（9060）60，（8分）BC20（海里），由余弦定理得CD2BD2+BC22BDBCcosDBC300+120021020900，（10分）CD30（海里），则需要的时间t1（小时）（11分）答：救援船到达D点需要1小时（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，解三角形的实际问题的应用，考查计算能力22（12分）设正项数列an的前n项和为Sn，已知4Snan2+2an（nN*）（1）求证：数列an是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn，且bn，若Tnn+（1）n2对任意nN*都成立，求实数的取值范围【分析】（1）由数列的递推式和等
25、差数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得bn，由裂项相消求和可得Tn，再对n讨论为奇数或偶数，结合数列的单调性，可得所求范围【解答】解：（1）证明：，且an0，当n1时，解得a12，当n2时，有即，即于是，即（an+an1）（anan1）2（an+an1）an+an10，anan12（n2）为常数数列an是2为首项，2为公差的等差数列，an2n；（2）由（1）可得：，Tnn+（1）n2即n+（1）n2，即为min，当n为偶数时，恒成立，令f（n）n+3，由于n为偶数，可得f（n）为增函数，f（n）的最小值为f（2）6，可得6；当n为奇数时，恒成立，又，在nN为增函数，f（n）minf（1）2，由可知2，综上所述的取值范围为（，2）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的单调性和运用，考查化简运算能力，属于中档题
