1、 - 1 - 2019-2020 学年度秋四川省泸县一中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题 第第 I 卷卷(选择题选择题 共共 60 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.设集合 ，则 A. B. C. D. 2.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.函数的大致图像为 A. B. C. D. 4.若，则 A. B. C. D. 5.双曲线 的一条渐近线方程为，则该双 曲线的离
2、心率为 A. B. C. D. 2 6.若执行下边的程序框图，输出 的值为 5，则判断框中应填入的条件是 A. B. C. D. 7.已知偶函数在上单调递增，则对实数 ，“”是“”的 - 2 - A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 中随机投掷 10000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值是 （注：若，则 ，） A. 7539 B. 7028 C. 6587 D. 6038 9.平面内的一条直线将平面分成 2 部分，两条相交直线将平面分成 4 部分，三条两两相交且不共点的直线 将
3、平面分成 7 部分，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为 A. 16 B. 20 C. 21 D. 22 10.设函数， 有且仅有一个零点，则实数 的值为 A. B. C. D. 11.已知等差数列，其前 项和为， ，则= A. B. C. D. 12.定义域为的函数图像的两个端点为 、 ， 向量 ，是 图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上 满足“ 范围线性近似”，其中最小正实数 称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则 该函数的线性近似阈值是 A. B. C. D. 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 90 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，
4、每小题 5 分，满分 20 分） 13.已知实数满足不等式组 的最大值为_ 14.的展开式中常数项是 .（用数字作答） 15.已知 是抛物线 ：的焦点，点， 点 是 上任意一点， 当点 在时， 取 得最大值，当点 在时，取得最小值.则_ - 3 - 16.如图，已知圆锥的顶点为 S，底面圆 O 的两条直径分别为 AB 和 CD，且 ABCD，若平面平面 现有以下四个结论： AD平面 SBC； 若 E 是底面圆周上的动点，则SAE 的最大面积等于SAB 的面积；与平面 SCD 所成的角为 45 其中正确结论的序号是_ 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5、，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 21 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分 12 分） 在中，角 ， 所对的边分别是 ， ， ，且. （）求角 ； （）若，求. 18.（本大题满分 12 分） 2018 年 12 月 28 日，成雅铁路开通运营，使川西多个市县进入动车时代，融入全国高铁网，这对推动沿线 经济社会协调健康发展具有重要意义.在试运行期间，铁道部门计划在成都和雅安两城之间开通高速列车， 假设每天 7:00-8:00，8:00
6、-9:00 两个时间段内各发一趟列车由雅安到成都（两车发车情况互不影响），雅 安发车时间及其概率如下表所示： 第一趟列车 第二趟列车 发车时间 7:10 7:30 7:50 8:10 8:30 8: 50 概率 0.2 0.3 0.5 0.2 0.3 0.5 若小王、小李二人打算乘动车从雅安到成都游玩，假设他们到达雅安火车站候车的时间分别是周六 7:00 和 7:20（只考虑候车时间，不考虑其它因素）. （）求小王候车 10 分钟且小李候车 30 分钟的概率； - 4 - （）设小李候车所需时间为随机变量 ，求 的分布列和数学期望. 19.（本大题满分 12 分） 如图，在三棱柱侧面 （）求证
7、：平面平面； （）若，求二面角的余弦值 20.（本大题满分 12 分） 已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数 ，点的轨迹为曲线 . （）求曲线 的方程； （）若直线：交曲线 于 ， 两点，当点不在 、 两点时，直线，的斜率分别为 ，求证：，之积为定值. 21.（本大题满分 12 分） 已知函数，其中. （）若函数仅在处取得极值，求实数 的取值范围； （）若函数有三个极值点，求证： . （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数,倾斜
8、角),曲线 C 的参数方程为 ( 为参数,)，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （）写出曲线 的普通方程和直线的极坐标方程; （）若直线与曲线 恰有一个公共点 ，求点 的极坐标。 - 5 - 23.设函数 （）解不等式； （）若对一切实数 均成立，求的取值范围. - 6 - 2019-2020 学年度秋学年度秋四川省泸县一中高三第一学月考试四川省泸县一中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题答案答案 1.A 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.B 11.A 12.B 12.解析：由向量及 可得：两点的横坐标相等，将不 等式恒成立问题转化成：
9、 时，恒成立，转化成： .，记：，即可求得 ，问题得解。 作出函数图像，它的图象在上的两端点分别为：, 所以直线的方程为： 设是曲线上的一点，其中 由，可知三点共线， 所以点的坐标满足直线的方程， 又,则 所以两点的横坐标相等. 故 函数在上满足“ 范围线性近似” 所以 时，恒成立. 即：恒成立. 记，整理得：， - 7 - ，当且仅当时，等号成立。 当时， 所以，所以. 即： 所以该函数的线性近似阈值是： 故选：B 13.3 14.15 15. 16. 17.（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得， 再结合余弦定理可得. 解：（1）由正弦定理得：， 又，得 . （2）由正弦定理得：，
10、 又由余弦定理：， 代入，可得. 18.（1）小王候车 10 分钟的概率为，小李候车 30 分钟的概率为. 则小王候车 10 分钟且小李候车 30 分钟的概率为. （2）随机变量 所有可能取值为 10、30、50、70、90 分钟. 其分布列如下： 随机变量 10 30 50 70 90 概率 0.3 0.5 0.04 0.06 0.1 - 8 - . 19.(1)如图，设，连接 AG. 因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以 G 为的中点， 因为， 所以为等腰三角形，所以， 又因为 AB侧面，且平面， 所以 又因为， 所以平面 AB，又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）知平面 AB，所以
11、B 以 G 为坐标原点，以的方向为 x 轴正方向，以的方向为 y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系 G-xyz. 由B易知四边形为菱形，因为 所以， 则可得， 所以 设平面的法向量， 由得：，取 z=1，所以， 由（1）知=为平面 AB的法向量， - 9 - 则 易知二面角的余弦值. 20.（1）由题意， 将上式两边平方，化简：， 即曲线 的方程为. （2）把代入，有， 设，则：，. ，. .即，之积为定值. 21.解：（1）由，得 ， 由仅在处取得极值，则，即. 令，则，当单调递减，单调递增， 则， 当时，此时仅一个零点， 则仅一个为极值点， 当时，与在同一处取得零点，此时， ， 仅
12、一个零点，则仅一个为极值点，所以 a=e. 当 ae 时，显然与已知不相符合. . - 10 - （2）由，则. 由题意则有三个根，则有两个零点， 有一个零点， 令，则， 当时取极值，时单调递增， ，则时有两零点，且 ， 若证：，即证：， 由，则， 即证： ， 由在上单调递增，即证：， 又，则证， 令， . 恒成立，则为增函数， 当时， 得证. 22.（1）由曲线 的参数方程，得. ，曲线 的普通方程为. 直线的参数方程为（ 为参数， 为倾斜角）， 直线的倾斜角为 ，且过原点（极点）. 直线的极坐标方程为，. （2）由（），可知曲线 为半圆弧. 若直线与曲线 恰有一个公共点 ，则直线与半圆弧相切. 设，由题意，得.故. 而，. 点 的极坐标为. - 11 - 23.（1）当时 得，所以，时，不等式 成立； 当时，得，所以，时， 不等式成立； 当时，得，所以，成立 综上，原不等式的解集为： （2），当且仅当 时，取等号， 所以，的最小值为 9，故
