1、2 天津一中 2019-2020 高三年级一月考数学试卷（理） 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利! 一、选择题： 1已知集合 Ax|x2x20，Bx| 1 2 log x1，则 AB（） A（1，2）B（1，2C（0，1）D（0，2） 2对一切R，3m2 1 2 msincos恒成立，则实数 m 的取值范围是（） A（ 1 3 ， 1 2 ）B（， 1 3 ）（ 1 2 ，+） C（ 1 2 ， 1 3 ）D（， 1 2 ）（ 1 3 ，+） 3把函数
2、f（x）sinx 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），再把所 得曲线向右平移 6 个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（） A 12 x B 12 x C 3 x D 7 12 x 4已知 a30.1，blog32，ccos4，则（） AcabBacbCcbaDbca 5若 sin（ 4 ） 1 2 ，则 cos（ 2 +2）（） A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 1 3 天津一中天津一中 2019-2020 高三年级一月考数学试卷高三年级一月考数学试卷 3 6已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 f（2+x）f（x），f（1）3，则 f（2018） +f
3、（2019）的值为（） A3B0C3D6 7用边长为 18cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的 小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的 边长为（） A1cmB2cmC3cmD4cm 8设函数 f（x） 2 (),0 24,0 xx x eex xxx ，若函数 g（x）f（x）ax 恰有两个零点，则 实数 a 的取值范围为（） A（0，2）B（0，2C（2，+）D2，+） 9已知函数 f（x）sin（x+），其中0，（0， 2 ），其图象关于直线 x 6 对 称，对满足|f（x1）f（x2）|2 的 x1，x2，有|x1x2|
4、min 2 ，将函数 f（x）的图象向左 平移 6 个单位长度得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调递减区间是（） A, 62 kk （kZ）B, 2 kk （kZ） C 5 , 36 kk （kZ）D 7 , 1212 kk （kZ） 二、填空题： 10已知复数 z 2 ai i （aR）的实部为1，则|z| 11已知 1 sincos 3 (0)，则 44 cossin的值是 4 12已知函数( )(1)( ,) x f xbxea a bR若曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程 为yx，则a，b的值分别为 a=，b= 13已知函数 f（x）|log3x|，实数 m，
5、n 满足 0mn，且 f（m）f（n），若 f（x）在 m2，n的最大值为 2，则 n m 14已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有 3 个红球和 4 个蓝球，从乙盒中随机抽取 i （i1，2）个球放在甲盒中，放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数i（i1，2），则 E（1）+E（2）的值为 15已知函数 f（x）sin2x2cos2x+1，有以下结论：若 f（x1）f（x2），则 x1x2 k（kZ）： f（x）在区间 7 8 ， 3 4 上是增函数： f（x）的图象与 g（x）2cos（2x 2 3 ）图象关于 x 轴对称： 设函数 h（x）f（x）2x，当 12 时，h（2）+h（）+
6、h（+2） 2 其中正确的结论为 5 三、解答题： 16已知0 2 ， 5 cos() 45 （1）求tan() 4 的值； （2）求sin(2) 3 的值 17已知函数( )2sincosf xxxxx，( )fx为( )f x的导数 （）求曲线( )yf x在点(0A，(0)f处的切线方程； （）证明：( )fx在区间(0, )上存在唯一零点； （）设 2 ( )2()g xxxa aR，若对任意 1 0x ，均存在 2 1x ，2，使得 12 ()()f xg x，求实数a的取值范围 18已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos 33 f xxxx ，其中0，且函数( )f
7、x的最 小正周期为 （1）求的值； （2）求( )f x的单调增区间 （3）若函数( )( )g xf xa在区间 4 ， 4 上有两个零点，求实数a的取值范围 6 19设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右顶点为 ，上顶点为 已知椭圆的离心率为 5 3 ， |13AB . （）求椭圆的标准方程； （）设直线 ：与椭圆交于， 两点，且点在第二象限. 与延长线交于 点 ，若的面积是面积的 3 倍，求 的值. 20已知函数( )f xlnx， 2 ( )1 a g xbx x ，( ,)a bR （）当1a ，0b 时，求曲线( )( )yf xg x在1x 处的切线方程； （）当0
8、b 时，若对任意的1x，2，( )( ) 0f xg x 恒成立，求实数a的取值范围； （）当0a ，0b 时，若方程( )( )f xg x有两个不同的实数解 1 x， 212 ()xxx，求证： 12 2xx 7 参考答案： 一选择题（共 9 小题） 1【解答】解：集合 Ax|x2x20x|1x2， Bx|logx1x|0x2， ABx|1x2（1，2 故选：B 2【解答】解：对一切R，3m2msincos恒成立，转化为：3m2m sincos的最大值， 又R 知 sincos， sincos的最大值为； 所以 3m2m；可得 m或 m 故选：B 3【解答】解：函数 f（x）sinx图象上
9、所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐 标不变），可得 ysin2x， 再把所得曲线向右平移个单位长度，可得 ysin2（x）sin（2x） 由对称轴方程 2x，kZ 当 k1时，可得一条对称轴 x 8 故选：A 4【解答】解：30.1301，0log31log32log331，cos4 0；cba 故选：C 5【解答】解：sin（）， 则 cos（+2）cos（+2）cos（2）cos（2） 1+21+2， 故选：C 6【解答】解：f（x）为奇函数， f（x）f（x）， 又 f（2+x）f（x）， f（2+x）f（x）， f（x+4）f（x+2）f（x）， 函数 f（x）是周期为 4的周期函数，
10、 f（2018）+f（2019）f（4504+2）+f（4504+3）f（2）+f（3）， 又 f（2）f（0）0，f（3）f（1）f（1）3， f（2018）+f（2019）3 故选：A 9 7【解答】解：设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3， 由题意得，Vx（182x）2（0x9）， V12（3x）（9x）， 令 V0，则在（0，9）内有 x3 故当 x3时，V 有最大值； 故选：C 8【解答】解：由 yf（x）ax恰有两个零点，而当 x0时，yf（0）0 0，即 x0是函数的一个零点， 故当 x0 时，必有一个零点，即函数与函 数 ya必有一个交点， 作出函数 h
11、（x）图象如下所示， 由图可知，要使函数 h（x）与函数 ya 有一个交点，只需 0a2即可 故实数 a的取值范围是（0，2） 10 故选：A 9【解答】解：已知函数 f（x）sin（x+），其中0，0（0，），其图 象关于直线 x对称， 对满足|f（x1）f（x2）|2 的 x1，x2，有|x1x2|min，2 再根据其图象关于直线 x对称，可得 2+k+，kZ ，f（x）sin（2x+） 将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数 g（x）sin（2x+） cos2x的图象 令 2k2x2k+，求得 kxk+， 则函数 g（x）的单调递减区间是k，k+，kZ， 故选：B 二填空题（共
12、 6 小题） 10【解答】解：z， ，即 a5 z1+2i，则|z| 故答案为： 11 11【解答】解：把 sin+cos，两边平方得：（sin+cos）21+2sincos， 即 2sincos， 则 sincos， 则 cos4+sin4（sin2+cos2）22sin2cos212（）2 故答案为： 12 【解答】解：( )(1) x f xbxea得( )(1) x fxe bxb， 曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为yx (0)1f ，(0)0f， 即11b ，10a ， 解得1a ，2b ， 故答案为：1，2 13【解答】解：f（x）|log3x|，正实数 m，n满
13、足 mn，且 f（m）f（n）， log3mlog3n，mn1 f（x）在区间m2，n上的最大值为 2，函数 f（x）在m2，1）上是减函数，在 （1，n上是增函数， log3m22，或 log3n2 若log3m22是最大值，得 m，则 n3，此时 log3n1，满足题意条件那 么： 同理：若 log3n2是最大值，得 n9，则 m，此时log3m24，不满足题意条 件 12 综合可得 m，n3，故， 故答案为 9 14【解答】解：甲盒中含有红球的个数1的取值为 1，2， 则 P（11），P（12） 则 E（1）； 甲盒中含有红球的个数2的取值为 1，2，3， 则 P（21），P（22），P
14、（23） 则 E（2） E（1）+E（2） 故答案为： 15【解答】解：函数化简可得 f（x）sin2x2cos2x+12sin（2x）， 对于：若 f（x1）f（x2），可知 x1，x2关于对称轴是对称的，即 x1+x2 ，不对； 对于：令2x，可得； f（x）在区间，上是增函数：正确； 13 对于：f（x）的图象关于 x 轴对称，可得 y2sin（2x）2cos（2x ）；对； 对于：设函数 h（x）f（x）2x2sin（2x）2x 当时，h（2）2sin（2（2）2（2）2sin（24 ）（24） h（）2sin（2）2 h（+2）2sin（2+4）（2+4） h（2）+h（）+h（+2
15、） 故答案为： 三解答题（共 5 小题） 16 【分析】 （1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，sin() 4 的值，可得 tan() 4 的值 （2）先求得tan的值，再利用二倍角公式求得sin2、cos2的值，再利用两角和的正 弦公式求得sin(2) 3 的值 【解答】解： （1）已知0 2 ， 5 cos() 45 ， 2 2 5 sin()1cos () 445 ， sin() 4 tan()2 4 cos() 4 14 （2） tan1 tan()2 41tan ， 1 tan 3 ， 222 2sincos2tan3 sin2 sincostan15 ， 222 222 co
16、ssin1tan4 cos2 sincostan15 ， 34 3 sin(2) 310 17 【分析】 （）求出( )fx，推出(0)0 f ，(0)0f，然后求解曲线( )yf x在点(0A， (0)f处的切线方程 （）设( )( )g xfx，则( )cossin1g xxxx，( )cosg xxx求 出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点 （）由已知，转化为( )( ) minmin f xg x，求出( )ming xg（1）1a设为 0 x，且当 0 (0,)xx时，( )0fx；当 0 (xx，)时，( )0fx，求出函数的最小值，然后求解a的 取值范围 【解
17、答】解： （）( )cossin1fxxxx，所以(0)0 f ，(0)0f， 从而曲线( )yf x在点(0A，(0)f处的切线方程为0y （）设( )( )g xfx，则( )cossin1g xxxx，( )cosg xxx 当(0,) 2 x 时，( )0g x； 当(, ) 2 x 时，( )0g x， 所以( )g x在(0,) 2 单调递增，在(, ) 2 单调递减 又(0)0, ()0, ( )2 2 ggg ， 故( )g x在(0, )存在唯一零点 所以( )fx在(0, )存在唯一零点 （）由已知，转化为( )( ) minmin f xg x，且( )ming xg（1
18、）1a 由（）知，( )fx在(0, )只有一个零点， 设为 0 x，且当 0 (0,)xx时，( )0fx； 当 0 (xx，)时，( )0fx， 所以( )f x在 0 (0,)x单调递增，在 0 (x，)单调递减 15 又(0)0f，( )0f， 所以当0x，时，( )0 min f x 所以01a，即1a ， 因此，a的取值范围是(,1) 18 【 分 析 】（ 1 ） 利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 化 简 函 数 解 析 式 可 得 ( )2sin(2)1 4 f xx ，利用三角函数周期公式可求的值 （2）由正弦函数的单调性可求( )f x的单调增区间 （ 3
19、） 作出 函 数( )yf x在 4 ， 4 上 的图 象 ，从 图象 可 看出(0)()2 4 ff ， ()21 8 f ， 可 求 当 曲 线( )yf x与ya在 4 x ， 4 上 有 两 个 交 点 时 ， 221a ，即可得解实数a的取值范围 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1） 2 ( )sin(2)sin(2)2cos 33 f xxxx 1313 sin2cos2sin2cos21cos2 2222 xxxxx sin2cos21xx 2sin(2)1 4 x ，3分 2 2 T ， 14 分 （2）由222 242 kxk ，kZ，6分 解得： 3 88 kx
20、k ，kZ，7分 可得( )f x的单调增区间为： 3 8 k ， 8 k ，kZ，8分 （3）作出函数( )yf x在 4 ， 4 上的图象如右： 16 函数( )g x有两个零点，即方程( )0f xa有两解，亦即曲线( )yf x与ya在 4 x ， 4 上有两个交点， 从图象可看出(0)()2 4 ff ，()21 8 f ， 所以当曲线( )yf x与ya在 4 x ， 4 上有两个交点时， 则221a ，即实数a的取值范围是2，21)12分 19 【答案】 （）（） 【详解】 （）设椭圆的焦距为，由已知得， 所以，椭圆的方程为 （II）设点，由题意，且 由的面积是面积的 3 倍，可
21、得， 所以，从而， 所以，即 易知直线的方程为，由消去 ，可得 由方程组消去 ，可得 由，可得， 17 整理得，解得，或 当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去 所以， 的值为 20 【分析】 （）求出( )( )yf xg x的导函数，求出函数在1x 时的导数得到切线的斜率， 然后用一般式写出切线的方程； （）对1x ，2，( )( ) 0f xg x 都成立，则对1x ，2， 22 ax lnxx ，恒成 立，构造函数 22 ( )(12)h xx lnxxx ，求出( )h x的最大值可得a的范围； （）由( )( )f xg x，得10lnxbx ，构造函数( )1(0)F xlnxb
22、xx，将问题转化 为证明 11 2 ()0()FxF x b ，然后构造函数证明 112 2 ()()0()FxF xF x b 即可 【解答】解： （）当1a 时，0b 时， 2 1 1ylnx x ，当1x 时，2y ， 3 12 y xx ，当1x 时，1y ， 曲线( )( )yf xg x在1x 处的切线方程为30xy； （ ） 当0b 时 ， 对1x ，2，( )( ) 0f xg x 都 成 立 ， 则 对1x ，2， 22 ax lnxx 恒成立， 令 22 ( )(12)h xx lnxxx ，则( )2h xxlnxx 令( )0h x，则xe， 当1xe，( )0h x，
23、此时( )h x单调递增；当2ex时，( )0h x，此时( )h x单 调递减， ( )() 2 max e h xhe， 2 e a ， a的取值范围为 ,) 2 e ； （）当0a ，0b 时，由( )( )f xg x，得10lnxbx ， 方程( )( )f xg x有两个不同的实数解 1 x， 212 ()xxx， 18 令( )1(0)F xlnxbxx，则 12 ()()0F xF x， 1 ( )F xb x ，令( )0F x，则 1 x b ， 当 1 0x b 时，( )0F x，此时( )F x单调递增；当 1 x b 时，( )0F x，此时( )F x单调 递减，
24、 1 ( )( )0 max F xF b ，01b，又 1 ( )0 b F ee ，F（1）10b ， 1 11 1x eb ， 1 21 x bb ， 只要证明 21 2 xx b ，就能得到 12 2 2xx b ，即只要证明 11 2 ()0()FxF x b ， 令 221 ( )()( )()22(0)G xFxF xlnxlnxbxx bbb ，则 2 1 2 () ( )0 2 () b x b G x x x b ， ( )G x在 1 (0, ) b 上单调递减，则 1211 ( )( )()( )0G xGFF bbbb ， 111 2 ()()()0G xFxF x b ， 112 2 ()()0()FxF xF x b ， 21 2 xx b ， 12 2 2xx b ，即 12 2xx，证毕
