1、3.2.2函数的和、差、积、商的导数学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一和、差的导数已知f(x)x，g(x).思考1f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案f(x)1，g(x).思考2试求Q(x)x，H(x)x的导数答案y(xx)x，1.当x0时，11.Q(x)1.同理，H(x)1.梳理和、差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)知识点二积、商的导数(1)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；Cf(x)Cf(x)(C为常数)(2)商的导数(g(x)0)特别提醒：f(x)g(x)f(
2、x)g(x)，.1若f(x)ax2bxc(a，b，cR且a0)，则f(x)2axb.()2f(x)g(x)f(x)g(x)()3(tan x).()4.()类型一导数运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)f(x)ax3bx2c；(2)f(x)xln x2x；(3)f(x)；(4)f(x)x2ex.解(1)f(x)(bx2)cax22bx.(2)f(x)(xln x2x)(xln x)(2x)xln xx(ln x)2xln 2ln x12xln 2.(3)方法一f(x).方法二f(x)1，f(x).(4)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)反思与感悟
3、(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y3x2xcos x；(2)y；(3)y；(4)yex(2x23x4)解(1)y(3x2)(xcos x)3(x2)xcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)y(2x2)(3x3)4x39x4.(3)y.(4)y(ex)(
4、2x23x4)ex(2x23x4)ex(2x23x4)ex(4x3)ex(2x2x1)类型二导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数运算法则求参数例2(1)已知函数f(x)2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.解(1)由题意得f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，即f(1)1.所以f(x)2x，得f(e)2e2e，f(1)2，由f(e)f(1)2e20，得f(e)f(1)(2)由已知f(x)(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(cxd)c
5、os x(axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x)asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x(acxd)sin x(axbc)cos x.又f(x)xcos x，即解得ad1，bc0.反思与感悟(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f(1)，注意f(1)是常数(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2exf(1)3ln x，则f(1)_.答案解析f(x)2exf(1)，令x1，得f(1)2ef(1)3，f(1)
6、.命题角度2与切线有关的问题例3已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程解(1)因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知，g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087，又g(0)3，所以g(x)在x0处的切线方程为y37(x0)，即7xy30.反思与感悟(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可
7、以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练3(1)设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.答案1解析y，当x时，y1，直线xay10的斜率是，由题意1，所以a1.(2)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_答案4解析因为曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，由导数的几何意义知，g(1)2，又因为f(x)g(x
8、)x2，所以f(x)g(x)2xf(1)g(1)24，所以yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为4.1函数y(1)(1)的导数为_答案1解析因为y(1)(1)x1，所以yx11.2函数y的导数是_答案解析y.3曲线y在点(1，1)处的切线方程为_答案y2x1解析y，k2，切线方程为y12(x1)，即y2x1.4已知函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)fsin xcos x，则f_.答案解析f(x)fcos xsin x，则ffcossin，f.5设曲线yf(x)在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a_.答案2解析y，f(3)，曲线y在点(3,2)处的切线斜率为，由题意得(a)1，a2.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变换，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题
