1、2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距知识点二双曲线的标准方程思考如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OBb吗？答案以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OBb.梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，
2、b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距F1F22c，c2a2b21在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同()2点A(1,0)，B(1,0)，若ACBC4，则点C的轨迹是双曲线()3在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()4双曲线1的焦距为4.()类型一求双曲线的标准方程例1求下列双曲线的标准方程：(1)与椭圆1有公共焦点，且过点(2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上解(1)椭圆1的焦点为F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则有解得故所求双曲线
3、的标准方程为1.(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，所以c13，所以b2c2a225.所以双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)因为点P，Q在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21，双曲线的标
4、准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)点P(4，2)和点Q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的标准方程为1.由题意，知解得双曲线的标准方程为1.类型二由双曲线方程求参数值或范围例2方程1表示双曲线，那么m的取值范围为_答案m|3m2或m3解析依题意有或解得3m2或m3.m的取值范围为m|3m2或m3反思与感悟方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程1，当mn0，n0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时，表示焦点在y轴上的双曲线(2)对于方程1，当mn0时，表示双曲线，且当m0，n0
5、时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时，方程可化为1，则c2kk，即26，故k6.当k0，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，ABm，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_答案4a2m解析由双曲线的定义，知AF1AF22a，BF1BF22a.又AF2BF2AB，所以ABF1的周长为AF1BF1AB4a2AB4a2m.(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_答案16解析由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得PF1PF26，F1FPFPF2PF1PF2cos 60，所以102(PF1
6、PF2)2PF1PF2，所以PF1PF264.PF1PF2sin 606416.引申探究在本例(2)中，若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积解由双曲线方程知a3，b4，c5.由双曲线的定义得|PF1PF2|2a6，所以PFPF2PF1PF236.在RtF1PF2中，由勾股定理，得PFPFF1F(2c)2100.将代入，得PF1PF232，所以PF1PF216.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1PF2|2a；利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出PF1PF2的值；利用公式PF1PF2s
7、inF1PF2，求得面积(2)方法二：利用公式F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)，求得面积特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1PF2|2a的变形使用，特别是与PFPF，PF1PF2间的关系跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则PF1PF2_.答案4解析设PF1m，PF2n，由余弦定理，得F1Fm2n22mncosF1PF2，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即PF1PF24.1已知双曲线中的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_答案1或12椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a_.答案1解析由a0,0a24，且4a2a2，可得a1.3若方程1表示双曲线，则k的取值范围为_答案(5,10)解析由题意得(10k)(5k)0，解得5k0，b0)，则有a2b2c28.因为过点(3，)，所以1，解得a23，b25，所以所求双曲线的标准方程为1.1在双曲线定义中|PF1PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解
