1、3.4函数的应用3.4.1函数与方程一、选择题1下列图象表示的函数中没有零点的是()答案A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点2函数yx2bx1仅有一个零点，则b的值为()A2 B2 C2 D3答案C解析因为函数仅有一个零点，所以b240，所以b2.3已知函数f(x)在区间a，b上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b上()A至少有一实数根 B至多有一实数根C没有实数根 D必有唯一的实数根答案D解析由题意知函数f(x)为连续函数f(a)f(b)0，函数f(x)在区间a，b上至少有一个零点又函数f(x)在
2、区间a，b上是单调函数，函数f(x)在区间a，b上至多有一个零点故函数f(x)在区间a，b上有且只有一个零点，即方程f(x)0在区间a，b内必有唯一的实数根故选D.4已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,4) D(4，)答案C解析易知函数f(x)在(0，)上为连续的减函数f(1)6060，f(2)3120，f(4)log2420.由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点5函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数方程|l
3、og0.5x|x的根的个数函数y|log0.5x|与yx的图象的交点个数作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.6定义域和值域均为4,4的函数yf(x)和yg(x)的图象如图所示，下列说法正确的是()A方程f(g(x)0有且仅有三个根B方程g(f(x)0有且仅有三个根C方程f(f(x)0有且仅有两个根D方程g(g(x)0有且仅有两个根答案A解析由于f(x)0有三个根，且g(x)在4,4上具有单调性，所以f(g(x)0有且仅有三个根二、填空题7函数yx2axb的零点为2和3，则函数f(x)bx2ax1的零点为_答案，解析由23a,23b，得a5，b6，f(x)6x25
4、x1，令f(x)0，得x1，x2.函数f(x)的零点是，.8若函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是_答案(1，)解析f(0)1，要使函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，需f(1)m10，即m1.9已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)10设函数f(x)若f(4)0，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为_答案2解析根据f(4)0，f(2)2，易求得b5，c4，故f(x)所以当x0时，方程f(x)x即为x24x40，此方程有两个相等的实根，即x1x22，当x0时，x2是方程f(x)x的解，故方程f(x)x的解
5、的个数为2.11已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案解析画出函数f(x)的图象，如图所示若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知k且k1.12已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_答案1，)解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个
6、交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意；当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)三、解答题13判断函数f(x)ln xx23的零点的个数解方法一(图象法)函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点，从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点方法二(判定定理法)由于f(1)ln 112320，f(1)f(2)0时，函数f(x)ax2x1为开口向上的抛物线
7、，且f(0)10，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；(3)当a0时，x0，f(0)10，所以14a0，即a，此时f(x)x2x120，所以x2，符合题意综上所述a的取值范围是a0或a.15已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解(1)当x(，0)时，x(0，)，yf(x)是奇函数，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x)(2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1；当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为1.据此可作出函数yf(x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(1,1).
