1、专题突破一例析频率分布直方图中的统计问题一、求样本中限制条件下的个体所占频率例1观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在2 700,3 000)的频率为_思维切入求对应区间上的小矩形的面积答案0.3解析由直方图的意义可知，在区间2 700,3 000)内取值的频率为(3 0002 700)0.0010.3.点评频率为相应直方图的面积，即频率纵坐标横坐标差的绝对值跟踪训练1某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,
2、0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是_，成绩优秀的频率是_答案1000.15解析设参赛的人数为n，第二小组的频率为1(0.300.150.100.05)0.4，依题意0.4，n100，优秀的频率是0.100.050.15.二、求样本中限制条件下的个体的频数例2某市高三数学抽样考试中，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布如图所示若130140分数段的人数为90，则90100分数段的人数为_思维切入对应区间上的频数即为对应区间的频率样本总体答案810解析由于90分以上的考试人数是样本总体，则图中5个分数段的频率之和等于1，设130140分数段的频率为p，则0.45
3、0.250.150.10p1，即0.95p1，则p0.05，设该样本总体共有n个学生的分数，且设90100分数段的人数为x，则由频率概念得解得故90100分数段的人数为810.点评本题是频率分布条形图由于各分数段的人数与频率成正比，则可由，求出x；题设条形图的纵坐标是“频率”，这是有别于常规的，在审题时不能混淆跟踪训练2为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二
4、组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为_答案12解析志愿者的总人数为50，所以第三组人数为500.36118，所以有疗效的人数为18612.三、求频率分布直方图中的参数问题例3为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为_思维切入根据频率分布直方图的性质列方程求解答案0.27,78解析注意到纵轴表示，由题图可知，前4组的公比为3，最大频率a0.1330.10.27，设后
5、6组公差为d，则0.010.030.090.276d1，解得d0.05，即后6组频率的公差为0.05，所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为(0.270.220.170.12)10078.点评解答本题关键是要利用频率分布直方图中的残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在关系跟踪训练3某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，其中上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)，20,40)，40,60)，60,80)，80,100(1)求频率分布直方图中x的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学
6、校600名新生中有多少名学生可以申请住宿解(1)由频率分布直方图可得20x0.025200.006 5200.0032201，所以x0.012 5.(2)由频率分布直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.0032200.12.因为6000.1272，所以估计600名新生中有72名学生可以申请住宿四、频率分布直方图中的数字特征例4从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)(1)由图中数据求a的值；(2)若要从身高在120,130)，130,140)，140,150三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,15
7、0的学生中选取的人数应为多少？(3)估计这所小学的小学生身高的众数、中位数(保留两位小数)及平均数思维切入众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数)解(1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以10(0.0050.035a0.0200.010)1，解得a0.030.(2)由直方图知，身高在120,130)，130,140)，140,150三组的学生总数为10010(0.0300.0200.010)60，其中身高在140,150的学生人数为10，所以从身高在140,150内选取的学生人数为103.(3)根据频率分布直方图知，身
8、高在110,120)的小矩形最高，所以这所小学的小学生身高的众数为115(cm)又0.005100.035100.40.5，040.030100.70.5，所以中位数在120,130)内，可设为x，则(x120)0.0300.40.5，解得x123.33，所以中位数为123.33 cm.根据频率分布直方图，计算平均数为1050.051150.351250.31350.21450.1124.5(cm)点评用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数跟踪训练4某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为_答案22.5解析产品
9、的中位数出现在频率是0.5的地方自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4, 0.15,0.15，设中位数是x，则由0.10.20.08(x20)0.5，得x22.5.1在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为()A1万元 B2万元 C3万元 D4万元答案C2某电子商务公司对10 000名网络购物者在2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示(1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,
10、0.9内的购物者的人数为_答案(1)3(2)6 000解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.11.50.120.12.50.1a0.11，解得a3.所以消费金额在区间0.5,0.9内的频率为0.20.10.80.120.130.10.6，所以消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.610 0006 000.3如图所示是一次考试结果的频率分布直方图，则据此估计这次考试的平均分为_答案75解析利用组中值估算平均分，则有550.1650.2750.4850.2950.175，故估计这次考试的平均分为75.4一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据
11、所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2 500,3 000)(元)月收入段应抽出_人答案25解析由频率分布直方图可得2 500,3 000)(元)月收入段共有10 0000.000 55002 500(人)，按分层抽样应抽出2 50025(人)5对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表所示：寿命/h100，200)200，300)300，400)400，500)500，600个数2030804030(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件的寿命在3
12、00 h以上的可能性是多少？解(1)频率分布表如下：分组频数频率100,200)200.10200,300)300.15300,400)800.40400,500)400.20500,600300.15合计2001.00(2)频率分布直方图如图所示(3)由频率分布表可知：电子元件寿命在300 h以上的频率为0.400.200.150.75，故我们估计电子元件的寿命在300 h以上的可能性是0.75.6某市居民用水拟实行阶梯水价每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所
13、示的频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/方立米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替当w3时，估计该市居民该月的人均水费解(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1)，1,1.5)，1.5,2)，2,2.5)，2.5,3)内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2,4)4,6)6,8)8,10)10,12)12,17)17,22)22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5(元)
