1、2018-2019学年山东省烟台市高一(下)期末数学试卷一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分在每小题给出的四个选项中,第110题只有一项符合题目要求:第1113题有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分1(4分)cos570()ABCD2(4分)若某扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的半径是()ABC1D23(4分)如果点P(sincos,cos)位于第四象限,则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角4(4分)已知点A(1,1),B(2,3),则与向量方向相同的单位向量为()ABCD5(4分)要得到函数ysin2x的图象,只需将函数
2、ysin(2x)的图象()A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度6(4分)设,是平面内一组基底,若,1,2R,则以下不正确的是()Asin10Btan20C120Dcos217(4分)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点(2,1),则cos2()ABCD8(4分)下列函数中最小正周期为的是()Aysin|x|By1+sinxCy|cosx|Dytan2x9(4分)设A,B,C是平面内共线的三个不同的点,点O是A,B,C所在直线外任意点,且满足,若点C在线段AB的延长线上,则()Ax0,y1By0,x1C0xy1D0yx110(4分)
3、我国古代数学家刘徽于公元263年在九章算术注中提出“割圆术”:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率如果用圆的内接正n边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为n,那么用圆的内接正2n边形逼近圆,算得圆周率的近似值2n可表示成()ABCD11(4分)下列关于平面向量的说法中不正确的是()A已知,均为非零向量,则存在唯的实数,使得B若向量,共线,则点A,B,C,D必在同一直线上C若且0,则D若点G为ABC的重心,则12(4分)已知函数,则下列说法正确的是()Af(x)的周期为B是f(x)
4、的一条对称轴C是f(x)的一个递增区间D是f(x)的一个递减区间13(4分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b):(a+c):(b+c)9:10:11,则下列结论正确的是()AsinA:sinB:sinC4:5:6BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6,则ABC外接圆半径为二、填空题本大题共有4个小题,每小题4分,共16分14(4分)已sin+cos,则sin2 15(4分)已知,若,则实数 16(4分)已知函数的部分图象如图所示,则 17(4分)如图,辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上,仰角为,
5、行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15的方向上,仰角为,若45,则此山的高度CD 米,仰角的正切值为 三、解答题:本大题共有6个小题,共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(13分)已知平面向量,(1,2)(1)若(0,1),求的值;(2)若(2,m),与共线,求实数m的值19(13分)(1)已知tan,求的值;(2)若,且,求sin的值20(13分)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosAacosC+ccosA(1)求角A的大小;(2)若b3,c4,求AD的长21(13分)已知函数的最小正周期为将函数yf(x)的图象上各点的横坐标变为原来的
6、4倍,纵坐标变为原来的2倍,得到函数yg(x)的图象(1)求的值及函数g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调递增区间及对称中心22(15分)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,函数f(x)2sin(xA)cosx+sinA,且当时,f(x)取最大值(1)若关于x的方程f(x)t,有解,求实数t的取值范围;(2)若a5,且,求ABC的面积23(15分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,点P,Q分别在边BC,CD上,且PAQ60(1)若点P为边BC的一个靠近点B的三等分点,求:tanDAQ:(2)设PAB,问为何值时,APQ的面积最小?试求出最小值2018-2019学年山东省
7、烟台市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分在每小题给出的四个选项中,第110题只有一项符合题目要求:第1113题有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分1(4分)cos570()ABCD【分析】利用诱导公式一、四,即可求得结论【解答】解:cos570cos(360+210)cos210cos(180+30)cos30故选:C【点评】本题考查诱导公式的运用,正确运用诱导公式是关键2(4分)若某扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的半径是()ABC1D2【分析】由已知利用扇形的弧长公式即可求解【解答】解:设扇形的半径
8、为r,因为扇形的弧长为,圆心角为,所以由扇形的弧长公式可得:r,解得:r2故选:D【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用,属于基础题3(4分)如果点P(sincos,cos)位于第四象限,则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【分析】由题意可得,再由三角函数的象限符号得答案【解答】解:点P(sincos,cos)位于第四象限,则,角是第三象限角故选:C【点评】本题考查三角函数的象限符号,是基础题4(4分)已知点A(1,1),B(2,3),则与向量方向相同的单位向量为()ABCD【分析】可求出,从而可得出与向量方向相同的单位向量为【解答】解:;与向量方向相同的单位向量为:
9、故选:A【点评】考查单位向量的定义,单位向量坐标的求法,以及根据点的坐标求向量的坐标的方法5(4分)要得到函数ysin2x的图象,只需将函数ysin(2x)的图象()A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度【分析】把函数ysin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 ysin2(x)sin(2x) 的图象,把平移过程逆过来可得结论【解答】解:把函数ysin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 ysin2(x)sin(2x) 的图象,故要得到函数ysin2x的函数图象,可将函数ysin(2x)的图象向左至少平移个单位即可,故选:B【点评】本题主要考查函数 y
10、Asin(x+)的图象变换规律,属于基础题6(4分)设,是平面内一组基底,若,1,2R,则以下不正确的是()Asin10Btan20C120Dcos21【分析】根据基底的概念以及平面向量基本定理可得10,sin20,由此可得【解答】解:1+sin2,且,是平面向量的一组基底,所以,不共线,所以10,sin20,sin10,tan20,120,cos21故选:D【点评】本题考查了平面向量基本定理,属中档题7(4分)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点(2,1),则cos2()ABCD【分析】根据三角函数的定义,直接求出cos,利用二倍角的余弦函数公式即可求解【解答】解:终边过
11、点P(2,1),|OP|,cos,cos22cos21故选:C【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,终边相同的角,考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查计算能力,是基础题8(4分)下列函数中最小正周期为的是()Aysin|x|By1+sinxCy|cosx|Dytan2x【分析】由题意利用三角函数的周期性,得出结论【解答】解:由于ysin|x|不是周期函数,故排除A;由于y1+sinx的周期是2,故排除B;由于y|cosx|的周期为2,故C满足条件;由于ytan2x的周期为,故排除D,故选:C【点评】本题主要考查三角函数的周期性,属于基础题9(4分)设A,B,C是平面内共
12、线的三个不同的点,点O是A,B,C所在直线外任意点,且满足,若点C在线段AB的延长线上,则()Ax0,y1By0,x1C0xy1D0yx1【分析】因为点C在线段AB的延长线上,所以设t,(t1),再将,转化为,结合已知可得【解答】解:因为点C在线段AB的延长线上,所以设t,(t1),t(),即(1t)+t,t1,x0,y1故选:A【点评】本题考查了平面向量的基本定理,属中档题10(4分)我国古代数学家刘徽于公元263年在九章算术注中提出“割圆术”:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确
13、的圆周率如果用圆的内接正n边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为n,那么用圆的内接正2n边形逼近圆,算得圆周率的近似值2n可表示成()ABCD【分析】由三角函数的倍角公式及三角形的面积公式得:sinnR2,所以n,又nR2sin2nR2,所以2nsin,得解【解答】解:由题意有sinnR2,所以n,又nR2sin2nR2,所以2nsin,故选:A【点评】本题考查了阅读能力及三角函数的倍角公式,属中档题11(4分)下列关于平面向量的说法中不正确的是()A已知,均为非零向量,则存在唯的实数,使得B若向量,共线,则点A,B,C,D必在同一直线上C若且0,则D若点G为ABC的重心,则【分析】由向量共线定理
14、可判断A;由向量共线可判断B;由数量积的性质可判断C;由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断D【解答】解:,均为非零向量,则存在唯的实数,使得,故A正确;向量,共线,则点A,B,C,D在同一直线上或A,B,C,D为平面四边形的四个顶点,故B错误;若且0,则()0,不一定有,可能,(),故C错误;点G为ABC的重心,延长AG交BC于M,可得M为BC的中点,即有22(+)+,即为+,故D错误故选:BCD【点评】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算,属于基础题12(4分)已知函数,则下列说法正确的是()Af(x)的周期为B是f(x)的一条对称轴C是f(x)的一个递增区间D是f(x
15、)的一个递减区间【分析】利用辅助角公式化积,然后逐一核对四个选项得答案【解答】解:,f(x)的周期为,故A正确;f(),是f(x)的一条对称轴,故B正确;当x时,2x,函数f(x)在,上不单调,故C错误;当x,时,2x,函数f(x)在,单调递减,故D正确故选:ABD【点评】本题考查yAsin(x+)型函数的图象和性质,是基础题13(4分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b):(a+c):(b+c)9:10:11,则下列结论正确的是()AsinA:sinB:sinC4:5:6BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6,则ABC外接圆半径为【分析】由正
16、弦定理可判断A;由余弦定理可判断B;由余弦定理和二倍角公式可判断C;由正弦定理可判断D【解答】解:(a+b):(a+c):(b+c)9:10:11,可设a+b9t,a+c10t,b+c11t,解得a4t,b5t,c6t,t0,可得sinA:sinB:sinCa:b:c4:5:6,故A正确;由c为最大边,可得cosC0,即C为锐角,故B错误;由cosA,由cos2A2cos2A121cosC,由2A,C(0,),可得2AC,故C正确;若c6,可得2R,ABC外接圆半径为,故D正确故选:ACD【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、二倍角公式,考查化简运算能力,属于中档题二、填空题本大题共有4
17、个小题,每小题4分,共16分14(4分)已sin+cos,则sin2【分析】已知等式两边平方后,利用同角三角函数间的基本关系化简,再利用二倍角的正弦函数公式化简,即可求出值【解答】解:sin+cos,(sin+cos)2,即1+2sincos,则sin22sincos故答案为:【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握诱导公式是解本题的关键15(4分)已知,若,则实数1【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解:,2+30,解得实数1故答案为:1【点评】本题考查实数值的求法,考查向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题16(4分)已知函数的部分
18、图象如图所示,则【分析】由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得出结论【解答】解:根据函数的部分图象,可得,求得2再根据五点法作图,可得2+0,故答案为:【点评】本题主要考查由函数yAsin(x+)的部分图象求解析式,由周期求出,由五点法作图求出的值,属于基础题17(4分)如图,辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上,仰角为,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15的方向上,仰角为,若45,则此山的高度CD米,仰角的正切值为【分析】先根据题意求出ABC得各个内角,再根据AB300,利用正弦定理求出BC的值,再根据直角三角形中的边角关系,可得CD
19、的值利用正弦定理求出AC的值,再根据直角三角形中的边角关系,求得AC的值,可得tan 的值【解答】解:由题意可得ABC90+15,CAB45,ACB30,AB300,ABC中,由正弦定理可得 ,即 ,求得BC300 米再根据tan1,CDBC300(米)ABC中,由正弦定理可得,即 ,求得AC150(+)再根据tan1,故答案为:300;1【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系,正弦定理的应用,解三角形,属于中档题三、解答题:本大题共有6个小题,共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(13分)已知平面向量,(1,2)(1)若(0,1),求的值;(2)若(2,m),与共线,求实数
20、m的值【分析】(1)利用平面向量坐标运算法则先求出,由此能求出的值(2)求出,由与共线,由此能求出m的值【解答】解:(1),所以(2),因为与共线,所以,解得m4【点评】本题考查向量的模、实数值的求法,考查平面向量坐标运算法则、向量共线的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题19(13分)(1)已知tan,求的值;(2)若,且,求sin的值【分析】(1)由已知结合诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值;(2)由已知求得cos,sin()的值,再由sinsin()展开两角差的正弦求解【解答】解:(1)tan,;(2),又,(,0),于是sinsin()sincos()cossin()【点评
21、】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用,是基础题20(13分)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosAacosC+ccosA(1)求角A的大小;(2)若b3,c4,求AD的长【分析】(1)运用三角形的正弦定理和诱导公式和正弦公式,可得所求角;(2)由向量的坐标,可得,两边平方,结合向量数量积的定义和性质,计算可得所求值【解答】解:(1)因为2bcosAacosC+ccosA,所以由正弦定理可得2sinBcosAsinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosAsin(A+C)sinB,因为sinB0,所以2cosA1,A(
22、0,),故;(2)由,得,所以,所以【点评】本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换,以及向量的数量积的定义和性质,考查化简运算能力,属于中档题21(13分)已知函数的最小正周期为将函数yf(x)的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标变为原来的2倍,得到函数yg(x)的图象(1)求的值及函数g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调递增区间及对称中心【分析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式,再利用函数yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的单调性,求出函数g(x)的解析式(2)由题意利用正弦函数的单调性以及图象的对称性,得出结论【解答】解:(1),由,得1,所以,将函数yf
23、(x)的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标变为原来的2倍,得到函数yg(x)2sin(+) 的图象(2)由,kZ,可得,kZ,所以函数g(x)的单调递增区间为,kZ由,解得所以,g(x)的对称中心为【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的单调性以及图象的对称性,属于中档题22(15分)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,函数f(x)2sin(xA)cosx+sinA,且当时,f(x)取最大值(1)若关于x的方程f(x)t,有解,求实数t的取值范围;(2)若a5,且,求ABC的面积【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求f(x
24、)sin(2xA)由f(x)在时取得最大值,结合范围A(0,),可求,可得解析式,利用正弦函数的图象和性质即可求解t的取值范围(2)由已知利用正弦定理可求b+c8由余弦定理解得bc13,利用三角形的面积公式即可求解【解答】解:(1)f(x)2sin(xA)cosx+sinA2sin(xA)cosx+sinx(xA)2sin(xA)cosx+sinxcos(xA)cosxsin(xA)sin(2xA)因为f(x)在时取得最大值,所以,kZ,即因为A(0,),所以,所以因为,所以所以,因为关于x的方程f(x)t有解,所以t的取值范围为(2)因为a5,由正弦定理,于是又,所以b+c8由余弦定理a2b
25、2+c22bccosA,得25b2+c2bc,即25(b+c)23bc643bc,所以bc13,所以【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题23(15分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,点P,Q分别在边BC,CD上,且PAQ60(1)若点P为边BC的一个靠近点B的三等分点,求:tanDAQ:(2)设PAB,问为何值时,APQ的面积最小?试求出最小值【分析】(1)因为点P为靠近点B的三等分点,观察图形可知,DAQ30PAB,进而由正切函数的差角公式直接求解即可;(法一)
26、,代入即可求解;(法二)以A为坐标原点,分别以所在方向为x,y轴的正方向,建立直角坐标系xAy,则A(0,0),运用坐标运算求解即可;(2)(法一)由几何关系,可以用表示出APQ的面积,运用三角函数的有关知识求解即可;(法二)以A为坐标原点,分别以所在方向为x,y轴的正方向,建立直角坐标系xAy,则A(0,0),P(1,tan),进而表示出APQ的面积,再运用三角函数的有关知识求解即可;【解答】解:(1)因为点P为靠近点B的三等分点,又因为PAQ60,所以;(法1),而,所以;(法2)以A为坐标原点,分别以所在方向为x,y轴的正方向,建立直角坐标系xAy,则A(0,0),所以,所以;(2)(法1)由题意,所以而,当,即时取最大值为,此时APQ的面积最小值为注:的取值范围,学生写为开区间或半开半闭区间不扣分(法2)以A为坐标原点,分别以所在方向为x,y轴的正方向,建立直角坐标系xAy,则A(0,0),P(1,tan),所以,以下同解法1【点评】本题涉及了两角差的正切公式,平面向量的数量积,平面向量的坐标运算,三角恒等变换,三角函数的图象及性质,三角形的面积等知识点,考查的知识面较广,对学生的综合运用能力,化简变形能力,运算求解能力,数形结合思想等都有一定要求,属于中档题