1、2018-2019学年辽宁省阜新实验中学高一（下）第四次月考数学试卷一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在数列an中，a11，an+1an2，则a6的值是（）A11B13C15D172（5分）ABC中，a2，b，B，则sinA的值是（）ABCD或3（5分）在数列an中，a1，an1（n1），则a2019的值为（）ABC5D以上都不对4（5分）在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列a，a1，a2，an，b，则a1+a2+an（）An（a+b）BCD5（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结
2、论不正确的是（）Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosAsinC6（5分）在等比数列an中，a4、a12是方程x2+3x+10的两根，则a8（）A1B1C1D37（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y2cos2x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位8（5分）在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列则ABC是（）A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形9（5分）已知角，（0，），且tan，则（）ABC2D10（5分）从某电视塔
3、的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60，从电视塔的西偏南30的B处，测得塔顶仰角为45，A、B间距离为35m，则此电视塔的高度是（）A5mB10mCmD35m11（5分）数列an满足：且an是递增数列，则实数a的范围是（）ABC（1，3）D（2，3）12（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5，则数列前n项和的最大值为（）AB1CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若数列an的前n项和为Sn2n2，则a3+a4的值为 14（5分）方程3sinx1+cos2x在区间0，2上的解为 15（5分）已知数列an的前n
4、项和，nN*，则a1a2+a3a4+a2019a2020等于 16（5分）如图，在矩形ABCD中，边AB5，AD1，点P为边AB上一动点，当DPC最大时，线段AP的长为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（10分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求cos（B+C）的值；（2）若a2，求b的值18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且，在正项等比数列bn中，b2a2，b4a5（1）求an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn19（12分）已知函数f（x）x
5、sincos，其中0，2）（1）若f（2）0，求sin2的值；（2）求f（1）+sin2的最大值20（12分）已知等比数列bn的公比为q，与数列an满足（1）证明：数列an为等差数列；（2）若b53，且数列an的前3项和S321，求an的通项公式；（3）在（2）的条件下，求Tn|a1|+|a2|+|an|21（12分）ABC中，（sinA，cosC），（cosB，sinA），sinB+sinC（1）求证：ABC为直角三角形；（2）若ABC外接圆半径为1，求ABC的周长的取值范围22（12分）设数列an的前n项和为Sn，已知a1a，an+1Sn+3n，nN*（1）设bnSn3n，求数列bn的通项
6、公式；（2）若an+1an，nN*，求a的取值范围2018-2019学年辽宁省阜新实验中学高一（下）第四次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在数列an中，a11，an+1an2，则a6的值是（）A11B13C15D17【分析】数列an中，an+1an2，所以数列an是等差数列，所以a6a1+（61）d，代入数据即可【解答】解：依题意，数列an中，an+1an2，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，所以a6a1+（61）d1+5211故选：A【点评】本题考查了等差数列的定义、等差数列
7、的通项公式属于基础题2（5分）ABC中，a2，b，B，则sinA的值是（）ABCD或【分析】利用正弦定理求解【解答】解：ABC中，a2，b，B，解得sinA故选：B【点评】本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要注意正弦定理的合理运用3（5分）在数列an中，a1，an1（n1），则a2019的值为（）ABC5D以上都不对【分析】根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可【解答】解：，a1，an1（n1），a2111+45，a311，a4111，则a4a1，即an+3an，即数列an是周期为3的周期数列，20196733，a2019a3，故选：B【点评】本题主要考查递
8、推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键4（5分）在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列a，a1，a2，an，b，则a1+a2+an（）An（a+b）BCD【分析】在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列，则第一项为a，第n+2项为b，根据等差数列的前n项和公式求解即可【解答】解：依题意，设等差数列a，a1，a2，an，b，记为cn，其前n项和为Sn，则c1a，cn+2b，所以a1+a2+anSn+2（a+b），故选：B【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题5（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（
9、）Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosAsinC【分析】利用正弦定理、余弦定理直接求解【解答】解：由在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：在A中，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，故A正确；在B中，由正弦定理得：，asinBbsinA，故B正确；在C中，abcosC+ccosB，由余弦定理得：ab+c，整理，得2a22a2，故C正确；在D中，由余弦定理得：acosB+bcosAa+b+csinC，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
10、方程思想，是基础题6（5分）在等比数列an中，a4、a12是方程x2+3x+10的两根，则a8（）A1B1C1D3【分析】a4，a12是方程x2+3x+10的两根可得a4a121，在等比数列中a82a4a12求出a8，要注意在等比数列中偶数项同号【解答】解：设等比数列an的公比为q，a4，a12是方程x2+3x+10的两根，a4a121，a4+a123，a82a4a121，a40，a120a81，又在等比数列中偶数项同号，a81，故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质和根与系数的关系，根据等比数列的性质是解决本题的关键，属基础题7（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y2cos2x的图象（）
11、A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【分析】将化简后利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：要得到函数的图象，可以将函数y2cos2x的图象向右平移个单位故选：B【点评】本题考查了三角恒等变换和函数yAsin（x+）的图象变换规律，属基础题8（5分）在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列则ABC是（）A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形【分析】根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，利用等比中项的性质可知b2ac代入余弦定理求得a2+c2acac，整理求得
12、ac，判断出AC，最后利用三角形内角和求出A和C，推出结果【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2BA+C（1）因为A，B，C为ABC的内角，所以A+B+C由（1）（2）得B（3）由a，b，c成等比数列，有b2ac（4）由余弦定理及（3），可得b2a2+c22accosBa2+c2ac再由（4），得a2+c2acac，即（ac）20因此ac从而AC（5）由（2）（3）（5），得ABC所以ABC为等边三角形故选：C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形形状的判断，余弦定理的应用三角形问题与数列，函数，不等式的综合题，是考试中常涉及的问题，注重了对学生的基本知识以及基本能力的考查9
13、（5分）已知角，（0，），且tan，则（）ABC2D【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果【解答】解：tan，由于：角，（0，），故：，（0，），得到：，故：2故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的求值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10（5分）从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60，从电视塔的西偏南30的B处，测得塔顶仰角为45，A、B间距离为35m，则此电视塔的高度是（）A5mB10mCmD35m【分析】作出图形，利用余弦定理求解即可【解答】解：设此电视塔的高度是x，则如图所示，AC，BCA150，AB35m，cos1
14、50，x5故选：A【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，比较基础11（5分）数列an满足：且an是递增数列，则实数a的范围是（）ABC（1，3）D（2，3）【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得 ；解可得答案【解答】解：根据题意，anf（n）；要使an是递增数列，必有 ；解可得，2a3；故选：D【点评】本题考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、数列的函数特性、函数单调性的判断与证明，an是递增数列，必须结合f（x）的单调性进行解题，但要注意an是递增数列与f（x）是增函数的区别与联系12（5分）设等差
15、数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5，则数列前n项和的最大值为（）AB1CD【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5，则：a50，a60所以：，解得：，由于：a2为整数，所以：d2则：an112n所以：，所以：Tn+），令，由于：函数f（x）的图象关于（4.5，0）对称及单调所以：0b1b2b3b4，b5b6b7b80bnb41故：故选：A【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数
16、的单调性的应用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若数列an的前n项和为Sn2n2，则a3+a4的值为24【分析】根据anSnSn1，求解通项，可得a3+a4的值【解答】解：由题意数列an的前n项和为Sn2n2，S1a12；anSnSn12n22（n1）24n2，（n1，nN*）则a3+a410+1424故答案为：24【点评】数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意nN成立，因此可将其中的n换成n+1或n1等，这种办法通常称迭代或递推了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项14（5分）方程3sinx1+cos2x在区间
17、0，2上的解为或【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解答】解：方程3sinx1+cos2x，可得3sinx22sin2x，即2sin2x+3sinx20可得sinx2，（舍去）sinx，x0，2解得x或故答案为：或【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力15（5分）已知数列an的前n项和，nN*，则a1a2+a3a4+a2019a2020等于2020【分析】运用数列的递推式n1，a1S1；n2时，anSnSn1，可得an2n1，再由数列的并项求和，可得所求和【解答】解：Snn2，可得a1S11；n2时，anSnSn1n2（n1）22n1，即有an2
18、n1，a1a2+a3a4+a2019a2020（13）+（57）+（40374039）210102020故答案为：2020【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，以及数列的并项求和，考查化简运算能力，属于基础题16（5分）如图，在矩形ABCD中，边AB5，AD1，点P为边AB上一动点，当DPC最大时，线段AP的长为【分析】由题意，设APx，可得BP5x，tanDPA，tanCPB，那么tanDPCtan（180DPACPB），即可求解【解答】解：由题意，设APx，可得BP5x，（0x5）可得tanDPA，tanCPB，那么tanDPCtan（180DPACPB）tan（DPA
19、+CPB），（0x5）当DPC最大时，tanDPC的值最大；yx25x+1（x）2当x时，取得最小值；故答案为：【点评】本题考查了正切的和与差公式的计算和应用能力属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（10分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求cos（B+C）的值；（2）若a2，求b的值【分析】（1）由sinA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用三角形的内角和定理及诱导公式把所求的式子变形后，将cosA的值代入即可求出值；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，
20、把sinA的值代入即可求出bc的值，记作，然后由a和cosA的值，根据余弦定理化简即可得到b2+c2的值，记作，联立即可求出b与c的值【解答】解：（1）sinA，A为锐角，cosA，B+CA，cos（B+C）cos（A）cosA；（2）由SABCbcsinAbc，得到bc3，a2，cosA，根据余弦定理a2b2+c22bccosA得：4b2+c2bcb2+c22，即b2+c26，+2得：（b+c）212，解得b+c2；2得：（bc）20，解得bc0，即bc，所以【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式及余弦定理熟练掌握这些公式及定理是解本题的关键学生做题时注意三角形ABC为
21、锐角三角形这个条件18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且，在正项等比数列bn中，b2a2，b4a5（1）求an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）由，令n1，a10anSnSn1，（n2），可得an根据数列bn为等比，b2a22，b4a58，可得，又各项均为正，可得q，即可得出bn（2）由（1）得：，利用错位相减法即可得出【解答】解：（1），令n1，a10anSnSn12（n1），（n2）an2（n1）又数列bn为等比，b2a22，b4a58，又各项均为正，q2，；（2）由（1）得：，122+223+（n1）2n，2Tn23+224+（n2）2
22、n+（n1）2n+1，2n+1（n1）2n+14，【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）已知函数f（x）xsincos，其中0，2）（1）若f（2）0，求sin2的值；（2）求f（1）+sin2的最大值【分析】（1）由f（2）0，求得tan的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得sin2的值（2）设tsincos，化简f（1）+sin2为g（t）t+1t2，再利用二次函数的性质得它的最大值【解答】解：（1）由f（2）2sincos0，tansin2；（2）f（1）+sin2（sincos）+2s
23、incos，设tsincossin（），则t，2sincos1t2，g（t）t+1t2，当t时，f（1）+sin2的最大值为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，二次函数的性质，考查了转化思想和整体思想，属基础题20（12分）已知等比数列bn的公比为q，与数列an满足（1）证明：数列an为等差数列；（2）若b53，且数列an的前3项和S321，求an的通项公式；（3）在（2）的条件下，求Tn|a1|+|a2|+|an|【分析】（1）运用等比数列的定义和等差数列的定义，即可得证；（2）由等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（3）求得an的前
24、n项和为Sn，对n讨论奇数或偶数，化简即可得到所求和【解答】解：（1）等比数列bn的公比为q，与数列an满足可得3q，即an+1anlog3q，可得数列an为公差为log3q的等差数列；（2）b53，且数列an的前3项和S321，可得b1q43，3a1+3log3q21，b13，解得a19，q，dlog3q2，则an2n+11；（3）an2n+11，可得an的前n项和为Snn（202n）10nn2，当n5时，|an|an，即有TnSn10nn2，当n6时，Tn（SnS5）+S52S5Sn22510n+n2n210n+50则Tn【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数
25、列的求和，注意运用分类讨论思想，考查方程思想和运算能力，属于基础题21（12分）ABC中，（sinA，cosC），（cosB，sinA），sinB+sinC（1）求证：ABC为直角三角形；（2）若ABC外接圆半径为1，求ABC的周长的取值范围【分析】（1）利用向量的数量积，结合正、余弦定理转化为边之间的关系，即可证得ABC为直角三角形；（2）设ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，根据ABC外接圆半径为1，A，可得a2，从而b+c2（sinB+cosB）2sin（B+），故可求b+c的取值范围，从而可求ABC周长的取值范围【解答】（1）证明：（sinA，cosC），（cosB，si
26、nA），sinB+sinC，sinAcosB+sinAcosCsinB+sinC由正弦定理得：acosB+acosCb+c由余弦定理得a+ab+c，整理得（b+c）（a2b2c2）0b+c0，a2b2+c2，故ABC为直角三角形（2）解：设ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、cABC外接圆半径为1，A，a2，b+c2（sinB+cosB）2sin（B+）0B，B+，2b+c2，4a+b+c2+2，故ABC周长的取值范围为（4，2+2【点评】本题考查向量的数量积，考查正、余弦定理的运用，考查三角函数的性质，正确运用正、余弦定理是解题的关键22（12分）设数列an的前n项和为Sn，已知a
27、1a，an+1Sn+3n，nN*（1）设bnSn3n，求数列bn的通项公式；（2）若an+1an，nN*，求a的取值范围【分析】（1）依题意得Sn+12Sn+3n，由此可知Sn+13n+12（Sn3n）所以bnSn3n（a3）2n1，nN*（2）由题设条件知Sn3n+（a3）2n1，nN*，于是，anSnSn12n212（）n2+a3，由此可以求得a的取值范围是9，+）【解答】解：（1）an+1Sn+3n，nN*，得Sn+1SnSn+3n，Sn+12Sn+3n则Sn+13n+12（Sn3n）bnSn3n，bn+12bn，b1S131a3，当a3时，b1a30数列bn是以a3为首项，以2为公比的等比数列，bn（a3）2n1，验证a3时上式成立bn（a3）2n1，（2）由（1）知Sn3n+（a3）2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n+（a3）2n13n1（a3）2n223n1+（a3）2n2，an+1an43n1+（a3）2n22n212（）n2+a3，当n2时，an+1an12（）n2+a3a9又a2a1+3a1综上，所求的a的取值范围是9，+）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件，属于中档题
