1、2018-2019学年辽宁省锦州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的20182019学年度第二学期期末考试高一数学满分60分，测试时间120分钟1（5分）在区间1，6上随机选取一个数a，则a3的概率为（）ABCD2（5分）为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动，班主任老师将两组最近的6次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图若甲、乙两组的平均成绩分别是，则下列说法正确的是（）A，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛B，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加比赛C，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加比
2、赛D，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛3（5分）已知随机事件A和B互斥，且P（AB）0.5，P（B）0.3，则P（）（）A0.5B0.2C0.7D0.84（5分）等差数列an的首项为1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数列，则数列an的前10项和为（）A80B80C24D245（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosBasinA，则角A的值为（）ABCD6（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1111，则tan（a6）（）ABCD7（5分）已知（0，），sin，则tan2（）ABCD8（5分）袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写
3、有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 24
4、1 244 431 233 214 344 142 134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）ABCD9（5分）已知等差数列an，的前n项和为Sn，若S105，S3010，则S40（）A7B8C9D1010（5分）赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（）ABCD11（5分）已知函数f（x）sin（x）的最小正周期为，若f（x1）f（x2
5、）2，则|x1x2|的最小值为（）ABCD12（5分）在ABC中，AB，AC2，E是边BC的中点O为ABC所在平面内一点，且满足|2|2|2，则的值为（）AB1CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）长时间的低头，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1000人中采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，已知这100人里老、中青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为 14（5分）若向量（1，2），（1，1），则2+与夹角的余弦值等于 15（5分）sin10（1+ta
6、n70） 16（5分）已知数列an的首项a1a，a2162a，an+1+an8n+4（n2，nN*），若对任意nN*，都有anan+1恒成立，则a的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数f（x）sin2xcos2x+1（1）求yf（x）在区间（0，）上的单调递增区间；（2）求yf（x）在（的值域18（12分）已知ABC为等边三角形，AB2，点N、M满足，（1），R，设，（1）试用向量和表示，；（2）若，求的值19（12分）设Sn是正项等比数列an的前n项和，已知a13，a12S4+3（1）求数列an的通项公式；（2）令b
7、n（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn20（12分）智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间（单位：分钟）的频率分布直方图（如图所示），其分组是0，20，（20，40，（40，60，（60，80，（80，100（1）根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟？（精确到整数）（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）在抽取的100名手机使用者中，在（20，40和（40，60中按比例分别抽取2人和3人组成研究小
8、组，然后再从研究小组中选出2名组长，求这2名组长分别选自（20，40和（40，60的概率是多少？21（12分）如图，在四边形ABCD中，已知AB1，BC，ACCD（1）若ACD，且ADC的面积为，求ABC的面积；（2）若ACCD，求BD的最大值22（12分）随着互联网的迅速发展越来越多的消费者开始选择阿络购物这种消费方式某营销部门统计了2019年某月锦州的十大特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的最满意度x（%）和对应的销售额y（万元）x的数据，如表：特产种类甲乙丙丁戊已庚辛壬癸最满意度x（%）20342519262019241913销量额y（万元）80898978757165626052（
9、1）求销量额y关于最满意度x的相关系数r；（2我们约定：销量额y关于最满意度x的相关系数r的绝对值在0.75万以上（含0.75）是线性相关性较强；否则，线性相关性较弱如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的特产目x退出销售）并求在别除“末位海汰“的特产后的销量额y关于最满意度x的线性回归方程（系数精确到0.1）参考数据：21.9，72.1，37.16，10452.1，附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线方程x+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，线性相关系数r2018-2019学年辽宁省锦州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题
10、解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的20182019学年度第二学期期末考试高一数学满分60分，测试时间120分钟1（5分）在区间1，6上随机选取一个数a，则a3的概率为（）ABCD【分析】直接由测度比是长度比求解【解答】解：在区间1，6上随机选取一个数a，对应事件的区间长度5，而满足a3的区间长度为2，由几何概型的公式得到所求概率为故选：C【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础题2（5分）为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动，班主任老师将两组最近的6次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图若甲、乙两组的平
11、均成绩分别是，则下列说法正确的是（）A，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛B，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加比赛C，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加比赛D，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛【分析】分别求出甲和乙的平均数和方差，由此能求出结果【解答】解：（72+78+79+85+86+92）82，（8272）2+（8278）2+（8279）2+（8285）2+（8286）2+（8292）2，（78+86+87+87+91+93）87，（7887）2+（8687）2+（8787）2+（8787）2+（9187）2+（9387）2，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛故选：D【点评】本题考查
12、命题真假的判断，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）已知随机事件A和B互斥，且P（AB）0.5，P（B）0.3，则P（）（）A0.5B0.2C0.7D0.8【分析】由互斥事件概率计算公式得P（A）P（AB）P（B）0.50.30.2，由此能求出P（）【解答】解：随机事件A和B互斥，且P（AB）0.5，P（B）0.3，P（A）P（AB）P（B）0.50.30.2，P（）1P（A）10.20.8故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）等差数列an的首项为1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数
13、列，则数列an的前10项和为（）A80B80C24D24【分析】利用等差数列的通项公式、等比数列的性质列出方程，求出公差，由此能求出数列an的前6项的和【解答】解：等差数列an的首项为1，公差不为0，a2，a3，a6成等比数列，a32a2a6，（1+2d）2（1+d）（1+5d），解得d2，数列an的前10项的和为：S10101+（2）80故选：A【点评】本题考查等差数列的第6项的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosBasinA，则角A的值为（）ABCD【
14、分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，即可得出结论【解答】解：在ABC中，bcosC+ccosBasinA，sinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinAsin2A，sinA0，sinA1，由于A为三角形内角，可得A故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查6（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1111，则tan（a6）（）ABCD【分析】利用等差数列an的前n项和公式求出a6，从而tan（a6）tan（），由此能求出结果【解答】解：等差数列a
15、n的前n项和为Sn，且S1111，11a611，解得a6，tan（a6）tan（）tan故选：C【点评】本题考查正切函数值的求法，考查等差数列的性质、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）已知（0，），sin，则tan2（）ABCD【分析】由已知求得tan，再由二倍角公式求解【解答】解：（0，），sin，cos，tantan2故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题8（5分）袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停
16、止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244 431 233 214
17、 344 142 134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）ABCD【分析】随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率【解答】解：随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112342 241 244
18、431 233 214 344 142 134其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（5分）已知等差数列an，的前n项和为Sn，若S105，S3010，则S40（）A7B8C9D10【分析】由题意利用等差数列的前n项和公式求得首相和公差，可得S40的值【解答】解：等差数列an，的前n项和为Sn，S1010
19、a1+5，S3030a1+10，a1，d，则S4040a1+10，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题10（5分）赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（）ABCD【分析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值即可得到关于a，b的方程，则答案可求【解答】解：如图所示，点落在小正方形内的概率为，大正方形ABCD面积为a2+b2，一个三角形的面积为ab，即a2+b2ab，得，解得或，又ab，故选：B【点评】本题考查几何概型概率
20、的求法，解题时应计算阴影区域的面积和总面积的比，是基础题11（5分）已知函数f（x）sin（x）的最小正周期为，若f（x1）f（x2）2，则|x1x2|的最小值为（）ABCD【分析】利用正弦函数的周期性求出，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象特征，判断|x1x2|的最小值为半个周期，从而得出结论【解答】解：函数f（x）sin（x）的最小正周期为，2，f（x）sin（2x）若f（x1）f（x2）2，则 f（x1），f（x2），或者f（x1），f（x2），则|x1x2|的最小值为半个周期，故选：A【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象特征，属于基础题12（5分）在ABC中，AB，AC2，
21、E是边BC的中点O为ABC所在平面内一点，且满足|2|2|2，则的值为（）AB1CD【分析】由向量的中点表示和向量数量积的定义和性质，计算可得所求值【解答】解：E是边BC的中点，可得（+），则（+）（+），由于|2|2|2，可得AOB和AOC为等腰三角形，即有|cosOAB|221，同理可得，|242，则（1+2）故选：D【点评】本题考查向量数量积的定义和中点的向量表示，考查化简运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）长时间的低头，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1000人中采用分层抽
22、样的方法抽取100人进行调查，已知这100人里老、中青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为450【分析】先求出这个群体里青年人占的比例，利用分层抽样的定义和方法，求出这个群体里青年人的数量【解答】解：这个群体里青年人占的比例为135%20%45%，故这个群体里青年人的数量为 100045%450，故答案为：450【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题14（5分）若向量（1，2），（1，1），则2+与夹角的余弦值等于【分析】根据向量的坐标即可求出，从而可以求出，这样即可求出与夹角的余弦值【解答】解：，；，；故答案为：【点评】考查向量加法、数乘和数量积的坐标运算，根
23、据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式15（5分）sin10（1+tan70）1【分析】利用同角三角函数基本关系式化切为弦，通分后再由两角和的正弦化简求值【解答】解：sin10（1+tan70）sin10（1+）sin10sin10sin101故答案为：1【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的正弦，是基础题16（5分）已知数列an的首项a1a，a2162a，an+1+an8n+4（n2，nN*），若对任意nN*，都有anan+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）【分析】根据题意an+1+an8n+4（n2，nN*）可得，an+2+an+18n+12，
24、相减得an+2an8，从而可知数列an的偶数项和奇数项（从第三项起）分别成等差数列，写出通项公式，继而列不等式组可得解【解答】解：由已知an+1+an8n+4（n2，nN*）可得，an+2+an+18n+12，两式相减得an+2an8，所以数列an的偶数项成等差数列，即a2n8n+82a，由a3+a220，可得a34+2a，同理得a2n+18n4+2a，由题意得，解得3a5，即a的取值范围是（3，5）故答案为：（3，5）【点评】本题主要考查数列的通项与求和，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数f（x）sin2xcos2x+1（1）求yf（x）在区间
25、（0，）上的单调递增区间；（2）求yf（x）在（的值域【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论（2）由题意利用定义域和值域，求得yf（x）在（的值域【解答】解：（1）函数f（x）sin2xcos2x+12sin（2x）+1，令2k2x2k+，求得kxk+，故函数的增区间为k，k+，kZ再根据x（0，），可得函数在区间（0，）上的单调递增区间为（0，）（2）在（上，2x（0，sin（2x）（0，1，故f（x）2sin（2x）+1（1，3，即函数f（x）的值域为（1，3【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于基础题18（1
26、2分）已知ABC为等边三角形，AB2，点N、M满足，（1），R，设，（1）试用向量和表示，；（2）若，求的值【分析】（1）运用向量的加减和数乘运算可得所求；（2）由向量数量积的定义和性质，化简解方程可得所求值【解答】解：（1）（1）（1）；（2），即（1）（）（1）+12（1）2（2+1）2244（1），化为42+140，解得【点评】本题考查向量的加减运算和数乘运算，以及向量数量积的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题19（12分）设Sn是正项等比数列an的前n项和，已知a13，a12S4+3（1）求数列an的通项公式；（2）令bn（2n1）an，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1
27、）正项等比数列an的公比设为q，q0，运用通项公式解方程可得q，进而得到所求通项公式；（2）求得bn（2n1）an3（2n1）（1）n1，讨论n为奇数或偶数，结合并项求和可得所求和【解答】解：（1）正项等比数列an的公比设为q，q0，a13，a12S4+3即为32（3+3q+3q2+3q3）+3，解得q1，则an3（1）n1；（2）bn（2n1）an3（2n1）（1）n1，当n为偶数时，前n项和Tn3（13+57+2n32n+1）3（2）3n；当n为奇数时，前n项和TnTn1+3（2n1）（1）n13（n1）+3（2n1）3n则Tn【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列的求和，注意运用方程思
28、想和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题20（12分）智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间（单位：分钟）的频率分布直方图（如图所示），其分组是0，20，（20，40，（40，60，（60，80，（80，100（1）根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟？（精确到整数）（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）在抽取的100名手机使用者中，在（20，40和（40，60中按比例分别抽取2人和3人组成研究小
29、组，然后再从研究小组中选出2名组长，求这2名组长分别选自（20，40和（40，60的概率是多少？【分析】（1）由频率分布直方图能估计这500名手机使用者中使用时间的中位数（2）由频率分布直方图能估计手机使用者平均每天使用手机的时间（3）从研究小组中选出2名组长，基本事件总数n，这2名组长分别选自（20，40和（40，60包含的基本事件个数m6，由此能求出这2名组长分别选自（20，40和（40，60的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图得：0，40）的频率为：（0.0025+0.01）200.25，40，60）的频率为0.015200.3，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是：40+5
30、7（分钟）（2）估计手机使用者平均每天使用手机：100.002520+300.0120+500.01520+700.0120+900.01252058（分钟）（3）在抽取的100名手机使用者中，在（20，40和（40，60中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后再从研究小组中选出2名组长，基本事件总数n，这2名组长分别选自（20，40和（40，60包含的基本事件个数m6，这2名组长分别选自（20，40和（40，60的概率是p【点评】本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题21（12分）如图，在四边形ABCD中，已知AB1，BC，
31、ACCD（1）若ACD，且ADC的面积为，求ABC的面积；（2）若ACCD，求BD的最大值【分析】（1）由题意可得ACD为等边三角形，求得AC1，可得ABC为等腰直角三角形，即有所求面积；（2）设ACDCx，分别在ACB和BCD中，运用余弦定理，以及三角函数的恒等变换和正弦函数的值域可得所求最大值【解答】解：（1）在ACD中，ACCD，ACD，可得ACD为等边三角形，可得ADC的面积为AC2，即AC1，又AB1，BC，可得ABC为等腰直角三角形，则ABC的面积为；（2）设ACDCx，在ABC中，可得cosACB，即有sinACB，在BCD中可得BD22+x22xcos（90+ACB）2+x2+
32、2xsinACB2+x2+2+x2+，可令x232sin，即有2+x2+5+2sin+2cos5+4sin（+），由，可得+，可得，即x时，BD2取得最大值9，即BD的最大值为3【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的图象和性质，化简运算能力，属于中档题22（12分）随着互联网的迅速发展越来越多的消费者开始选择阿络购物这种消费方式某营销部门统计了2019年某月锦州的十大特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的最满意度x（%）和对应的销售额y（万元）x的数据，如表：特产种类甲乙丙丁戊已庚辛壬癸最满意度x（%）20342519262019241913销量额y（万元）8089
33、8978757165626052（1）求销量额y关于最满意度x的相关系数r；（2我们约定：销量额y关于最满意度x的相关系数r的绝对值在0.75万以上（含0.75）是线性相关性较强；否则，线性相关性较弱如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的特产目x退出销售）并求在别除“末位海汰“的特产后的销量额y关于最满意度x的线性回归方程（系数精确到0.1）参考数据：21.9，72.1，37.16，10452.1，附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线方程x+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，线性相关系数r【分析】（1）由题意计算线性相关系数
34、r的值即可；（2）由r的值得出y与x没有达到最满意的线性相关关系，由末位剔除制度知应剔除特产种类癸，重新计算、，求出回归系数，写出线性回归方程【解答】解：（1）由题意计算线性相关系数r0.72，（2）由r0.720.75知，y与x没有达到最满意的线性相关关系；由末位剔除制度可知，应剔除特产种类癸，重新计算得22.89，74.33，9288.9+1021.92132922.892200.43，xiyi9452.1+1021.9072.11352922.8974.33253.27；所以1.261.3，74.331.2622.8945.4845.5，故所求线性回归方程为y1.3x+45.5【点评】本题主要考查了相关系数与回归直线方程的计算问题，是中档题
