1、2017-2018学年辽宁省六校协作体高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1（5分）已知集合Ax|2x25x30，BxZ|x2，则AB（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，32（5分）sin18sin78cos162cos78等于（）ABCD3（5分）已知向量（1，m），（3，2），且（+），则m（）A8B6C6D84（5分）已知函数，则（）A3B4C3D385（5分）若l1：x+（m+1）y+（m2）0，l2：mx+2y+80的图象是两条平行直线，则m的值是（）
2、Am1或m2Bm1Cm2Dm的值不存在6（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm37（5分）若，则（）ABCD8（5分）若把函数f（x）sinx的图象向左平移个单位，恰好与函数ycosx的图象重合，则的值可能是（）ABCD9（5分）已知tan22，且满足，则的值为（）ABC3+2D3210（5分）已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD11（5分）若偶函数f（x）在区间1，0上是增函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（cos
3、）Cf（sin）f（sin）Df（cos）f（sin）12（5分）ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2+，|，则等于（）ABC3D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13（5分）若点P（cos，sin）在直线y2x上，则sin2 14（5分）已知向量（cos，sin），（，1），则|2|的取值范围为 15（5分）设f（x）sin4xsinxcosx+cos4x，则f（x）的值域是 16（5分）已知等边ABC的边长为2，若，则 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知，（1）若，求sin2x6c
4、os2x的值；（2）若，求函数f（2x）的周期和单调减区间18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD底面ABCD（1）求证：EF平面PAD；（2）若EFPC，求证：平面PAB平面PCD19（12分）已知函数的部分图象如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）方程在上的两解分别为x1，x2，求sin（x1+x2），cos（x1x2）的值20（12分）已知圆C的方程：x2+y24和直线l的方程：3x+4y+120，点P是圆C上动点，直线l与两坐标轴交于A、B两点（1）求与圆C相切且垂直于直线l的直线方程；（2）求PAB面积的取值范围21（
5、12分）已知OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且0（1）求实数的值及点P、Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求的取值范围22（12分）已知函数f（x）sin（2x）2sin（x）cos（x+）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x，且F（x）4f（x）cos（4x）的最小值是，求实数的值2017-2018学年辽宁省六校协作体高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂
6、在答题卡上）1（5分）已知集合Ax|2x25x30，BxZ|x2，则AB（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，3【分析】求出两个集合，然后求解交集即可【解答】解：集合Ax|2x25x30x|x|x3，BxZ|x2，则集合AB0，1，2故选：B【点评】本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查2（5分）sin18sin78cos162cos78等于（）ABCD【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案【解答】解：sin18sin78cos162cos78sin18cos12+cos18sin12sin30，故选：D【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题3
7、（5分）已知向量（1，m），（3，2），且（+），则m（）A8B6C6D8【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案【解答】解：向量（1，m），（3，2），+（4，m2），又（+），122（m2）0，解得：m8，故选：D【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题4（5分）已知函数，则（）A3B4C3D38【分析】推导出f（）2+8，从而f（8），由此能求出结果【解答】解：函数，f（）2+8，f（8）3故选：C【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用5（5分）若l1：x+（m+1）y+（m2）0，l
8、2：mx+2y+80的图象是两条平行直线，则m的值是（）Am1或m2Bm1Cm2Dm的值不存在【分析】利用直线平行的性质直接求解【解答】解：l1：x+（m+1）y+（m2）0，l2：mx+2y+80的图象是两条平行直线，解得m1故选：B【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用6（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm3【分析】由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC底面AB
9、CD，底面ABCD是正方形，故选：B【点评】本题考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力7（5分）若，则（）ABCD【分析】由已知利用诱导公式可求cos（+），进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：cos（+），cos2（+）2cos2（+）121故选：D【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题8（5分）若把函数f（x）sinx的图象向左平移个单位，恰好与函数ycosx的图象重合，则的值可能是（）ABCD【分析】把函数f（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数
10、ysin（x+） 的图象，而ycosxsin（+x），可得 +2k，kz，结合所给的选项得出结论【解答】解：把函数f（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数ysin（x+）sin（x+） 的图象而ycosxcos（x）sin（+x），+2k，kz观察所给的选项，只有满足条件，故选：D【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了yAsin（x+）的图象变换规律，属于中档题9（5分）已知tan22，且满足，则的值为（）ABC3+2D32【分析】首先根据已知条件已知tan22，且满足，求出tan，进一步对关系式进行变换，最后求的结果【解答】解：已知tan22，且满足，则：2解得：tan由tan所以
11、上式得：3+2故选：C【点评】本题考查的知识要点：倍角公式的应用，三角关系式的恒等变换，及特殊角的三角函数值10（5分）已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD【分析】令，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值【解答】解：令，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1，所以的取值范围为1，+1故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具11（5分）若偶函数f（x）在区间1，0上是增函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）Af（cos）f（
12、cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（sin）Df（cos）f（sin）【分析】利用偶函数的对称性可得函数在0，1单调递增，由、为锐角三角形的内角可得，+，结合函数的单调性可得结论【解答】解：偶函数f（x）在区间1，0上是增函数，f（x）在区间0，1上为减函数又由、是锐角三角形的两个内角，+，0，则coscos（），即0cossin1f（cos）f（sin）故选：D【点评】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角函数判断角的大小关系以及利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可12（5分）ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2+，|，则等于（）ABC3D【分析】利用向量的
13、运算法则将已知等式化简得到 ，得到BC为直径，故ABC为直角三角形，求出三边长可得ACB 的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值【解答】解：，O，B，C共线，BC为圆的直径，如图ABAC，1，|BC|2，|AC|，故ACB则，故选：C【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识求出ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13（5分）若点P（cos，sin）在直线y2x上，则sin2【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的
14、正弦公式，求得sin2的值【解答】解：点P（cos，sin）在直线y2x上，2，即tan2，sin2，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题14（5分）已知向量（cos，sin），（，1），则|2|的取值范围为0，4【分析】根据向量的模可得2|28sin（）+8，再根据正弦函数的性质即可求出【解答】解：（cos，sin），（，1），则2（2cos，2sin+1），|2|2（2cos）2+（2sin+1）24cos24cos+3+4sin2+4sin+18sin（）+8，1sin（）1，08sin（）+816，|2|的取值
15、范围为0，4，故答案为：0，4【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模，以及三角形函数的化简和性质，属于基础题15（5分）设f（x）sin4xsinxcosx+cos4x，则f（x）的值域是0，【分析】tsin2x，1t1，化简f（x）的解析式为 （t+）2 ，再利用二次函数的性质求出f（x）的值域【解答】解：f（x）sin4xsinxcosx+cos4x1sin2xsin22x 令tsin2x，则f（x）g（t）1tt2 （t+）2 ，且1t1故当t时，f（x）取得最大值为 ，当t1时，f（x）取得最小值为 0，故，f（x）0，即 f（x）的值域是0，故答案为0，【点评】本题主要考查三角函数
16、的恒等变换及化简求值，二次函数的性质的应用，属于中档题16（5分）已知等边ABC的边长为2，若，则2【分析】由题意画出图形，建立适当的平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算得答案【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，等边ABC的边长为2，且，则B（1，0），D（，），A（0，），E（，0），故答案为：2【点评】本题考查平面向量的数量积运算，建系利用坐标求解起到事半功倍的效果，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知，（1）若，求sin2x6cos2
17、x的值；（2）若，求函数f（2x）的周期和单调减区间【分析】（1）根据向量的平行和角的三角函数的关系即可求出答案，（2）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根据正弦函数的性质即可得到函数的单调减区间【解答】解：（1）（sinx，cosx），（，1），sinxcosx，tanx，sin2x6cos2x，（2）f（x）sinxcosx2sin（x），f（2x）2sin（2x），由+2k2x+2k，kZ，得：+kx+k，kZ函数f（2x）的单调减区间+k，+k，kZ【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和正弦函数的性质，属于中档题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，
18、底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD底面ABCD（1）求证：EF平面PAD；（2）若EFPC，求证：平面PAB平面PCD【分析】（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，从而EFPA，由此能证明EF平面PAD（2）由EFPA，又EFPC，得PAPC，从而CD平面PAD，进而CDPA，PA平面PDC，由此能证明平面PAB平面PCD【解答】证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在CPA中，EFPA，PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD（6分）（2）由（1）可得，EFPA，又EFPC，PAPC平面PAD平面ABCD，平面ABCD为正方形
19、CD平面PAD，CDPA，又CDPCC，PA平面PDC，又PA平面PAB，平面PAB平面PCD（12分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）已知函数的部分图象如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）方程在上的两解分别为x1，x2，求sin（x1+x2），cos（x1x2）的值【分析】（1）由图象可知A，利用周期求解，通过f（x）的图象过点，求解，然后求解函数的解析式（2）f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，求出，利用两角和与差的三角
20、函数以及二倍角公式求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）由图象可知A2，又，2，又f（x）的图象过点，即，（kZ），即（kZ），又，f（x）；（2）f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，可得：，sin（x1+x2）sin，方程在上的两解分别为x1，x2，x1x2（，）可得：sin（2x1+），sin（2x2+），由图象可知2x1+（，），2x2+（，），cos（2x1+），cos（2x2+），cos2（x1x2）cos（2x1+）（2x2+）+，2cos2（x1x2）1cos（x1x2）【点评】本题考查三角函数的图象的应用，函数的解析式的求
21、法，考查转化思想以及计算能力20（12分）已知圆C的方程：x2+y24和直线l的方程：3x+4y+120，点P是圆C上动点，直线l与两坐标轴交于A、B两点（1）求与圆C相切且垂直于直线l的直线方程；（2）求PAB面积的取值范围【分析】（1）设所求方程为4x3y+m0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离dr求出m的值，即可确定出所求直线方程；（2）由于直线l：3x+4y+120与两坐标轴交于A、B两点，可求出|AB|，设圆心C到直线l的距离d，点P到直线l的距离为d1，则d2d1d+2，即，再由面积公式即可求出PAB面积的最大值【解答】解：（1）设所求直线方程为4x3y+m0，由于直线与圆C相
22、切，圆心（0，0）到直线的距离dr，即2，解得：|m|10，即m10则所求直线方程为4x3y+100或4x3y100；（2）由于直线l：3x+4y+120与两坐标轴交于A、B两点，A（4，0）B（0，3），|AB|5设圆心C到直线l的距离d，点P到直线l的距离为d1，则d2d1d+2，即由于PAB面积的取值范围是1，11【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键，是中档题21（12分）已知OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且0（1）求实数
23、的值及点P、Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求的取值范围【分析】（1）设P（14，y），则（14，y），（8，3y），由，求出和P（14，7），设点Q（a，b），则，再由（12，16），由0，点Q在边AB上，能求出点Q（4，3）（2）设R（4t，3t），且0t1，推导出（88t，66t），由此能求出（）的取值范围【解答】解：（1）设P（14，y），则（14，y），（8，3y），解得，即，P（14，7），（3分）设点Q（a，b），则，又（12，16），0，3a4b，又点Q在边AB上，即3a+b150，联立，解得a4，b3，点Q（4，3）（6分）（2）R为线段OQ上的一个动
24、点，设R（4t，3t），且0t1，则（4t，3t），（24t，93t），（64t，33t），（88t，66t），（8分）则（）4t（88t）3t（66t）50t250t50（t）2，（10分）0t1，故（）的取值范围为（12分）【点评】本题考查实数值及点的坐标的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查向量的坐标运算法则、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（12分）已知函数f（x）sin（2x）2sin（x）cos（x+）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x，且F（x）4f（x）cos（4x）的最小值是，求实数的值【分析】（1）先
25、利用两角和余差和二倍角等基本公式将函数化为yAsin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x，时，化解F（x），求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可得实数的值【解答】解：函数f（x）sin（2x）2sin（x）cos（x+）化简可得：f（x）sincos2xcossin2x2sin（x）cos（+x）cos2x+sin2x+sin（2x）sin2xcos2xsin（2x）（1）函数f（x）的最小正周期T，2x，kZ单调递增区间；即2x，解得：x，函数f（x）的单调递增区间为，kZ（2）由F（x）4f（x）cos（4x）4sin（2x）cos（4x）4sin（2x）1+2sin2（2x）令tsin（2x），x，2x0，0t1那么F（x）转化为g（t）4t+2t21，其对称轴t，开口向上，根据与t的范围讨论最小值当01时，取得最小值为，由，解得：故得实数的值为【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键属于中档题
