1、2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x23x0，Bx|x2，则集合A（RB）（）A（0，2B2，3）C（3，+）D（，0）2（5分）已知空间两点A（2，1，3），B（2，3，1），则A，B两点之间的距离是（）AB6C36D3（5分）幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于（）A4BCD4（5分）若直线l1：（a1）x+y10和直线l2：6x+ay+20平行，则a（）A2B2或3C3D不存在5（5分）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥
2、，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（）AB3C12D366（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），ABC45，ABAD1，DCBC，则这个平面图形的面积为（）ABCD7（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则nmC若mn，m，n，则 D若m，nm，n，则8（5分）光线沿着直线y3x+b射到直线x+y0上，经反射后沿着直线yax+2射出，则有（）Aa，b6Ba，b6Ca3，bDa3，b9（5分）过（2，3）点作圆（x1）2+（y1）21的切线，所得切线
3、方程为（）Ax20和4x3y+10By20和4x3y+10Cx20和3x4y+60Dy20和3x4y+6010（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为a的等腰三角形和边长为a的正方形，则该几何体的体积为（）ABCD11（5分）已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BCAD，则三棱锥的外接球的表面积为（）A6B24CD12（5分）设函数，则使得f（x）f（3x+1）0成立的x的取值范围是（）AB（，）（，+）CD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分） 14（5分）两个圆C1：x2+y22y0和C2：x2+y22x60的公切线有
4、; 条15（5分）已知一等腰三角形的顶点A（2，4），一底角顶点B（2，8），则另一底角顶点的轨迹方程为 16（5分）对于四面体ABCD，有以下命题：（1）若ABACAD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为底面ABC的外心；（2）若ABCD，ACBD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为底面ABC的内心；（3）四面体ABCD的四个面中，最多有四个直角三角形；（4）若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为其中正确的命题是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知圆C：x2+（y1）25，直线l：mxy
5、+1m0（1）试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA垂直于底面ABCD，PAADAB2BC6，M，N分别为棱PC，PB的中点（1）求证：PB平面ANMD；（2）求截面ANMD的面积19（12分）如图，在三棱锥ABCA1B1C1中，ABC是边长为4的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D，E分别是线段BB1，AC1的中点（1）求证：DE平面A1B1C1；（2）若平面ABC平面BB1C1C，BB18，求三棱锥ADCE的体积20（12分）定义在R上的奇函数f（x），当
6、x0时，（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式在x（1，+）上恒成立，求实数的取值范围21（12分）已知圆C经过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x7y+80上（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y2上是否存在定点N，使得KAN+KBN0恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）x24x（1）若f（x）在区间2a1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当x1，7时，求f（x）的值域2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本
7、大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x23x0，Bx|x2，则集合A（RB）（）A（0，2B2，3）C（3，+）D（，0）【分析】先求出UBx|x2，由此能求出集合A（RB）【解答】解：集合Ax|x23x0x|0x3，Bx|x2，UBx|x2，集合A（RB）x|0x2（0，2故选：A【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）已知空间两点A（2，1，3），B（2，3，1），则A，B两点之间的距离是（）AB6C36D【分析】利用两点间
8、距离公式直接求解【解答】解：两点A（2，1，3），B（2，3，1），A，B两点之间的距离：|AB|6故选：B【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题3（5分）幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于（）A4BCD【分析】由f（x）xn，解方程可得n，再由代入法，计算即可得到所求值【解答】解：幂函数f（x）xn的图象经过点，可得3n，解得n，则f（2），故选：D【点评】本题考查幂函数的定义和解析式的求法，以及求函数值，考查方程思想和运算能力，属于基础题4（5分）若直线l1：（a1）x+y10和直线l
9、2：6x+ay+20平行，则a（）A2B2或3C3D不存在【分析】由（a1）a60，即a2a60，解得a经过验证即可得出【解答】解：由（a1）a60，即a2a60，解得a3或2经过验证：a2时两条直线重合，舍去a3故选：C【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（）AB3C12D36【分析】设圆台的上下底面半径为别为r，R，截去的圆锥的母线长为y，得，即求出截去的圆锥的母线长【解答】解：设圆台的上下底面半径为别为r，R，截去的圆
10、锥的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质得解得y3，故选：B【点评】本题考查了圆锥与圆台的关系，考查计算能力属于中档题6（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），ABC45，ABAD1，DCBC，则这个平面图形的面积为（）ABCD【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，从而求得平面图形的面积【解答】解：直观图中，ABC45，ABAD1，DCBC，AD1，BC1+，原来的平面图形上底长为1，下底为1+，高为2，该平面图形的面积为（1+1+）22+故选：B【点评】本题考查了斜二测画法直观图与平面图形的面积计算问题
11、，是基础题7（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则nmC若mn，m，n，则 D若m，nm，n，则【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，m与n平行或异面；在C中，与相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，m，n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若mn，m，n，则 与相交或平行，故C错误；在D中，若m，nm，n，则由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判
12、断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题8（5分）光线沿着直线y3x+b射到直线x+y0上，经反射后沿着直线yax+2射出，则有（）Aa，b6Ba，b6Ca3，bDa3，b【分析】在直线y3x+b上任意取一点A（1，b3），则根据点A关于直线x+y0的对称点B（b+3，1）在直线yax+2上，结合选项可得a、b的值【解答】解：在直线y3x+b上任意取一点A（1，b3），则点A关于直线x+y0的对称点B（b+3，1）在直线yax+2上，故有1a（b+3）+2，即1ab+3a+2，ab3a+3，结合所给的选项，
13、故选：B【点评】本题主要考查一条直线关于另一条直线对称的性质，反射定理，属于基础题9（5分）过（2，3）点作圆（x1）2+（y1）21的切线，所得切线方程为（）Ax20和4x3y+10By20和4x3y+10Cx20和3x4y+60Dy20和3x4y+60【分析】讨论切线的斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，进行求解即可【解答】解：圆心坐标C（1，1），半径R1，若直线斜率不存在，则对应方程为x2，此时圆心到直线的距离d211R，满足条件若直线斜率存在，设为k，则方程为y3k（x2），即kxy+32k0，圆心到直线的距离d1，即|k2|，平方得k24k+41+k2，即4k3，得k，则直
14、线方程为xy+320，即3x4y+60，综上切线为3x4y+60或x2，故选：C【点评】本题主要考查直线和圆相切的位置关系的应用，注意要讨论直线斜率是否存在10（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为a的等腰三角形和边长为a的正方形，则该几何体的体积为（）ABCD【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥PABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，然后由棱锥体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥PABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形，该四面体的体积是V故选：A【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题11（5分
15、）已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BCAD，则三棱锥的外接球的表面积为（）A6B24CD【分析】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【解答】解：如图：AD2，AB1，BD，满足AD2+AB2SD2ADAB，又ADBC，BCABB，AD平面ABC，ABBC1，AC，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD2，AC，CD，三棱锥的外接球的表面积为4（）26故选：A【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径属于中档题12（5
16、分）设函数，则使得f（x）f（3x+1）0成立的x的取值范围是（）AB（，）（，+）CD【分析】根据条件先判断函数的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：f（x）ln（3+|x|）f（x），则函数f（x）是偶函数，且当x0时，f（x）ln（3+x）为增函数，则不等式f（x）f（3x+1）0等价为f（x）f（3x+1），即f（|x|）f（|3x+1|），则|x|3x+1|，即平方得x29x2+6x+1，即8x2+6x+10，则（2x+1）（4x+1）0，得x或x，即不等式的解集为（，）（，+）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单
17、调性是解决本题的关键二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）7【分析】利用对数换底公式、对数运算性质即可得出【解答】解：原式+34+37故答案为：7【点评】本题考查了对数运算性质、对数换底公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）两个圆C1：x2+y22y0和C2：x2+y22x60的公切线有1条【分析】判断两圆的位置关系即可得公切线的条数【解答】解：两圆的标准方程为x2+（y1）21和（x）2+y29，圆心坐标为C1（0，1），C2（，0），半径R1，r3，则|C1C2|231rR，则两圆内切，即两圆的公切线条数有1条，故答案为：1【点评】本题主要考查两圆
18、公切线条数的判断，根据两圆位置关系是解决本题的关键15（5分）已知一等腰三角形的顶点A（2，4），一底角顶点B（2，8），则另一底角顶点的轨迹方程为（x2）2+（y4）216（x2）【分析】设出点C的坐标，利用|AB|AC|，建立方程，根据A，B，C三点构成三角形，则三点不共线且B，C不重合，即可求得结论【解答】解：设点C的坐标为（x，y），则由|AB|AC|得（x2）2+（y4）2（22）2+（48）2，化简得（x2）2+（y4）216A，B，C三点构成三角形，三点不共线且B，C不重合，另一底角顶点的轨迹方程为（x2）2+（y4）216（x2且y0），故答案为：（x2）2+（y4）216（x
19、2）【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题16（5分）对于四面体ABCD，有以下命题：（1）若ABACAD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为底面ABC的外心；（2）若ABCD，ACBD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为底面ABC的内心；（3）四面体ABCD的四个面中，最多有四个直角三角形；（4）若四面体ABCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为其中正确的命题是（1）（3）（4）【分析】由平面的垂线和射影性质，结合外心的定义，即可判断（1）；由平面的三垂线定理，结合垂心的定义，即可判断（2）；运用线面垂直的判定和性质，即可判断（3）；运用等积法，以及球的表面积公式，计算即
20、可得到所求面积【解答】解：（1）若ABACAD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为O，连接OB，OC，OD，由平面的垂线和射影性质，可得OBOCOD，即O为BCD的外心，则（1）正确；（2）若ABCD，ACBD，则过A向底面BCD作垂线，垂足为H，连接HA，HB，HC，由三垂线定理可得，BHCD，CHBD，可得H为垂心，则（2）错误；（3）四面体ABCD的四个面中，最多有四个直角三角形，即为AB平面BCD，且BCCD，如图，可得四个面均为直角三角形；（4）若四面体ABCD的6条棱长都为1，等边三角形BCD的半径为，四面体的高为，体积为，由等积法可得4r，解得内切球的半径r，则它的内切球的表面积为
21、4r2，则（4）正确故答案为：（1）（3）（4）【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，以及面积和体积的计算，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知圆C：x2+（y1）25，直线l：mxy+1m0（1）试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值【分析】（1）圆心C（0，1）到直线l：mxy+1m0的距离d1（mR），即dr，由此推导出直线l与圆C相交（2）由r，d，|AB|，根据垂径定理及勾股定理得：，由此能求出m【解答】解：（1）直线l与圆C相交，理由如下：圆
22、C：x2+（y1）25的圆心坐标为C（0，1），半径为r，圆心C到直线l：mxy+1m0的距离：d1（mR），即dr，直线l与圆C相交（2）r，d，|AB|，根据垂径定理及勾股定理得：，即，整理得：m23，解得：m【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查实数值的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式、垂径定理及勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA垂直于底面ABCD，PAADAB2BC6，M，N分别为棱PC，PB的中点（1）求证：PB平面ANMD；（2）求截面ANM
23、D的面积【分析】（1）推导出ANPB，PAAD，BAAD，从而AD平面PAB，进而ADPB，推导出MNBC，MNAD，由此能证明PB平面ANMD（2）ADMN是直角梯形，其中ADAN，MNAD，由此能求出截面ANMD的面积【解答】证明：（1）N是PB的中点，PAAB，ANPB由PA底面ABCD，得PAAD，BAD90，即BAAD，又BAAPA，AD平面PAB，ADPB，M、N为中点，MNBC，又BCAD，MNAD，即A、D、M、N共面 &nb
24、sp; 又ADANA，且AD，AN在平面ADMN内，PB平面ANMD解：（2）PAADAB2BC6，M，N分别为棱PC，PB的中点，MN，由（1）知ADMN是直角梯形，其中ADAN，MNAD，AN3，截面ANMD的面积S【点评】本题考查线面垂直的证明，考查截面面积的求法，考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查空间想象能力，属中档题19（12分）如图，在三棱锥ABCA1B1C1中，ABC是边长为4的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D，E分别是
25、线段BB1，AC1的中点（1）求证：DE平面A1B1C1；（2）若平面ABC平面BB1C1C，BB18，求三棱锥ADCE的体积【分析】（1）取A1C1的中点F，连接EF、FB1，由三角形中位线定理可得EFAA1，EF，在三棱柱ABCA1B1C1中，由D是线段BB1的中点，可得DB1AA1，DB1，从而得到四边形DB1FE为平行四边形，则DEFB1，再由线面平行的判定可得DE平面A1B1C1；（2）由E是线段AC1 的中点，可得，求出棱锥ACDC1 的体积得答案【解答】（1）证明：取A1C1的中点F，连接EF、FB1，E是线段AC1的中点，EFAA1，EF，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是线段
26、BB1的中点，DB1AA1，DB1，DB1EF，DB1EF，四边形DB1FE为平行四边形，DEFB1，DE平面A1B1C1，FB1平面A1B1C1，DE平面A1B1C1；（2）解：E是线段AC1 的中点，取BC中点M，连接AM，平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AM平面ABC，AM平面BB1C1C，ABC是边长为4的正三角形，AM【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题20（12分）定义在R上的奇函数f（x），当x0时，（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式在x（1，+）上恒成立，求实数的取值
27、范围【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出函数的解析式，（2）原不等式转化为2x在x（1，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值即可【解答】解：（1）设x0，则x0，所以f（x）因为奇函数，所以f（x）f（x），所以f（x），x0，因为定义在R上的奇函数，所以f（0）0所以f（x）（2）由（1）知当x（1，+）f（x），所以2x24x2x1，因为关于x的不等式在x（1，+）上恒成立所以4x2x10在x（1，+）上恒成立，即2x在x（1，+）上恒成立，设g（x）2x，易知g（x）在（1，+）为增函数，g（x）g（1）2，即【点评】本题考查了函数的解析式的求法，函数的单调性，以及恒成立问题的转化
28、，属于中档题21（12分）已知圆C经过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x7y+80上（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，2）的直线与圆C交于A，B两点，问在直线y2上是否存在定点N，使得KAN+KBN0恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由已知求出直线m的方程，联立直线l与直线m，求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可求；（2）假设存在点N（t，2）符合题意，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y2k（x1），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合KAN+KBN0求得t
29、值，已知AB斜率不存在时成立，可得在直线y2上存在定点N（，0），使得KAN+KBN0恒成立【解答】解：（1）直线AB的斜率为1，AB的垂直平分线m的斜率为1，AB的中点坐标为（），因此直线m的方程为xy10，又圆心在直线l上，圆心是直线m与直线l的交点联立方程租，得圆心坐标为C（3，2），又半径r，圆的方程为（x3）2+（y2）213；（2）假设存在点N（t，2）符合题意，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y2k（x1），联立方程组，消去y，得到方程（1+k2）x2（2k2+6）x+k240则由根与系数的关系得，KAN+KBN0，即2x1x
30、2（1+t）（x1+x2）+2t0，解得t，即N点坐标为（，2）；当直线AB斜率不存在时，点N显然满足题意综上，在直线y2上存在定点N（，2），使得KAN+KBN0恒成立【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题22（12分）已知函数f（x）x24x（1）若f（x）在区间2a1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当x1，7时，求f（x）的值域【分析】（1）利用二次函数的对称轴，以及函数的单调区间，列出不等式，求解即可（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过函数的闭区间以及函数的单调性求解最值【解答】解：（1）函数f（x）x24x的对称轴为x2，f（x）在区间2a1，+）上是增函数，2a12，即（2）f（x）x24x（x2）24又x1，7，1x25，0（x2）2254（x2）2421函数值域为4，21【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力
