1、 2018-2019学年江西省景德镇一中实验16班高一（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1（5分）已知，则（ ） A（2，7） B（13，7） C（2，7） D（13，13） 2（5分）已知sin2，则cos2（+）（ ） A B C D 3（5分）如图，用向量，表示向量为（ ） A24 B42 C3 D+3 4（5分）已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（ ） A B C D 5（5分）若函数，0，xR，又f（x1）2，f（x2）0，且|x1x2|的最小值为，则的值为（ ） A B C D2 6（5分
2、）以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A90，则的坐标为（ ） A（2，5） B（2，5）或（2，5） C（2，5） D（7，3）或（3，7） 7（5分）的值是（ ） A B C D 8（5分）已知等边ABC边长为4，O为其内一点，且，则AOB的面积为（ ） A B C D 9（5分）已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且POQ60，AB是圆O的一条直径，若点C满足（1）+）（R），则的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 10（5分）在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于（ ） A B C D 11（5分）函数f（x）Asin（x+）（0
3、，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为1，2，则等于（ ） A B C D 12（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x3，5时，f（x）2|x4|，则下列不等式一定不成立的是（ ） A Bf（sin1）f（cos1） C Df（sin2）f（cos2） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13（5分）已知向量，且，那么实数m的值为 14（5分）在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，a2bcosC，则ABC的形状为 15（5分）如图，一栋建筑
4、物AB高（3010）m，在该建筑 物的正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处 测得对塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为 m 16（5分）已知函数y2sin（x+）cos（x）与直线y相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为A1，A2，A3，则|A1A5| 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17（10分）已知向量（2，1），（x，1）（xR） （1）若的夹角为锐角，求x的范围； （2）当3（4，y）时，求x+y的值 18（12分）在ABC中，设角A，B，C所
5、对的边分别为a，b，c，向量，且 （1）求角A的大小； （2）若，求ABC的面积 19（12分）已知函数，求 （1）求f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调递增区间 （3）求f（x）在区间上的最大值和最小值 20（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB （）若c2a，求的值； （）若CB，求sinA的值 21（12分）已知向量，函数，函数f（x）在y轴上的截距为，与y轴最近的最高点的坐标是 （）求函数f（x）的解析式； （）将函数f（x）的图象向左平移（0）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数ysinx的图象，求的最小值
6、 22（12分）如图所示，某公路AB一侧有一块空地OAB，其中OA3km，OB3 km，AOB90当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且MON30 （1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离； （2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积 2018-2019学年江西省景德镇一中实验16班高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1（5分）已知，则（ ） A（2
7、，7） B（13，7） C（2，7） D（13，13） 【分析】根据所给的两个向量的坐标，先写出两个向量分别与实数相乘时的坐标，再把两个向量的坐标横标和纵标的值分别相加，得到结果 【解答】解：， 3（3，1）2（2，5） （9，3）（4，10） （13，7） 故选：B 【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，可以作为其他题目的一部分或者是一个解题的过程中会用到 2（5分）已知sin2，则cos2（+）（ ） A B C D 【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值 【解答】解：sin2， cos2（+）1
8、+cos（2+）（1sin2）（1） 故选：A 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键 3（5分）如图，用向量，表示向量为（ ） A24 B42 C3 D+3 【分析】利用单位向量表示向量，然后求出向量的值 【解答】解：由题意可知， 所以向量3 故选：C 【点评】本题是基础题，考查向量的加减法的应用，正确表示向量的关系是解题的关键，考查计算能力 4（5分）已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（ ） A B C D 【分析】由题意和垂直关系可得向量夹角余弦值的方程，解方程结合夹角的范围可得 【解答】解：，且， （）112cos，0， 解得cos，
9、与的夹角的取值范围是0， 向量和的夹角， 故选：B 【点评】本题考查向量的数量积和夹角以及垂直关系，属基础题 5（5分）若函数，0，xR，又f（x1）2，f（x2）0，且|x1x2|的最小值为，则的值为（ ） A B C D2 【分析】利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得 【解答】解：， 函数f（x）的最大值为2， f（x1）2，f（x2）0，且|x1x2|的最小值为， 函数f（x）的周期T46， 由周期公式可得T6，解得， 故选：A 【点评】本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题 6（5分）以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OA
10、B，使A90，则的坐标为（ ） A（2，5） B（2，5）或（2，5） C（2，5） D（7，3）或（3，7） 【分析】设出B的坐标（x，y），由题意列关于x，y的方程组，求解后得答案 【解答】解：如图， 设B（x，y）， A（5，2），A90，且OAB为等腰直角三角形， ，解得或 或（2，5） 故选：B 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是中档题 7（5分）的值是（ ） A B C D 【分析】首先把10角变成3020引出特殊角，通过两角和公式进一步化简，最后约分得出结果 【解答】解：原式 故选：C 【点评】本题主要考查了正弦函数两角的和与差注意利用好特殊角 8（5分）
11、已知等边ABC边长为4，O为其内一点，且，则AOB的面积为（ ） A B C D 【分析】根据题意，作出图形，利用向量的关系，求出AOB与ABC的面积关系，即可得出 【解答】解， + 如图所示，延长OB到点E，使得， 分别以，为邻边作平行四边形OAFE 则+， 又，可得， ， ， SAOBSACB42 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是作出辅助线，根据向量的知识得出各小三角形与原三角形面积之间的关系，是中档题 9（5分）已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且POQ60，AB是圆O的一条直径，若点C满足（1）+）（R），则的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4
12、 【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义，化简24要求的最小值问题就是求2的最小值，由于点C满足（1）+（R），两边平方转化为二次函数的最值问题，即可得到所求最小值 【解答】解：由题意可得（+）（+） 2+（+）+， AB是圆O的任意一条直径，+，4， 2+0424 要求的最小值问题就是求2的最小值， 由于点C满足（1）+（R）， 两边平方可得2（1）22+22+2（1） 4（222+1）+2（1）224（323+1）43（）2+， 当时，2，取得最小值1， 故的最小值为143， 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题 10
13、（5分）在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于（ ） A B C D 【分析】利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得方程，即可得出结论 【解答】解：由题意，设BCx，则 利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得64+x22（72+62）， x， 故选：B 【点评】本题考查解三角形，考查学生的计算能力，利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和是关键 11（5分）函数f（x）Asin（x+）（0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为1，2，则等于（ ） A
14、B C D 【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f（x）的解析式再利用yAsin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得的值 【解答】解：根据函数f（x）Asin（x+）（0，）的部分图象， 可得A2，2 再根据五点法作图可得2+，f（x）2sin（2x+） 将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）2sin（2x+）2sin（2x）的图象， 若函数g（x）在区间（）上，2x，2， 由于g（x）的值域为1，2，故2sin（2x）的最小值为1， 此时，sin（2），则2，求得， 故选：B 【点评】本题主要考查
15、利用yAsin（x+）的图象特征，由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值还考查yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题 12（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x3，5时，f（x）2|x4|，则下列不等式一定不成立的是（ ） A Bf（sin1）f（cos1） C Df（sin2）f（cos2） 【分析】根据周期得出f（x）在1，1上的单调性与奇偶性，再利用三角函数的性质判断各选项 【解答】解：（x+2）f（x），f（x）的周期为2， 当x1，1时，f（x）2|x|， f（x）在1，1
16、上是偶函数，且在1，0上单调递增，在0，1上单调递减， 1cossin0，f（cos）f（sin），故A错误； 1，1sin1cos10，f（sin1）f（cos1），故B正确； cos，sin，f（cos）f（sin），故C正确； ，1sin2|cos2|0，f（sin2）f（cos2），故D正确 故选：A 【点评】本题考查了函数周期性的应用，三角函数的性质，属于中档题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13（5分）已知向量，且，那么实数m的值为 2 【分析】利用向量共线定理即可得出 【解答】解：2+（2+m，8），且， 2（2+m）80，解得m
17、2 故答案为：2 【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14（5分）在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，a2bcosC，则ABC的形状为 等腰三角形 【分析】先根据题设条件求得cosC的表达式，进而利用余弦定理求得cosC的另一表达式，二者相等化简整理求得bc，进而判断出三角形为等腰三角形 【解答】解：a2bcosC， cosC cosC ，化简整理得bc ABC为等腰三角形 故答案为：等腰三角形 【点评】本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断解题的关键是利用了cosC这一桥梁完成了问题的转化 15（5分）如图，一栋建筑物AB高（3010）m，
18、在该建筑 物的正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处 测得对塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为 60 m 【分析】设AECD，垂足为E，在AMC中，利用正弦定理，求出AC，即可得出结论 【解答】解：设AECD，垂足为E，则在AMC中，AM20，AMC105，C30， ， AC60+20， CE30+10， CD3010+30+1060， 故答案为：60 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 16（5分）已知函数y2sin（x+）cos（x）与直线
19、y相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为A1，A2，A3，则|A1A5| 2 【分析】化简函数解析式，计算各点的横坐标， 【解答】解：y2sin（x+）cos（x）2cosxsinxsin2x， 令sin2x可得2x+2k或2x+2k， x+k或x+k，kZ A1的横坐标为，A2的横坐标为，A5的横坐标为， |A1A5|2 故答案为：2 【点评】本题考查了函数的图象与性质，属于基础题 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17（10分）已知向量（2，1），（x，1）（xR） （1）若的夹角为锐角，求x的范围； （2）当3（4，y）时，求x+y
20、的值 【分析】（1）根据的夹角为锐角时0，列出不等式求出x的取值范围； （2）根据向量相等与坐标运算，列出方程组求出x、y的值即可 【解答】解：（1）向量（2，1），（x，1）， 当的夹角为锐角时，0， 即2x10， 解得x； （2）32（62，x5）， 当3（4，y）时， 有， 解得x1，y5， x+y154 【点评】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算的应用问题，是基础题目 18（12分）在ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且 （1）求角A的大小； （2）若，求ABC的面积 【分析】（1）首先求得数量积的三角表达式，然后结合三角函数的性质即可求得角A的大小； （2）由
21、题意首先确定三角形的形状，然后求解三角形的面积即可 【解答】解：（1）， ， ， 又0A，0， （2）， ， sinC1，又0C ABC为等腰直角三角形， 【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，三角函数的性质及其应用，三角形面积公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题 19（12分）已知函数，求 （1）求f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调递增区间 （3）求f（x）在区间上的最大值和最小值 【分析】（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：f（x），进而得最小正周期； （2）由可得增区间； （3）由得，根据正弦函数的图象可得最值 【解答】（1）T；（2）单调递
22、增区间为；（3）f（x）min1，f（x）miax2 解：（1） f（x）的最小正周期T （2）由 解得函数f（x）的单调递增区间为 （3）当时，f（x）min1 当时，f（x）miax2 【点评】本题考查三角函数解析式的化简取值，三角函数的性质的应用；三角函数式的化简要遵循“三看”原则 （1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等 20（12分）在ABC中，内角A，B
23、，C所对的边分别为a，b，c，cosB （）若c2a，求的值； （）若CB，求sinA的值 【分析】（）由已知及余弦定理可得，结合c2a，可求，进而利用正弦定理即可得解 （）利用二倍角的余弦函数公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解 【解答】（本小题满分14分） 解：（）在ABC中，因为cosB， 所以： 因为：c2a， 所以：，即， 所以：， 由正弦定理得， 所以： （）因为cosB，所以cos2B2cos2B1 又0B， 所以sinB，所以sin2B2sinBcosB2 因为CB，即CB+， 所以A（B+C）2B， 所以s
24、inAsin（2B）sincos2Bcossin2B（） 【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 21（12分）已知向量，函数，函数f（x）在y轴上的截距为，与y轴最近的最高点的坐标是 （）求函数f（x）的解析式； （）将函数f（x）的图象向左平移（0）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数ysinx的图象，求的最小值 【分析】（）利用两个向量的数量积公式，正弦函数的最值，结合已知条件求得a、b的值，可得函数的解析式 （）根据yAsin（x+）的图象变换规律，求得
25、的最小值 【解答】解：（）， 由，得， 此时， 由，得b1或b1， 当b1时，经检验为最高点； 当b1时，经检验不是最高点，故舍去 故函数的解析式为 （）函数f（x）的图象向左平移个单位后得到函数的图象； 横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数的图象， （kZ），（kZ）， 因为0，所以的最小值为 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的最值，yAsin（x+）的图象变换规律，属于中档题 22（12分）如图所示，某公路AB一侧有一块空地OAB，其中OA3km，OB3 km，AOB90当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且
26、MON30 （1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离； （2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积 【分析】（1）直接利用余弦定理和三角函数关系式求出结果 （2）利用余弦定理和正弦定理及三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出三角形面积的最小值 【解答】解：（1）在OAB中，因为OA3，OB3，AOB90，所以OAB60 在OAM中，由余弦定理得OM2AO2+AM22AOAMcosA7， 所以OM，所以cosAOM， 在OAN中，sinONAsin（A+AON）sin（AOM+90）cosAOM 在OMN中，由，得MN （2）
27、解法1：设AMx，0x3 在OAM中，由余弦定理得OM2AO2+AM22AOAMcosAx23x+9， 所以OM， 所以cosAOM， 在OAN中，sinONAsin（A+AON）sin（AOM+90） cosAOM 由， 得ON 所以SOMNOMONsinMON ，（0x3） 令6xt，则x6t，3t6，则SOMN（t9+） （29） 当且仅当t，即t3，x63时等号成立，SOMN的最小值为 所以M的位置为距离A点63 km处，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2 解法2：设AOM，0 在OAM中，由，得OM 在OAN中，由，得ON 所以SOMNOMONsinMON ，（0） 当2+，即时，SOMN的最小值为 所以应设计AOM，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，正弦型函数的性质的应用，基本不等式的应用及相关的运算问题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:06:44；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第20页（共20页）
