1、 2018-2019学年江西省赣州市十五县（市）高一（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1（5分）若角的终边经过点P（1，1），则（ ） Asin1 Btan1 C D 2（5分）已知A（1，1），B（1，3），C（x，5），若，则x（ ） A2 B3 C2 D5 3（5分）大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，
2、该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则该数列第16项为（ ） A98 B112 C144 D128 4（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，b，B45，则角A（ ） A30 B60 C30或150 D60或120 5（5分）如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量（ ） A B C D 6（5分）函数ysin2x是（ ） A最小正周期为2的偶函数 B最小正周期为2的奇函数 C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数 7（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asinBcosC+csinBcosAb，且c
3、b，则B（ ） A B C D 8（5分）若将函数ysin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴方程为（ ） Ax（kZ） Bx（kZ） Cx（kZ） Dx（kZ） 9（5分）在ABC中，已知C，BCa，ACb，且a，b是方程x213x+400的两根，则AB的长度为（ ） A2 B4 C6 D7 10（5分）如果把RtABC的三边a，b，c的长度都增加m（m0），则得到的新三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定 11（5分）在ABC中，ABAC，E、F分别为BC的三等分点，则cosEAF（ ） A B C D 12（5分）已知锐角ABC
4、中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2a（a+c），则的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分 13（5分）已知，若sin2sin2，则tan 14（5分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2a2bc，则 A 15（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，则S21的值为 16（5分）已知ABC中，|的最小值为 三、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（10分）已知向量满足， （1）若的夹角为，求； （2）若，求与的夹角 18（12分）已知a，b，c分别为AB
5、C内角A，B，C的对边，且asinBbcosA0 （1）求角A； （2）若a，b3，求ABC的面积 19（12分）在等差数列an中，a54，a3+a89 （1）求数列的an通项公式； （2）令bn2an1，求数列bn的前n项和Sn 20（12分）已知函数f（x）2sin2x4cos2x+2 （1）求函数f（x）的单调减区间； （2）若，求函数f（x）的值域 21（12分）如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足APMN75，（千米），（千米），设AMN （1）试用表示AM，并写出的范围； （2）当
6、为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）（注：） 22（12分）已知两个不共线的向量，的夹角为，且|3，|1，x为正实数 （1）若+2与4垂直，求tan； （2）若，求|x|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与x的位置关系； （3）若为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x|m|有两个不同的正实数解，且xm，求m的取值范围 2018-2019学年江西省赣州市十五县（市）高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1（5分）若角的终边经过点P
7、（1，1），则（ ） Asin1 Btan1 C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论 【解答】解：角的终边经过点P（1，1），tan1， 故选：B 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 2（5分）已知A（1，1），B（1，3），C（x，5），若，则x（ ） A2 B3 C2 D5 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值 【解答】解：A（1，1），B（1，3），C（x，5）， （2，4），（x1，2）； 若，则224（x1）0，解得x2 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题 3（5分）大衍数列来源于
8、乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则该数列第16项为（ ） A98 B112 C144 D128 【分析】根据前10项的奇数项和偶数项的规律可得 【解答】解：奇数项为：， 偶数项为：， 依次规律有：第16项为：128 故选：D 【点评】本题考查了进行简单的合情的推理，属中档题 4（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1，b，B45，则角A
9、（ ） A30 B60 C30或150 D60或120 【分析】由正弦定理可解得sinA，利用大边对大角可得范围A（0，45），从而解得A的值 【解答】解：a1，b，B45， 由正弦定理可得：sinA， a1b，由大边对大角可得：A（0，45）， 解得：A30 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围 5（5分）如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量（ ） A B C D 【分析】结合平面向量加法及减法的三角形法则及向量的基本定理即可求解 【解答】解：D是ABC的边AB的中点， 则向量 故选：C 【点评】本题主要考查了
10、平面向量的基本运算，属于基础试题 6（5分）函数ysin2x是（ ） A最小正周期为2的偶函数 B最小正周期为2的奇函数 C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数 【分析】首先由f（x）f（x）判断函数为偶函数；利用二倍角的余弦化简原式cos2x，根据求最小周期公式得出结论 【解答】解：函数f（x）sin2x 则f（x）sin2（x）f（x） 函数ysin2x为偶函数 函数ysin2xcos2x， 最小正周期为T， 故选：C 【点评】本题考查二倍角公式、三角函数周期性的求法，求最小周期公式T是解题关键，属于基础题 7（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asinB
11、cosC+csinBcosAb，且cb，则B（ ） A B C D 【分析】利用正弦定理与两角和的正弦公式，结合三角形内角和定理，求出sinB的值，即可求得角B的大小 【解答】解：ABC中，asinBcosC+csinBcosAb， 由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，且sinB0， sinAcosC+sinCcosA， sin（A+C）； 又A+B+C， sin（A+C）sin（B）sinB； 又cb， B 故选：B 【点评】本题考查了正弦定理与两角和的正弦公式以及三角形内角和定理的应用问题，属于基础题 8（5分）若将函数ysin2x的图象向右平移个单位
12、长度，则平移后的图象的对称轴方程为（ ） Ax（kZ） Bx（kZ） Cx（kZ） Dx（kZ） 【分析】函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求出平移后的图象的对称轴方程 【解答】解：将函数ysin2x的图象向右平移个单位长度，可得ysin（2x）的图象， 令2xk+，求得x+，kZ，则平移后的图象的对称轴方程为x+，kZ， 故选：D 【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 9（5分）在ABC中，已知C，BCa，ACb，且a，b是方程x213x+400的两根，则AB的长度为（ ） A2 B4 C6 D7 【分析】求
13、出方程的解，根据余弦定理即可求出AB的长度 【解答】解：a，b是方程x213x+400的两根， a5，b8，或a8，b5， 由余弦定理AB2c2a2+b22abcosC25+6428549， 则AB7， 故选：D 【点评】本题考查了方程的解和余弦定理，属于基础题 10（5分）如果把RtABC的三边a，b，c的长度都增加m（m0），则得到的新三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定 【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定
14、理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形 【解答】解：设增加同样的长度为m，原三边长为a、b、c，且c2a2+b2，c为最大边； 新的三角形的三边长为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，其对应角最大 而（a+m）2+（b+m）2（c+m）2m2+2（a+bc）m0， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦0，则为锐角， 那么它为锐角三角形 故选：A 【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于基础题 11（5分）在ABC中，ABAC，E、F分别为BC的三等分点，则cosEAF（ ） A B C D 【分析】由题意判定AB，
15、AC互相垂直，以A为原点建立坐标系，利用三等分点的E，F的坐标，利用向量数量积求得余弦值 【解答】解：由可得ABAC， 以A为原点建立坐标系如图， 不妨设ABAC3， E，F为三等分点， E（2，1），F（1，2）， cosEAF， 故选：B 【点评】此题考查了向量加减法，数量积等，难度不大 12（5分）已知锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2a（a+c），则的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由b2a（a+c）利用余弦定理，可得ca2acosB，正弦定理边化角，在消去C，可得sin（BA）sinA，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范
16、围 【解答】解：由b2a（a+c）， 利用余弦定理，可得：ca2acosB， 利用正弦定理边化角，得：sinCsinA2sinAcosB， A+B+C， sin（B+A）sinA2sinAcosB， sin（BA）sinA， ABC是锐角三角形， BAA，即B2A 0B，A+B， 那么：A， 则sinA（，） 故选：C 【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分 13（5分）已知，若sin2sin2，则tan 2 【分析】把已知等式左边展开二倍角正弦，结合的范围及同角三角函数基本关系式求解 【解答】解：由，
17、且sin2sin2， 得2sincossin2， 2cossin，即tan2 故答案为：2 【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题 14（5分）已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2a2bc，则 A 60 【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数 【解答】解：b2+c2a2bc， 根据余弦定理得：cosA， 又A为三角形的内角， 则A60 故答案为：60 【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代
18、入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 15（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，则S21的值为 231 【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n项和公式的应用求出结果 【解答】解：数列an的前n项和为Sn，a11， 则：当n2时，an1+an2n1， 得：an+1an12（常数）， 当n为奇数时，数列的项为：1，3，5，2n1 当n为偶数时，数列的项为：2，4，6，2n 故：数列的通项公式为：ann， 则：S211+2+3+21， ， 故答案为：231 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要
19、考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 16（5分）已知ABC中，|的最小值为 1 【分析】首先清楚是单位向量，而对应点点E与B，D共线，当AEBD时得最小值，从而确定三角形BAD为等腰直角三角形，使得解 【解答】 解：设表示方向上的单位向量， t+1t1， 所对应的点E在直线BD上， 即B，D，E三点共线， 如图，的最小值即的最小值， 为点A到直线BD的距离， ABD为等腰直角三角形， 【点评】此题考查了单位向量，三点共线，数量积等，难度适中 三、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（10分）已知向量满足， （1）若的夹角为，求； （2）若，
20、求与的夹角 【分析】（1）利用数量积求得，在通过求得； （2）利用向量垂直数量积为0得到，进而求得夹角余弦值 【解答】解：（1）由已知，得1， 5， ； （2）， ， ， 即， 又0， ， 即与的夹角为 【点评】此题考查了向量数量积，模，向量垂直等，难度适中 18（12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且asinBbcosA0 （1）求角A； （2）若a，b3，求ABC的面积 【分析】（1）由正弦定理可得sinAsinBsinBcosA，结合sinB0，可求tanA，结合范围0A，可求A （2）由已知利用余弦定理可得c23c40，解得c的值，根据三角形面积公式即可计算得解 【
21、解答】（本题满分为12分） 解：（1）asinBbcosA0 由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA， sinB0， sinAcosA，即tanA， 0A， A6分 （2）a，b3，A， 由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：139+c22，可得：c23c40， 解得：c4，（负值舍去）， SABCbcsinA312分 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19（12分）在等差数列an中，a54，a3+a89 （1）求数列的an通项公式； （2）令bn2an1，求数列bn的前n项和Sn 【分析】（
22、1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项； （2）由（1）知bn2an12n3，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，a54，a3+a89， 可得a1+4d4，2a1+9d9， 解得a10，d1， 可得ana1+（n1）dn1； （2）由（1）知bn2an12n3， 所以数列bn是首项为1，公差为2的等差数列， 所以前n项和Snn（1+2n3）n22n 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 20（12分）已知函数f（x）2sin
23、2x4cos2x+2 （1）求函数f（x）的单调减区间； （2）若，求函数f（x）的值域 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积 （1）利用复合函数的单调性求函数的减区间； （2）由x的范围求得相位的范围，进一步得到函数的值域 【解答】解：， （1）由， 得， f（x）的减区间为； （2）当时， ， f（x）的值域为 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，是基础题 21（12分）如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足APMN75，（千米），
24、（千米），设AMN （1）试用表示AM，并写出的范围； （2）当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）（注：） 【分析】（1）在AMN中，运用正弦定理可得AM，由图象可得的范围； （2）在APM中，运用余弦定理和三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，可得所求AP的最大值 【解答】解：（1）因为AMN，在AMN中， 因为，sin75， 所以AM2sin（75+），（0105）； （2）在APM中，AM2sin（75+）， 所以AP2AM2+MP22AMMPcosAMP 21cos（2+150）2sin（2+150）+3 52sin（2+150）+cos（2+150） 5
25、4sin（2+180）5+4sin2，（0105）； 当且仅当290，即45时，AP2取得最大值9，即AP取得最大值3 所以当45时，工厂产生的噪声对学校的影响最小 【点评】本题考查解三角形在实际问题中的运用，考查正弦定理和余弦定理的运用，以及三角函数的恒等变换和正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题 22（12分）已知两个不共线的向量，的夹角为，且|3，|1，x为正实数 （1）若+2与4垂直，求tan； （2）若，求|x|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与x的位置关系； （3）若为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x|m|有两个不同的正实数解，且xm，求m的取值范围 【分析】（1）利
26、用+2与4垂直，（+2）（4）0，可得，化简，即可求出tan； （2）将模平方，结合二次函数的性质，可求|x|的最小值及对应的x的值，利用数量积公式，可确定向量与x的位置关系； （3）方程|x|m|，等价于9x23cosx+19m20，利用关于x的方程|x|m|有两个不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论 【解答】解：（1）+2与4垂直， （+2）（4）0 |3，|1， 96cos80 cos 0， sin ； （2），|x|2 时，|x|的最小值为 此时（x）9x30， 与x垂直； （3）方程|x|m|，等价于9x26cosx+19m20 关于x的方程|x|m|有两个不同的正实数解， cos0， 若有xm，则x，xm，m， 令，0且 当0且时，m的取值范围为m|且； 当且时，m的取值范围为m| 【点评】本题考查向量的数量积公式，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:01:24；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第18页（共18页）
