1、 2018-2019学年江西省景德镇一中16班高一（上）期末数学试卷 一、选择题 1（5分）已知全集UxN|0x6，集合A4，5，6，则UA（ ） A1，2，3，4 B0，1，2，3 Cx|0x3 D1，2，3 2（5分）已知直线x+my+60和（m2）x+3y+2m0互相平行，则实数m的取值为（ ） A1或3 B1 C3 D1或3 3（5分）若直线与直线x+y30相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A（00，600） B（300，600） C（300，900） D（600，900） 4（5分）已知函数f（x），则f（1）f（）+f（f（）（ ） A B C D 5（5
2、分）已知函数f（x），x（0，+），则f（x）的零点所在的区间是（ ） A（0，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4） 6（5分）设x，y满足约束条件，则zx2+y2的最小值与最大值分别为（ ） A， B2， C4，34 D2，34 7（5分）已知圆C与直线2xy+50及2xy50都相切，圆心在直线x+y0上，则圆C的方程为（ ） A（x+1）2+（y1）25 Bx2+y25 C（x1）2+（y1）2 Dx2+y2 8（5分）某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（ ） A B C D 9（5分）设x，y满足约束条件，且目标函数zax+y仅在点（4，1）处取得最大值，则原
3、点O到直线axy+170的距离d的取值范围是（ ） A（4，17 B（0，4） C（，17 D（0，） 10（5分）已知函数，若方程f（x）a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则的取值范围为（ ） A（1，+） B（1，1 C（，1） D1，1） 11（5分）如图，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A B3 C D2 12（5分）已知函数，若对任意x11，2，总存在x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（ ） Aa7
4、Ba6 Ca3 Da2 二、填空题 13（5分）如果实数x，y满足条件那么2xy的最大值为 14（5分）经过点P（3，1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是 15（5分）对于函数f（x）和g（x），设xR|f（x）0，xR|g（x）0，若存在，使得|1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”若函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为 16（5分）已知a0，bR，当x0时，关于x的不等式（ax1）（x2+bx4）0恒成立，则b+的最小值是 三、解答题 17（10分）已知集合Ax|1，xR，Bx|x22xm0 （）当m3
5、时，求；A（RB）； （）若ABx|1x4，求实数m的值 18（12分）直线L过定点P0（4，1），交x、y正半轴于A、B两点，其中O为坐标原点 （）当L的倾斜角为时，ABO斜边AB的中点为D，求|OD|； （）记直线L在x、y轴上的截距分别为a，b，其中a0，b0，求a+b的最小值 19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 （）证明：PB平面AEC； （）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离 20（12分）在ABC中，已知A（0，3），B（4，0），直线l经过点C （）若直线l：8x6y70与线段AB交于点D，且D
6、为ABC的外心，求ABC的外接圆的方程； （）若直线l方程为x+3y+60，且ABC的面积为10，求点C的坐标 21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 （1）证明：AE平面PCD； （2）求二面角APDC的正弦值 22（12分）如图，已知圆O的圆心在坐标原点，点M是圆O上的一点 （）求圆O的方程； （）若过点P（0，1）的动直线l与圆O相交于A，B两点在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 2018-2019学年江西省景德镇一中16班高一（上
7、）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1（5分）已知全集UxN|0x6，集合A4，5，6，则UA（ ） A1，2，3，4 B0，1，2，3 Cx|0x3 D1，2，3 【分析】首先确定全集，而后由补集定义可得结果 【解答】解：UxN|0x60，1，2，3，4，5，6， UA0，1，2，3 故选：B 【点评】本题考查了集合的补集，熟练掌握补集的定义是解决本题的关键 2（5分）已知直线x+my+60和（m2）x+3y+2m0互相平行，则实数m的取值为（ ） A1或3 B1 C3 D1或3 【分析】两条直线x+my+60和（m2）x+3y+2m0互相平行，m（m2）30，解得m经过验证即可
8、得出 【解答】解：两条直线x+my+60和（m2）x+3y+2m0互相平行， m（m2）30，解得m1，3 经过验证，m3时，两条直线相互重合，舍去 m1， 故选：B 【点评】本题考查了直线相互平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3（5分）若直线与直线x+y30相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A（00，600） B（300，600） C（300，900） D（600，900） 【分析】求出直线的交点坐标，利用交点位于第一象限，求解k的范围，然后求解直线l的倾斜角的取值范围 【解答】解：联立两直线方程， 解得：x，y， 两直线的交点坐标为（，）
9、， 两直线的交点在第一象限， ， 解得：k， 设直线l的倾斜角为，则tan， （30，90） 故选：C 【点评】本题考查根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是中档题 4（5分）已知函数f（x），则f（1）f（）+f（f（）（ ） A B C D 【分析】推导出f（1）31，f（）3，f（），f（f（）f（），由此能求出f（1）f（）+f（f（）的值 【解答】解：函数f（x）， f（1）31， f（）3， f（）， f（f（）f（）， f（1）f（）+f（f（） + 故选：A 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力
10、，是基础题 5（5分）已知函数f（x），x（0，+），则f（x）的零点所在的区间是（ ） A（0，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4） 【分析】首先判断函数f（x），是定义域上的减函数，再利用函数的零点判断定理判断即可 【解答】解：易知函数f（x），是定义域上的减函数， f（2）10； f（3）1log230； f（2）f（3）0 故函数f（x），的零点所在区间为（2，3） 故选：C 【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基本知识的考查 6（5分）设x，y满足约束条件，则zx2+y2的最小值与最大值分别为（ ） A， B2， C4，34 D2，34 【分析】画出约束条件表示的可行域
11、，通过表达式的几何意义，判断最大值与最小值时的位置求出最值即可 【解答】解：由x，y满足约束条件，表示的可行域如图， 由，解得A（5，3） x2+y2的几何意义是点P（x，y）到坐标原点的距离的平方， 所以x2+y2的最大值为AO225+934， x2+y2的最小值为：原点到直线xy20的距离PO22 故选：D 【点评】本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力 7（5分）已知圆C与直线2xy+50及2xy50都相切，圆心在直线x+y0上，则圆C的方程为（ ） A（x+1）2+（y1）25 Bx2+y25 C（x1）2+（y1）2 Dx2+y2 【分析】先求得圆的
12、半径，设出圆心坐标为P（a，a），根据点P到两条切线的距离都等于半径，求得a的值，可得圆的标准方程 【解答】解：因为两条直线2xy+50与2xy50平行，故它们之间的距离为圆的直径，即2r2，所以r 设圆心坐标为P（a，a），则满足点P到两条切线的距离都等于半径，所以，解得a0， 故圆心为（0，0），所以圆的标准方程为x2+y25， 故选：B 【点评】本题主要考查两条平行线之间的距离公式，点到直线的距离，求圆的标准方程，属于基础题 8（5分）某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（ ） A B C D 【分析】三视图复原几何体为四棱锥，根据三视图数据求出底面面积，和高，即可求体积
13、 【解答】解：三视图复原几何体为四棱锥，如图： 它的高为2，底面是直角梯形，长底边为4，上底为2，高为3，棱锥的高垂直底面梯形的高的中点， 所以几何体的体积为：（cm3） 故选：C 【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键 9（5分）设x，y满足约束条件，且目标函数zax+y仅在点（4，1）处取得最大值，则原点O到直线axy+170的距离d的取值范围是（ ） A（4，17 B（0，4） C（，17 D（0，） 【分析】作出可行域，由目标函数zax+y仅在点（4，1）取最大值，分a0，a0，a0三种情况分类讨论经，能求出实数a的取值范围然后求
14、解O到直线的距离的表达式，求解最值即可 【解答】解：约束条件作出可行域，如右图可行域， 目标函数zax+y仅在点A（4，1）取最大值， 当a0时，zy仅在y1上取最大值，不成立； 当a0时，目标函数zax+y的斜率ka0， 目标函数在（4，1）取不到最大值 当a0时，目标函数zax+y的斜率ka，小于直线x+4y80的斜率，a 综上，a 原点O到直线axy+170的距离d4 则原点O到直线axy+170的距离d的取值范围是：（0，4） 故选：B 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线性规划知识的合理运用 10（5分）已知函数，若方程f（x）a有四个不同的解x1
15、，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则的取值范围为（ ） A（1，+） B（1，1 C（，1） D1，1） 【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x1对称，x3x41；化简条件，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：作函数f（x）的图象如右， 方程f（x）a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4， x1，x2关于x1对称，即x1+x22， 0x31x4， 则|log2x3|log2x4|， 即log2x3log2x4， 则log2x3+log2x40 即log2x3x40 则x3x41； 当|log2x|1得x2或， 则1x42；x31； 故2x3+，x31； 则函
16、数y2x3+，在x31上为减函数， 则故x3取得最大值，为y1， 当x31时，函数值为1 即函数取值范围是（1，1 故选：B 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键 11（5分）如图，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A B3 C D2 【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积 【解答】解：由题意，四面体ABCD顶点在同一个球面上，BCD和ABC都是直角三角形， 所以BC的中点就
17、是球心，所以BC，球的半径为：， 所以球的表面积为：3 故选：B 【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力 12（5分）已知函数，若对任意x11，2，总存在x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（ ） Aa7 Ba6 Ca3 Da2 【分析】问题转化为f（x）ming（x）min，只需分别求出f（x）在1，2上的最小值，g（x）在2，3上的最小值，然后代入即可 【解答】解：当x1，2时，f（x）x2+3， f（x）2x x1，）时，f（x）0，x（，2时，f（x）0； 所以f（x）在1，）上是减函数，
18、在（，2上是增函数， 所以f（x）的最小值为：1，最大值为2， 所以f（x）在1，2上的值域为1，2， 当x2，3时，g（x）2x+a为增函数， 所以g（x）的值域为：g（2），g（3），即为：4+a，8+a； 因为“对任意x11，2，总存在x22，3，使得f（x1）g（x2），” 等价于f（x）ming（x）min 14+a，解得a3， 故选：C 【点评】本题考查了不等式有解、恒成立问题属难题 二、填空题 13（5分）如果实数x，y满足条件那么2xy的最大值为 1 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即
19、可 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 当直线2xyt过点A（0，1）时， t最大是1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 14（5分）经过点P（3，1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是 x+2y10或x+3y0 【分析】设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a0时，b0，当a0时，a2b，由此利用题设条件能求出直线l的方程 【解答】解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b， 当a0时，b0， 此时直线l过点P（3，1），O（0，0）， 直线l的方程为：，整理，得x+3y0； 当a0时，a
20、2b， 此时直线l的斜率k， 直线l的方程为：y+1（x3）， 整理，得x+2y10 故答案为：x+2y10或x+3y0 【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不要丢解 15（5分）对于函数f（x）和g（x），设xR|f（x）0，xR|g（x）0，若存在，使得|1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”若函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为 2，3 【分析】先得出函数f（x）ex1+x2的零点为x1再设g（x）x2axa+3的零点为，根据函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+3互为“零点关联函数”，及新
21、定义的零点关联函数，有|1|1，从而得出g（x）x2axa+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可 【解答】解：函数f（x）ex1+x2的零点为x1 设g（x）x2axa+3的零点为， 若函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+3互为“零点关联函数”， 根据零点关联函数，则|1|1， 02，如图 由于g（x）x2axa+3必过点A（1，4）， 故要使其零点在区间0，2上，则 ， 即 解得2a3， 故答案为：2，3 【点评】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用 16（5分）已知
22、a0，bR，当x0时，关于x的不等式（ax1）（x2+bx4）0恒成立，则b+的最小值是 4 【分析】根据题意，f（x）ax1，g（x）x2+bx4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f（x）0，在（，+）上，f（x）0，进而分析g（）+40，变形可得b4a，据此可得b+（4a）+4a+，由基本不等式的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，对于（ax1）（x2+bx4）0， 设f（x）ax1，g（x）x2+bx4， 对于f（x）ax1，a0，在（0，）上，f（x）0，在（，+）上，f（x）0， 又由不等式（ax1）（x2+bx4）0或， 对于g（x）x2+bx4，必有g（）+40，即b4
23、a， 则b+（4a）+4a+， 又由a0，则b+4a+24， 当且仅当a时等号成立， 即b+的最小值为4； 故答案为：4 【点评】本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题 三、解答题 17（10分）已知集合Ax|1，xR，Bx|x22xm0 （）当m3时，求；A（RB）； （）若ABx|1x4，求实数m的值 【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合B； （2）解分式不等式求得集合Q，根据AB（1，4），A（1，5）得4是方程x22xm0的一个根，求得m8，再验证是否满足条件 【解答】解：（1）当m3时，由x22x301x3， RBx1或x3， 由11x5， A（RB）x|3
24、x5； （2）若ABx|1x5， A（1，5）， 4是方程x22xm0的一个根， m8， 此时B（2，4），满足AB（1，4） m8 【点评】本题考查了分式不等式与一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，体现了数形结合思想 18（12分）直线L过定点P0（4，1），交x、y正半轴于A、B两点，其中O为坐标原点 （）当L的倾斜角为时，ABO斜边AB的中点为D，求|OD|； （）记直线L在x、y轴上的截距分别为a，b，其中a0，b0，求a+b的最小值 【分析】（）由题意可得直线l的方程，即可求出|OD|， （）设l：+1，（a0，b0），则l：+1，再根据基本不等式即可求出 【解答】解：（）l
25、：y1（x4），令y0，A（5，0）， 令x0，B（0，5）， |OD|AB|， （）设l：+1，（a0，b0），则l：+1，（a，b0）， a+b（a+b）（+）5+5+29， 当a6，b3时，a+b的最小值9 【点评】本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 （）证明：PB平面AEC； （）设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离 【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面A
26、EC； （）通过AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求出AB，作AHPB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离通过解三角形求解即可 【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO， ABCD是矩形， O为BD的中点 E为PD的中点， EOPB EO平面AEC，PB平面AEC PB平面AEC； （）AP1，AD，三棱锥PABD的体积V， V， AB，PB 作AHPB交PB于H， 由题意可知BC平面PAB， BCAH， 故AH平面PBC 又在三角形PAB中，由射影定理可得： A到平面PBC的距离 【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力
27、20（12分）在ABC中，已知A（0，3），B（4，0），直线l经过点C （）若直线l：8x6y70与线段AB交于点D，且D为ABC的外心，求ABC的外接圆的方程； （）若直线l方程为x+3y+60，且ABC的面积为10，求点C的坐标 【分析】（）由已知求得直线AB的方程，联立两直线方程解得D的坐标，结合|AB|5求得ABC的外接圆的半径，则ABC的外接圆的方程可求； （）设点C的坐标为（a，b），由已知得，|AB|5，AB所在直线方程3x+4y120，由C到直线AB的距离可得a，b的关系式，再由点C满足方程x+3y+60得a，b的另一关系式，联立求得点C的坐标 【解答】解：（）由已知得，直线
28、AB的方程为， 即3x+4y120， 联立方程组得：，解得， 又|AB|5，ABC的外接圆的半径为， ABC的外接圆的方程为； （）设点C的坐标为（a，b），由已知得，|AB|5，AB所在直线方程3x+4y120， C到直线AB的距离， 又点C的坐标为（a，b）满足方程x+3y+60，即a+3b+60， 联立解得：或， 点C的坐标为（0，2）或（24，10） 【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题 21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 （1）证明：AE
29、平面PCD； （2）求二面角APDC的正弦值 【分析】（1）由PA底面ABCD，可得 CDPA，又CDAC，故CD面PAC，从而证得CDAE证明AEPD，再由 ABPD 可得 PD面ABE （2）过点A作AFPD，由（1）知，AE面PCD，故AFE是二面角APDC的一个平面角，用面积法求得AE 和AF，由 sinAFE求得结果 【解答】（1）证明：在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA由条件CDAC，PAACA， CD平面PAC 又AE平面PAC，AECD 由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中点，AEPC又PCCDC， 综上得AE平面PCD
30、 （2）解：过点A作AFPD，垂足为F，连接EF 由（1）知，AE面PCD，故AFE是二面角APDC的一个平面角 设ACa，则AEa， 从而AFaADa，PDa， 从而AFa， 故 sinAFE 【点评】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，找出二面角APDC的平面角是解题的难点，属于中档题 22（12分）如图，已知圆O的圆心在坐标原点，点M是圆O上的一点 （）求圆O的方程； （）若过点P（0，1）的动直线l与圆O相交于A，B两点在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（）由圆的定义可得圆的半径r，可得圆的方程；
31、（）讨论直线的斜率为0和不存在，求得定点Q的坐标，验证直线的斜率不为0也成立，设出直线方程，联立圆的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合角平分线性质定理即可判断 【解答】解：（）点M是圆O上的一点，可得圆O的半径为2， 则圆O的方程为x2+y24； （）若直线l的斜率为0，可得直线方程为y1，A（，1），B（，1）， 由|PA|PB|，可得|QA|QB|，即Q在y轴上，设Q（0，m）， 若过点P（0，1）的动直线l的斜率不存在，设直线方程为x0， 则A（0，2），B（0，2），由可得 |，解得m1或4，由Q与P不重合，可得Q（0，4）， 下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点，也满足成立 若
32、直线的斜率存在且不为0，可设直线方程为ykx+1， 联立圆x2+y24，可得（1+k2）x2+2kx30， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得x1+x2，x1x2， 由kQA+kQB+ 2k3（+）2k32k30， 可得QA和QB关于y轴对称，即成立 综上可得，存在定点Q，点Q的坐标为（0，4） 【点评】本题考查圆的方程求法和运用，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:04:44；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第23页（共23页）
