2018-2019学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

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1、2018-2019学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷一、选择题:本题共12小題,每小题5分,共60分在毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)若直线l过两点A(1,2),B(3,6),则l的斜率为()ABC2D22(5分)将一个总体分为甲、乙、丙三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,则应从丙层中抽取的个体数为()A20B40C60D1003(5分)在ABC中,若a3,sinA,sinB,则b等于()A3B4C5D64(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,与棱AA1异面的棱有()A8条B6条C4条D2条5(5分)若直线x+3y+10

2、与直线2x+(a+1)y+10互相平行,则a的值为()A4BC5D6(5分)已知x1,2,3,4,y1,2,3,则点P(x,y)在直线x+y5上的概率为()ABCD7(5分)甲、乙两人在相同条件下,射击5次,命中环数如下:甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计()A甲比乙的射击技术稳定B乙比甲的射击技术稳定C两人没有区别D两人区别不大8(5分)若P(3,1)为圆x2+y22x240的弦AB的中点,则直线AB的方程是()Ax+2y50Bxy20C2xy50D2x+y709(5分)圆心为C(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x6y+40相外切,则圆C的

3、方程为()Ax2+y24x0Bx2+y24x+20Cx2+y2+4x+20Dx2+y2+4x010(5分)将两个长、宽、高分别为5,4,3的长方体垒在一起,使其中两个面完全重合,组成一个大长方体,则大长方体的外接球表面积的最大值为()A150B125C98D7711(5分)直线xy+20被圆x2+y24截得的劣弧与优弧的长之比是()A1:5B1:6C1:3D1:412(5分)已知直线l1:mxy3m+10与l2:x+my3m10相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)24的一条动弦,且AB2,则|的最小值是()A2B4C22D42二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(

4、5分)空间一点A(1,2,3)到坐标原点的距离是   14(5分)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查,则月收入在2500,3000)(元)内应抽出   人15(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,有以下结论:BD平面CB1D1;AD平面CB1D1;AC1BD;异面直线AD与CB1所成的角为60则其中正确结论的序号是   (写出所有正确结论的序号)16(5分)已知正三角形ABC的边长是2,点P为AB边上的高所在直线上的任意一点

5、,Q为射线AP上一点,且1,则|的取值范围是   三、解答题:本题共6小题,共70分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)求经过点(1,2)且分别满足下列条件的直线的一般式方程(1)倾斜角为45;(2)在y轴上的截距为5;(3)在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为418(10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分别是B1C1,AB,AA1的中点(1)求证:EF平面A1BD;(2)若A1B1A1C1,求证:平面A1BD平面BB1C1C19(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosA+acosB2ccosC(1)求角C的大小;(2)

6、若b3a,且ABC的面积为,求边c的长20(12分)在平面直角坐标系中,已知点C(x,y)与两个定点A(0,0),B(4,0)的距离之比为(1)求点C的坐标所满足的关系式;(2)求ABC面积的最大值;(3)若3x+4y+m0恒成立,求实数m的取值范围21(12分)现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6m,PO12m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少?22(1

7、4分)在平面直角坐标系xOy中,直线xy+10截以坐标原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于点D,E,当DE2时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP,NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由2018-2019学年江苏省徐州市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小題,每小题5分,共60分在毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)若直线l过两点A(1,2),B(3,6),则l的斜率为()AB

8、C2D2【分析】由题意利用直线的斜率公式,求得直线的斜率【解答】解:由斜率公式可得,经过两点A(1,2),B(3,6)的直线l的斜率为 2,故选:C【点评】本题主要考查直线的斜率公式,属于基础题2(5分)将一个总体分为甲、乙、丙三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,则应从丙层中抽取的个体数为()A20B40C60D100【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法,求出应从丙层中抽取的个体数【解答】解:甲、乙、丙三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,则应从丙层中抽取的个体数为20040,故选:B【点评】本题主要考查分层抽样的定义

9、和方法,属于基础题3(5分)在ABC中,若a3,sinA,sinB,则b等于()A3B4C5D6【分析】根据正弦定理可得【解答】解:由正弦定理得:,得b6故选:D【点评】本题考查了正弦定理,属基础题4(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,与棱AA1异面的棱有()A8条B6条C4条D2条【分析】判断异面直线的方法:过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线,由此判断出正方体中与棱AA1异面的直线【解答】解:如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,与棱AA1异面的棱有:BC,CD,C1D1,B1C1故选:C【点评】本题考查了判断两条直线是否为异面的应用问题,是基础题5(5

10、分)若直线x+3y+10与直线2x+(a+1)y+10互相平行,则a的值为()A4BC5D【分析】由题意利用两条直线平行的性质可得,由此求得a的值【解答】解:直线x+3y+10与直线2x+(a+1)y+10互相平行,求得a5,故选:C【点评】本题主要考查两条直线平行的性质,属于基础题6(5分)已知x1,2,3,4,y1,2,3,则点P(x,y)在直线x+y5上的概率为()ABCD【分析】将所有的基本事件列举出来,数出所有基本事件的个数和事件“点P在直线x+y5上”包含的基本事件个数,代入公式即可【解答】解:所有的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),

11、(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)共有12个,设事件A表示“点P在直线x+y5上”,则A包含(2,3),(3,2),(4,1)三个基本事件,所以P(A)故选:B【点评】本题考查了古典概型的概率求法,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用7(5分)甲、乙两人在相同条件下,射击5次,命中环数如下:甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计()A甲比乙的射击技术稳定B乙比甲的射击技术稳定C两人没有区别D两人区别不大【分析】分别求出甲、乙两人的平均数、方差,由此能求出结果【解答】解:甲的平均数为:(9.8+9.9+10.1

12、+10+10.2)10,甲的方差为:(9.810)2+(9.910)2+(10.110)2+(1010)2+(10.210)20.02,乙的平均数为:(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)10,乙的方差为:(9.410)2+(10.310)2+(10.810)2+(9.710)2+(9.810)20.244,甲比乙的射击技术稳定故选:A【点评】本题考查命题真假的判断,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题8(5分)若P(3,1)为圆x2+y22x240的弦AB的中点,则直线AB的方程是()Ax+2y50Bxy20C2xy50D2x+y70【分析】求出圆的圆心和半径,由弦

13、的性质可得CPAB,求出CP的斜率,可得AB的斜率,由点斜式求得直线AB的方程【解答】解:圆x2+y22x240即(x1)2+y225,表示以C(1,0)为圆心,以5为半径的圆由于P(3,1)为圆x2+y22x240的弦AB的中点,故有CPAB,CP的斜率为,故AB的斜率为2,由点斜式求得直线AB的方程为y12(x3),即:2x+y70,故选:D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,两直线垂直的性质,用点斜式求直线方程,求出AB的斜率为2是解题的关键,是基础题9(5分)圆心为C(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x6y+40相外切,则圆C的方程为()Ax2+y24x0Bx2+y24x+20Cx

14、2+y2+4x+20Dx2+y2+4x0【分析】根据两圆关系求出圆C的半径,从而得出圆C的方程【解答】解:圆x2+y2+4x6y+40的圆心为M(2,3),半径为r3,CM5,圆C的半径为532,圆C的标准方程为:(x2)2+y24,即x2+y24x0故选:A【点评】本题考查了圆与圆的位置关系,属于中档题10(5分)将两个长、宽、高分别为5,4,3的长方体垒在一起,使其中两个面完全重合,组成一个大长方体,则大长方体的外接球表面积的最大值为()A150B125C98D77【分析】把两个完全相同的长方体重叠在一起组成一个新的长方体,可能有三种情形:分别是长、宽、高各加长原来的两倍,再分别计算出三种

15、情况的体对角线后比较大小,然后利用球的表面积公式求解【解答】解:两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况,分别计算三种情况的体对角线为、或、或最长对角线的长为5,即大长方体的外接球的最大半径为,则大长方体的外接球表面积的最大值为故选:B【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算,考查空间想象能力和推理论证能力,属于基础题11(5分)直线xy+20被圆x2+y24截得的劣弧与优弧的长之比是()A1:5B1:6C1:3D1:4【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d,求出劣弧所对的圆心角的大小,化弧长比为角度比得答案【解答】解:过O作OCAB,垂足为点C,由圆的方程x2+y24

16、,得到圆心O的坐标为(0,0),半径r2,圆心到直线xy+20的距离d|OC|,BOC,即AOB,直线被圆截的劣弧与优弧的长之比是1:5故选:A【点评】本题考查了直线与圆相交的性质,以及圆的弧长公式的应用,根据条件求出劣弧所对的圆心角的大小是解决本题的关键,是中档题12(5分)已知直线l1:mxy3m+10与l2:x+my3m10相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)24的一条动弦,且AB2,则|的最小值是()A2B4C22D42【分析】由已知得到l1l2,l1过定点(3,1),l2过定点(1,3),从而得到点P轨迹为圆(x2)2+(y2)22,设圆心为M,半径为r2,作垂直线段

17、CDAB,求得CD1,设圆C的半径为r1,求得的最小值,再由|2|得答案【解答】解:设圆C的半径为r1,直线l1:mxy3m+10与l2:x+my3m10垂直,又l1过定点(3,1),l2过定点(1,3),P轨迹为圆(x2)2+(y2)22,设圆心为M,半径为r2,作垂直线段CDAB,CD1,|CM|r1r231,则|2|2|,|的最小值为42故选:D【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质,考查向量模的最值的求法,理解题意是关键,是中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)空间一点A(1,2,3)到坐标原点的距离是【分析】根据空间两点间的距离公式,计算即可【解答】解:空

18、间点A(1,2,3)到坐标原点的距离是|OA|故答案为:【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式应用问题,是基础题14(5分)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查,则月收入在2500,3000)(元)内应抽出25人【分析】直方图中小矩形的面积表示频率,先计算出2500,3000)内的频率,再计算所需抽取人数即可【解答】解:由直方图可得2500,3000)(元)月收入段共有100000.00055002500人按分层抽样应抽出250025人故答案为:25【点评】本题考查

19、频率分布直方图与分层抽样的规则,解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率,再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数15(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,有以下结论:BD平面CB1D1;AD平面CB1D1;AC1BD;异面直线AD与CB1所成的角为60则其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号)【分析】利用直线与平面平移以及垂直的关系,结合异面直线所成角判断命题的真假即可【解答】解:在正方体ABCDA1B1C1D1中,BDB1D1,B1D1平面CB1D1;BD平面CB1D1;所以BD平面CB1D1;正确;AD平面CB1D1;ADA1D1,所以AD平面CB1D1;不

20、正确;AC1在底面ABCD上的射影AC,BDAC;所以AC1BD;正确;异面直线AD与CB1所成的角为45,所以异面直线AD与CB1所成的角为60不正确;故答案为:【点评】本题考查空间直线与直线,直线与平面平面与平面的位置关系的判断,是基本知识的考查16(5分)已知正三角形ABC的边长是2,点P为AB边上的高所在直线上的任意一点,Q为射线AP上一点,且1,则|的取值范围是,【分析】以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,AB的垂线为y轴,建立直角坐标系,求得A,C的坐标,设出P,Q的坐标,运用向量数量积的坐标表示和性质,向量的平方即为模的平方,化简整理,运用判别式法,解不等式可得模的取值范

21、围【解答】解:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,AB的垂线为y轴,建立直角坐标系Oxy,如图所示;则A(1,0),C(0,),设P(0,t),可得(1,t),设n,可得Q(n1,nt),由1,可得n(1+t2)1,即n,则(n1)2+(nt)2(1)2+()24,由y,可得yt22t+y10,当y0时,t成立;当y0时,124y(y1)0,解得y,则444,即4,所以|的取值范围是,故答案为:,【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和运算问题,也考查了函数最值的求法与应用问题,注意运用判别式法,是中档题三、解答题:本题共6小题,共70分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17(10

22、分)求经过点(1,2)且分别满足下列条件的直线的一般式方程(1)倾斜角为45;(2)在y轴上的截距为5;(3)在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4【分析】(1)由直线倾斜角求得斜率,写出直线方程的点斜式,化为一般式即可;(2)由两点坐标求得斜率,写出直线方程的点斜式,再化为一般式;(3)设直线的斜率为k(k0),则直线方程为y2k(x+1),分别求出直线在两坐标轴上的截距,代入三角形面积公式,求解k,则答案可求【解答】解:(1)由倾斜角为45,得直线的斜率k1,得点斜式方程为y2x+1,即xy+30;(2)直线在y轴上的截距为5,即直线过点(0,5),则斜率k,点斜式方程为y23(x+1),

23、即3xy+50;(3)设直线的斜率为k(k0),则直线方程为y2k(x+1),取x0,得yk+2,取y0,得x则S,解得k2点斜式方程为y22(x+1),即2xy+40【点评】本题考查直线方程的求法,训练了点斜式与一般式的互化,是基础题18(10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分别是B1C1,AB,AA1的中点(1)求证:EF平面A1BD;(2)若A1B1A1C1,求证:平面A1BD平面BB1C1C【分析】(1)由E,F分别是AB,AA1的中点,得EFA1B,由此能证明EF平面A1BD(2)推导出A1DB1C1,A1DBB1,从而A1D平面BB1C1C,由此能证明平面A1B

24、D平面BB1C1C【解答】证明:(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别是AB,AA1的中点EFA1B,EF平面A1BD,A1B平面A1BD,EF平面A1BD;(2)A1B1A1C1,D是B1C1的中点A1DB1C1,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面A1B1C1,A1DBB1,B1C1BB1B1,A1D平面BB1C1CA1D平面A1BD,平面A1BD平面BB1C1C【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题19(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosA+a

25、cosB2ccosC(1)求角C的大小;(2)若b3a,且ABC的面积为,求边c的长【分析】(1)由已知及正弦定理可得:sinBcosA+sinAcosB2sinCcosC,化简可得cosC,从而可求C的值;(2)由已知利用三角形的面积公式可得ab9,结合已知可解得a,b的值,从而由余弦定理可解得c的值【解答】解:(1)由bcosA+acosB2ccosC,及正弦定理可得:sinBcosA+sinAcosB2sinCcosC,即sin(A+B)2sinCcosC,由A,B,C是三角形内角,可知sin(A+B)sinC0,可得:cosC,故可得C(2)由ABC的面积可得:absinCab,解得:

26、ab9,b3a,解得a,b3,由余弦定理可得:c2a2+b22abcosC3+272321,c【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题20(12分)在平面直角坐标系中,已知点C(x,y)与两个定点A(0,0),B(4,0)的距离之比为(1)求点C的坐标所满足的关系式;(2)求ABC面积的最大值;(3)若3x+4y+m0恒成立,求实数m的取值范围【分析】(1)运用两点的距离公式,化简整理可得C的轨迹方程;(2)由圆的性质,以及三角形的面积公式可得所求最大值;(3)由题意可得m3x+4y的最小值,运用圆的参数方程,以及辅助角公

27、式和正弦函数的值域,可得所求最小值,即可得到所求范围【解答】解:(1)点C(x,y)与两个定点A(0,0),B(4,0)的距离之比为,可得|AC|CB|,即为,化简可得x2+y2+x20,即为(x+)2+y2,即有C的轨迹方程为(x+)2+y2,为圆心(,0),半径为的圆;(2)ABC面积的最大值为43;(3)3x+4y+m0恒成立,即为m3x+4y的最小值,由(1)可设x+cos,ysin,则3x+4y+cos+6sin+sin(+),当+2k,kZ时,sin(+)取得最小值1,即3x+4y的最小值为9,可得m9,即m9【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查圆方程的运用,以及换元法和三角函数的

28、恒等变换,考查运算能力,属于中档题21(12分)现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6m,PO12m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当PO1为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少?【分析】(1)由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,可得PO12m时,O1O8m,进而可得仓库的容积;(2)设PO1xm,则O1O4xm,O1O4xm,A1O1m,A1B1m,求出侧面积的表达式,利用基本不等式可得

29、最大值【解答】解:(1)PO12m,正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍O1O8m,答:仓库的容积V622+628312m3,(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,设PO1xm,则O1O4xm,A1O1m,A1B1m,正四棱柱侧面积S44x(0x6),S,当且仅当x,即x时,答:当PO1m时,正四棱柱侧面积最大,最大为【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积和利用基本不等式求最大值,属中档题22(14分)在平面直角坐标系xOy中,直线xy+10截以坐标原点O为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于点D,E,当DE2时,求直线l的方程;(3)

30、设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP,NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由【分析】(1)根据点到直线的距离以及勾股定理可得;(2)设出直线l的截距式,根据圆心到直线的距离等于半径列数可解得;(3)设出M,P的坐标,推出N的坐标,可得直线MP和NP的方程求出m,n,再相乘变形可得【解答】解:(1)圆心O到直线xy+10的距离d,2,2,r22,所以圆O的方程为x2+y22(2)设直线l的方程为:+1,(a0,b0),依题意可列方程组:,解得ab2,所以直线l的方程为x+y20(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,y1),x12+y122,x22+y222,直线MP与x轴交点为(,0),即m,直线NP与x轴交点为(,0),即n,所以mn2,故mn2为定值【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题

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