1、2018-2019学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）直线xy+10的倾斜角为（）A45B30C45D1352（5分）已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为（）ABC2D33（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为（）ABCD或4（5分）已知直线x+ay+40与直线ax+4y30互相平行，则实数a的值为（）A2B2C2D05（5分）在ABC中，若sin2B+sin2Csin2A，则此三角形为（）三角形A等腰B直角C等腰直
2、角D等腰或直角6（5分）若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（）倍AB2CD37（5分）若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未被击毁的概率为（）A0.8B0.6C0.5D0.48（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）AB2CD9（5分）某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：）之间有如下数据：x/21012y/百元54221对上述数据进行分析发现，y与x之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（）参考公式：ABCD10（5分）已知l，m，n表示三条不同的
3、直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若，l，ml，则mD若m，n，则mn11（5分）在ABC中，已知，则角A的取值范围为（）ABCD12（5分）米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设M，N是锐角ABC的一边BA上的两定点，点P是边BC边上的一动点，则当且仅当PMN的外接圆与边BC相切时，MPN最大若M（0，1），N（2，3），点P在x轴上，则当MPN最大时，点P的坐标为（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共
4、20分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）13（5分）空间两点M（1，2，4），N（1，1，2）间的距离MN为 14（5分）某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为 15（5分）自点A（2，4）作圆x2+y22x6y+90的切线l，则切线l的方程为 16（5分）在ABC中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，若A30，则ABC的面积等于 三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
5、）17（10分）某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表：分组0，30）30，60）60，90）90，120）120，150频数5713105（1）试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；（2）成绩在120，150的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率18（12分）如图，在三棱锥ABCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，ABAD，AEBC求证：（1）EF平面ACD；（2）AECD19（12分）如图，在平面四边形ABCD中，
6、ACD的面积为（1）求AC的长；（2）若ABAD，求BC的长20（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y2）21（1）若圆E的半径为2，圆E与x轴相切且与圆C外切，求圆E的标准方程；（2）若过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点，且OAAB，求直线l的方程21（12分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，边BC的中点为D，BCCC12（1）求三棱锥CAC1D的体积；（2）点E在线段B1C1上，且A1E平面AC1D，求的值22（12分）如图，矩形ABCD的四条边所在直线AB，CD，BC，AD的横截距分别为2，0，1，5，点M为线段BD的中点（1）求证：直线BD恒过定点S；
7、（2）若点M在圆x2+y22x+F0上，求实数F的值；（3）点R在直线3x4y+140上，且MS+3MR9，求点R的坐标2018-2019学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）直线xy+10的倾斜角为（）A45B30C45D135【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数【解答】解：由直线xy+10变形得：yx+1所以
8、该直线的斜率k1，设直线的倾斜角为，即tan1，0，180），45故选：C【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围2（5分）已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为（）ABC2D3【分析】先求平均数，再求方差【解答】解：一组数据1，3，2，5，4，这组数据的平均数为：（1+3+2+5+4）3，这组数据的方差为：S2（13）2+（33）2+（23）2+（53）2+（43）22故选：C【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）如图，正方体ABCD
9、A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为（）ABCD或【分析】连结A1C1，A1B，则ACA1C1，A1C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC与BC1所成角的大小【解答】解：连结A1C1，A1B，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACA1C1，A1C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角），A1BBC1A1C1，A1C1B，异面直线AC与BC1所成角的大小是故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4（5分）已知直线x+ay+40与直线ax+4y30互相平行，则实数a的值
10、为（）A2B2C2D0【分析】由题意利用两条直线平行的性质，可得 a0，且，由此求得a的值【解答】解：直线x+ay+40与直线ax+4y30互相平行，a0，且，求得 a2，故选：A【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题5（5分）在ABC中，若sin2B+sin2Csin2A，则此三角形为（）三角形A等腰B直角C等腰直角D等腰或直角【分析】由已知利用正弦定理可得：b2+c2a2，即可判断三角形为直角三角形【解答】解：sin2B+sin2Csin2A，由正弦定理，可得：（）2+（）2（）2，可得：b2+c2a2，此三角形为直角三角形故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应
11、用，考查了转化思想，属于基础题6（5分）若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（）倍AB2CD3【分析】利用三个球的体积之比等于半径比的立方，即可得出答案【解答】解：因为半径之比是1：2：3，由球的体积可知，三球体积之比为1：8：27可知半径最大的球的体积是其余两球的3倍，故选：D【点评】本题考查学生对于球的体积公式的使用，相似比公式的应用，是基础题7（5分）若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未被击毁的概率为（）A0.8B0.6C0.5D0.4【分析】利用对立事件的定义计算即可【解答】解：一架飞机向目标投
12、弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，P（目标未受损）0.4，P（目标受损）10.40.6，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P（目标受损）P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁），即：0.6P（目标受损但未完全击毁）+0.2，P（目标受损但未完全击毁）0.60.20.4故选：D【点评】由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解属于基础题8（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）AB2CD【分析】根据圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为60求出母线的长，把圆锥沿着母线PA剪开后再展开，得到一个以PA为半径，
13、以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形，则展开后扇形的面积即为圆锥的侧面积【解答】解：如图，O为圆锥底面圆的圆心，圆锥的底面半径OA1，母线PA与底面所成的角为PAO60，则PA2，该圆锥的侧面展开图为以PA为半径，以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形，如图，则展开后扇形的弧长l2OA2，所以，展开后扇形的面积为SlPA222即圆锥的侧面积为2故选：B【点评】本题考查了圆锥的侧面积的求法，圆锥的侧面积就是把圆锥沿着一条母线剪开后再展开得到的扇形面积，圆锥的母线是所得扇形的半径，圆锥的底面圆的周长是所得扇形的弧长，另外对于扇形面积公式的记忆可模仿三角形面积公式的记法，此题是中低档题9（5分）某小吃店的日盈利y
14、（单位：百元）与当天平均气温x（单位：）之间有如下数据：x/21012y/百元54221对上述数据进行分析发现，y与x之间具有线性相关关系，则线性回归方程为（）参考公式：ABCD【分析】由已知表格中的数据求得b与a的值，则线性回归方程可求【解答】解：，b，ay与x之间的线性回归方程为故选：B【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题10（5分）已知l，m，n表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若，l，ml，则mD若m，n，则mn【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定及性质逐一分析四个选项
15、得答案【解答】解：对于A，由mn，n，得m或m，故A错误；对于B，m，n，得mn或m与n异面，故B错误；对于C，由，l，ml，得m或m与相交，故C错误；对于D，由m，n，根据线面垂直的性质可得mn，故D正确故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题11（5分）在ABC中，已知，则角A的取值范围为（）ABCD【分析】利用正弦定理将转化为sinAsinB，然后根据B的范围求出sinA的范围，进一步得到A的范围【解答】解：，sinAsinB，sinB，sinA，在ABC中，A故选：D【点评】本题考查了正弦定理的应用和
16、三角函数求值，熟练掌握边化角是解题的关键，属基础题12（5分）米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设M，N是锐角ABC的一边BA上的两定点，点P是边BC边上的一动点，则当且仅当PMN的外接圆与边BC相切时，MPN最大若M（0，1），N（2，3），点P在x轴上，则当MPN最大时，点P的坐标为（）ABCD【分析】过M作BC的垂线，交BC于O，以O为原点，BC为x轴，OM为y轴，建立平面直角坐标系，推导出BOMO1，B（1，0），由切割线定理能求出点P的坐标【解答】解：过M作BC
17、的垂线，交BC于O，以O为原点，BC为x轴，OM为y轴，建立平面直角坐标系，M（0，1），N（2，3），点P在x轴上，MPN最大，BC与PMN的外接圆相切，切点为P，kMN1，BOMO1，B（1，0），由切割线定理得：BP2BMBN6BP，点P的坐标为（，0）故选：A【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）13（5分）空间两点M（1，2，4），N（1，1，2）间的距离MN为3【分析】直接利用距离公式求解即可【解答】解：空间两点M（1，2，4），N
18、（1，1，2）间的距离MN3故答案为：3【点评】本题考查空间两点间距离公式的应用，是基本知识的考查14（5分）某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为18【分析】先根据青年教师的样本数和青年教师的人数计算出抽样比，又知道老教师有90人，即可得到老教师的抽取人数【解答】解：依题意，抽样比为，所以抽取的样本中老年教师的人数为9018，故答案为：18【点评】本题考查了分层抽样抽样人数的计算，属于基础题15（5分）自点A（2，4）作圆x2+y22x6y+90的切线l，则切线l的方程为
19、y4或3x+4y100【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，设出圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得k，则答案可求【解答】解：化圆x2+y22x6y+90为（x1）2+（y3）21，则圆心坐标为（1，3），半径为1则过A（2，4）作圆的切线l的斜率存在，设切线方程为y4k（x+2），即kxy+2k+40由，解得k0或k切线l的方程为y4或3x+4y100故答案为：y4或3x+4y100【点评】本题考查圆的切线方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题16（5分）在ABC中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，若A30，则ABC的面积等于或【分析】由余弦定理有a2b
20、2+c22bccosA，得到关于c的一元二次方程，解出c后利用面积公式求解【解答】解：由余弦定理，有a2b2+c22bccosA，A30，712+c26c，c1或c5，当c1时，；当c5时，故答案为：或【点评】本题考查了余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是建立关于c的方程，属基础题三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表：分组0，30）30，60）60，90）90，120）120，150
21、频数5713105（1）试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；（2）成绩在120，150的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率【分析】（1）利用频率频数样本容量的关系估计该年级成绩不低于90分的学生人数即可；（2）列举所以的基本事件，利用古典概型公式可计算恰好选中一名男生一名女生的概率【解答】解：（1）估计该年级成绩不低于90分的学生人数为：；（2）分别记男生为1，2，3号，女生为4，5号，从中选出2名学生，有如下基本事件：（选出1，2号学生用（1，2）表示）（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，
22、5），（3，4），（3，5），（4，5）因此，共有10个基本事件，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有6个基本事件是选中一名男生一名女生（记为事件A），即：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），【点评】本题考查了频数分布表：频率频数样本容量的关系，考查了古典概型，属于基础题18（12分）如图，在三棱锥ABCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，ABAD，AEBC求证：（1）EF平面ACD；（2）AECD【分析】（1）证明EFCD，利用直线与平面平行的判断定理证明EF平面ACD（2）证明AEBD，结合AEBC，推出AE平面BCD，然后证明AECD【解答】证
23、明：（1）因为点E，F分别是BD，BC的中点，所以EFCD，又因EF平面ACD，CD平面ACD，从而EF平面ACD（2）因为点E是BD的中点，且ABAD，所以AEBD，又因AEBC，BC平面BCD，BD平面BCD，BCBDB，故AE平面BCD，因为CD平面BCD，所以AECD【点评】本题考查直线与平面平行以及垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19（12分）如图，在平面四边形ABCD中，ACD的面积为（1）求AC的长；（2）若ABAD，求BC的长【分析】（1）根据，求出AD，再利用余弦定理得AC；（2）根据已知条件在ACD中，求出BAC，再利用正弦定理求出BC【解答】解：（1），
24、ACD的面积为，由余弦定理，得AC2AD2+CD22ADCDcosD，；（2）由（1）知ACD中，ABAD，又，在ABC中，由正弦定理，得，即，【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理和面积公式的应用，熟练掌握正余弦定理和面积公式是解本题的关键，属基础题20（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y2）21（1）若圆E的半径为2，圆E与x轴相切且与圆C外切，求圆E的标准方程；（2）若过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点，且OAAB，求直线l的方程【分析】（1）设E（a，b），由已知求得b，再由MC3列式求解a，则圆E的标准方程可求；（2）设A（x0，y0），由OAAB，得A为
25、OB的中点，从而B（2x0，2y0），再由A，B都在圆C上，列方程组求解x0，y0的值，则直线l的方程可求【解答】解：（1）设E（a，b），圆E的半径为2，与x轴相切且与圆C外切，b2，又MC3，即，把b2代入，解得a3故圆E的标准方程为（x+3）2+（y2）24或（x3）2+（y2）24；（2）设A（x0，y0），OAAB，A为OB的中点，从而B（2x0，2y0），A，B都在圆C上，解得或，故直线l的方程为或【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题21（12分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，边BC的中点为D，BCCC12（1）求三棱锥CAC1D的体
26、积；（2）点E在线段B1C1上，且A1E平面AC1D，求的值【分析】（1）推导出C1C平面ABC，从而三棱锥CAC1D的体积，由此能求出结果（2）连结A1C交AC1于F，连结EC交C1D于G，连结FG，推导出A1EFG，侧面ACC1A1和侧面BCC1B1为平行四边形，从而有F为A1C的中点，于是G为EC的中点，进而EC1DC，E为边B1C1的中点，由此能求出的值【解答】证明：（1）ABCA1B1C1为正三棱柱，C1C平面ABC，三棱锥CAC1D的体积：解：（2）连结A1C交AC1于F，连结EC交C1D于G，连结FG，A1E平面AC1D，A1E平面A1CE，平面A1CE平面AC1DFG，A1EF
27、G，ABCA1B1C1为正三棱柱，侧面ACC1A1和侧面BCC1B1为平行四边形，从而有F为A1C的中点，于是G为EC的中点，EC1DC，D为边BC的中点，E为边B1C1的中点，1【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）如图，矩形ABCD的四条边所在直线AB，CD，BC，AD的横截距分别为2，0，1，5，点M为线段BD的中点（1）求证：直线BD恒过定点S；（2）若点M在圆x2+y22x+F0上，求实数F的值；（3）点R在直线3x4y+140上，且MS+3MR9，求点R的坐标【分析】（1
28、）由题意可知矩形ABCD的四条边所在直线的斜率都存在且不为0设直线AB的斜率为k联立直线方程求得B、D的坐标，得到BD的方程，即可证明直线BD恒过定点S；（2）求出BD中点M的坐标代入圆x2+y22x+F0即可求得F值；（3）设圆x2+y22x30与x轴的交点为P，Q设T（，0），当M在P处时有，证明其一般性然后结合MS+3MR9求点R的坐标【解答】（1）证明：由题意可知矩形ABCD的四条边所在直线的斜率都存在且不为0设直线AB的斜率为k由，得B（，）由，得D（，）直线BD的方程为y，化简得y直线BD恒过定点S（5，0）；（2）解：由 （1）得M（，），点M在圆x2+y22x+F0上，解得F3；（3）解：如图，设圆x2+y22x30与x轴的交点为P，Q设T（，0），当M在P处时有，下面证明其一般性（*）M在圆x2+y22x30上，x2+y22x+3，代入（*）式得：从而MTMS+3MR9MT+MR3又T（）到直线3x4y+140的距离等于3故当且仅当R为点T在直线3x4y+140上的射影T时有MT+MR3由，解得R（，）【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题
