1、2018-2019学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（4分）直线l：2xy0的斜率为（）A2B2CD2（4分）在ABC中，若A+C3B，则cosB的值为（）ABCD3（4分）直线l：2x+3y60与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A6B1CD34（4分）在区间0，5上任意取一个实数x，则满足x0，1的概率为（）ABCD5（4分）若一组数据x1，x2，xn的平均值为3，则2x1，2x2，2xn的平均值为（）A3B6C5D26（4分）若三条线段的长
2、分别为5，6，8，则用这三条线段（）A能组成直角三角形B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形D不能组成三角形7（4分）已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为（）A8B12C16D208（4分）已知直线l：2mx+ym10与圆C：x2+（y2）24交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（）A2x4y+30Bx4y+30C2x+4y+30D2x+4y+109（4分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（）A1BCD010（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2t，
3、2t2），点Q（2，1），直线l：ax+by0若对任意的tR，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q的坐标为（）A（0，2）B（2，3）C（，）D（，3）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）11（6分）直线l1：x+y0，l2：ax+y+10，若l1l2，则实数a的值为 12（6分）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为 人13（6分）已知ABC中，若A60，a，则的值为 14（
4、6分）长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是 15（6分）如果圆（x2a）2+（ya3）24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 16（6分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB5bcosA，asinAbsinB2sinC，则边c的值为 三、解答题（本大题共5小题，共计74分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（14分）已知三点A（5，0），B（3，2），C（0，2）（1）求直线AB的方程；（2）求BC的中点到直线AB的距离18（14分）如图，在ABC中，B30，D是B
5、C边上一点，AD，CD7，AC5（1）求ADC的大小；（2）求AB的长19（14分）甲乙两名篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示，已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10（1）求x，y的值；（2）求甲乙所得篮板球数的方差和，并指出哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估，则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率20（16分）如图，在三棱锥PABC中，PBC为等边三角形，点O为BC的中点，ACPB，平面PBC平面ABC（1）求直线PB和平面ABC所成的角的大小；（2）求证：平面
6、PAC平面PBC；（3）已知E为PO的中点，F是AB上的点，AFAB若EF平面PAC，求的值21（16分）如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB3（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT212，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分EAF，求证：直线EF的斜率为定值2018-2019学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代
7、号填涂在答题卡相应位置上）1（4分）直线l：2xy0的斜率为（）A2B2CD【分析】由直线l的斜截式方程可得直线的斜率【解答】解：直线l：2xy0即y2x，可得直线l的斜率为2故选：B【点评】本题考查直线的方程的运用，考查斜率的求法，属于基础题2（4分）在ABC中，若A+C3B，则cosB的值为（）ABCD【分析】由题意利用三角形内角和公式求出B的值，特再利用殊角的三角函数值，得出结论【解答】解：在ABC中，若A+C3B，由A+B+C，可得B，cosBcos，故选：D【点评】本题主要考查三角形内角和公式，特殊角的三角函数值，属于基础题3（4分）直线l：2x+3y60与两坐标轴所围成的三角形的面
8、积为（）A6B1CD3【分析】求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求【解答】解：直线l：2x+3y60与x，y轴的交点为（3，0），（0，2），则围成的三角形的面积为323故选：D【点评】本题考查直线方程的运用，考查三角形的面积求法，化简运算能力，属于基础题4（4分）在区间0，5上任意取一个实数x，则满足x0，1的概率为（）ABCD【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，计算即可得答案【解答】解：根据题意，区间0，5的长度为5，而区间0，1的长度为1；则区间0，5上任意取一个实数x，则满足x0，1的概率为；故选：A【点评】本题
9、考查了几何概型的概率计算，关键掌握几何概型的计算公式，属于基础题5（4分）若一组数据x1，x2，xn的平均值为3，则2x1，2x2，2xn的平均值为（）A3B6C5D2【分析】根据题意，由平均值的公式可得（x1+x2+xn）3，进而可得2x1，2x2，2xn的平均值（2x1+2x2+2xn）（x1+x2+xn），即可得答案【解答】解：根据题意，一组数据x1，x2，xn的平均值为3，即（x1+x2+xn）3，对于2x1，2x2，2xn，其平均值（2x1+2x2+2xn）（x1+x2+xn）6；故选：B【点评】本题考查平均数的计算，关键是掌握平均数的计算公式，属于基础题6（4分）若三条线段的长分别
10、为5，6，8，则用这三条线段（）A能组成直角三角形B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形D不能组成三角形【分析】利用余弦定理可判断最大角，从而可得答案【解答】解：三条线段的长为5、6、8，满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，52+628225+366430，由余弦定理可得cosA0，可得A为钝角，能组成钝角三角形故选：C【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理的应用，属于基础题7（4分）已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为（）A8B12C16D20【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再由正方形及三角形面积公式求解【解
11、答】解：如图，四棱锥PABCD为正四棱锥，高OP，底面边长AB2过O作OGBC，垂足为G，连接PG，则斜高PG正四棱锥的全面积是S故选：B【点评】本题考查四棱锥侧面积的求法，考查计算能力，是基础题8（4分）已知直线l：2mx+ym10与圆C：x2+（y2）24交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（）A2x4y+30Bx4y+30C2x+4y+30D2x+4y+10【分析】根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案【解答】解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r2；已知直线l：2
12、mx+ym10恒过点P（）；当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时，则；此时2mm；此时直线AB的方程为，变形可得2x4y+30故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长问题，属于基础题9（4分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（）A1BCD0【分析】由异面直线所成角的作法及求法可得：CB1A为所求，又CB1，AB1，AC，所以CB12+AB12AC2，即CB1A，即可得解【解答】解：连接CB1，因为MNCB1，所以CB1A为所求，又CB1，AB1，AC，
13、所以CB12+AB12AC2，即CB1A，即异面直线AB1与MN所成角的余弦值为cos0，故选：D【点评】本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题10（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2t，2t2），点Q（2，1），直线l：ax+by0若对任意的tR，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q的坐标为（）A（0，2）B（2，3）C（，）D（，3）【分析】由点到直线的距离公式，以及P到直线的距离为定值，可得a2b，设出Q'的坐标，运用两直线垂直的条件、中点坐标公式，解方程可得所求坐标【解答】解：点P（2t，2t2），直线l：ax+by0P到l的距离为d，若对任意的
14、tR，点P到直线l的距离为定值，即有a2b，则直线l的方程为2x+y0，设点Q（2，1）关于直线l对称点Q的坐标为（m，n），可得，2（m2）+（n+1）0，解得m，n，即Q'（，），故选：C【点评】本题考查点到直线的距离公式和两直线垂直的条件、中点坐标公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）11（6分）直线l1：x+y0，l2：ax+y+10，若l1l2，则实数a的值为1【分析】求得两直线的斜率，由两直线平行的条件，计算可得所求值【解答】解：直线l1：x+y0，l2：ax+y
15、+10，若l1l2，可得a1，即a1，检验成立故答案为：1【点评】本题考查两直线平行的条件，以及直线的斜率的求法，考查运算能力，属于基础题12（6分）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为12人【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求得结论【解答】解：高一学生占的比列为，则应抽取高一学生数为 3012 人，故答案为：12【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题13（6分）已知ABC中，若A60，a，则的值为2【分析】首先根据正弦定理得出2r2，然后利用正弦定理将所求的式子转化成即可求出
16、结果【解答】解：由正弦定理可得 2r2，（r为外接圆半径）；则2r2，故答案为2【点评】本题考查正弦定理的应用，求出2r的值，是解题的关键14（6分）长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是【分析】长方体的体积是共顶点的三个棱的长度的乘积，故求出三者乘积即可，由于本题中知道了共顶点的三个面的面积，即知道了共顶点的三边两两边长的乘积，故可以用共顶点的三个棱的长度表示出三个面积，得到关于三个量的三个方程，由此方程组解出三条棱的长度，即可求出长方体的体积【解答】解：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，列出方程组 ，解得 所以长方体的体积V1故答案为 【点评】本题考点是棱
17、柱、棱锥、棱台的体积，考查根据题目中所给的条件求出三个棱长的长度，再由长方体的体积公式求出体积的能力，本题直接利用公式建立方程求解，题目较易15（6分）如果圆（x2a）2+（ya3）24上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是【分析】依据圆（x2a）2+（ya3）24和圆x2+y21相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，建立不等式组可得【解答】解：原问题可转化为：圆（x2a）2+（ya3）24和圆x2+y21相交，可得两圆圆心之间的距离d，由两圆相交可得，平方可得15a2+6a+99，解得故答案为：【点评】本题体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆（x2a）2+（ya
18、3）24和圆x2+y21相交是解决问题的关键16（6分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB5bcosA，asinAbsinB2sinC，则边c的值为3【分析】由已知利用余弦定理可得3（a2b2）2c2，又由正弦定理化简已知等式可得a2b22c，即可解得c的值【解答】解：acosB5bcosA，由余弦定理可得：a5b，整理可得：3（a2b2）2c2，又asinAbsinB2sinC，由正弦定理可得：a2b22c，6c2c2，解得：c3故答案为：3【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题三、解答题（本大题共5小题
19、，共计74分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（14分）已知三点A（5，0），B（3，2），C（0，2）（1）求直线AB的方程；（2）求BC的中点到直线AB的距离【分析】（1）求得AB的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程；（2）运用线段的中点坐标公式和点到直线的距离公式，可得所求【解答】解：（1）A（5，0），B（3，2），可得AB的斜率为，则直线AB的方程为y（x5），即为x4y50；（2）B（3，2），C（0，2）可得BC的中点为（，0），即有BC的中点到直线AB的距离为d【点评】本题考查直线方程的求法和运用，以及点到直线的距离公式，中点坐标公式的运用，
20、考查运算能力，属于基础题18（14分）如图，在ABC中，B30，D是BC边上一点，AD，CD7，AC5（1）求ADC的大小；（2）求AB的长【分析】（1）由已知利用余弦定理可得cosADC，结合范围ADC（0，），可求ADC的值（2）利用三角形的内角和定理可求ADB，在ABD中，由正弦定理即可解得AB的值【解答】解：（1）在ABC中，AD4，CD7，AC5，在ACD中，由余弦定理可得：cosADC，ADC（0，），ADC（2）ADC，ADB，在ABD中，由正弦定理，即，解得AB8【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题19（14分）甲乙两名
21、篮球运动员分别在各自不同的5场比赛所得篮板球数的茎叶图如图所示，已知两名运动员在各自5场比赛所得平均篮板球数均为10（1）求x，y的值；（2）求甲乙所得篮板球数的方差和，并指出哪位运动员篮板球水平更稳定；（3）教练员要对甲乙两名运动员篮板球的整体水平进行评估现在甲乙各自的5场比赛中各选一场进行评估，则两名运动员所得篮板球之和小于18的概率【分析】（1）根据题意茎叶图的性质和平均数的定义能求出x，y（2）求出甲乙所得篮板球数的方差和，从而得到乙运动员篮板球水平更稳定（3）设任意两场比赛甲乙得篮板球数分别为a，b，利用列举法能求出两名运动员所得篮板球之和小于18的概率【解答】解：（1）根据题意得：
22、（7+8+10+10+x+13）10，解得x2，y9（2）（710）2+（810）2+（1010）2+（1210）2+（1310）25.2，（810）2+（910）2+（1010）2+（1110）2+（1210）22，乙运动员篮板球水平更稳定（3）设任意两场比赛甲乙得篮板球数分别为a，b，则所有的（a，b）有：（7，8），（7，9），（7，10），（7，11），（7，12），（8，8），（8，9），（8，10），（8，11），（8，12），（10，8），（10，9），（10，10），（10，11），（10，12），（12，8），（12，9），（12，10），（12，11），（12，12），（1
23、3，8），（13，9），（13，10），（13，11），（13，12），共25个，而a+b18的（a，b）有：（7，8），（7，9），（7，10），（8，8），（8，9），共5个，两名运动员所得篮板球之和小于18的概率p【点评】本题考查实数值的求法，考查方差的求法及应用，考查概率的求法，考查茎叶图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（16分）如图，在三棱锥PABC中，PBC为等边三角形，点O为BC的中点，ACPB，平面PBC平面ABC（1）求直线PB和平面ABC所成的角的大小；（2）求证：平面PAC平面PBC；（3）已知E为PO的中点，F是AB上的点，AFAB若EF平面PAC，
24、求的值【分析】（1）推导出POBC，PO平面ABC，从而PBC是直线PB和平面ABC所成角，再由PBC是等边三角形，能求出直线PB和平面ABC所成角（2）由PO平面ABC，得POAC，再由ACPB，得AC平面PBC，由此能证明平面PAC平面PBC（3）过点E，F分别作ESBC，FTBC，交PC，AC于S，T，连结ST，则ESFT，从而直线ES与直线FT确定一个平面，推导出四边形ESTF是平行四边形，ESFT，由此能求出结果【解答】解：（1）PBC是等边三角形，点O为BC的中点，POBC，平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，PO平面PAC，PO平面ABC，PBC是直线PB和平面ABC
25、所成角，PBC是等边三角形，PBC60，直线PB和平面ABC所成角为60证明：（2）由（1）得PO平面ABC，AC平面ABC，POAC，ACPB，PB平面PBC，PO平面PBC，PBPOP，AC平面PBC，AC平面PAC，平面PAC平面PBC解：（3）过点E，F分别作ESBC，FTBC，交PC，AC于S，T，连结ST，则ESFT，直线ES与直线FT确定一个平面，EF平面PAC，EF平面ESTF，平面PAC平面ESTFST，EFST，四边形ESTF是平行四边形，ESFT，E为PO的中点，ESBC，ESOC，O是BC的中点，ESBC，FTBC，【点评】本题考查张面角、实数值的求法，考查面面垂直的证
26、明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（16分）如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB3（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT212，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分EAF，求证：直线EF的斜率为定值【分析】（1）由圆心C到直线AB的距离为2，则圆C的半径为r因为圆C与x轴相切于点T（2，0），所以圆心C的坐标为C（2，），继而写出方程即可；（2）用反证法，假设P点存在，根据已知推出矛盾即可；（3）因
27、为圆C上存在E、F两点，使得射线AB平分EAF，所以EABFAB，得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数设直线AE斜率为k且k0，则直线AE的方程为ykx+4，联立得，解得E点坐标，根据对称写出F点坐标，继而可得EF的斜率【解答】解：（1）由题知，圆心C到直线AB的距离为2，则圆C的半径为r因为圆C与x轴相切于点T（2，0），所以圆心C的坐标为C（2，），故圆C的方程为（2）因为圆C的方程为，所以A（0，4），B（0，1）设P（x，y），则由PA2+PB2+PC212得x2+（y1）2+x2+（y4）2+（x2）2+y212，化简得，所以点P在以（）为圆心，为半径的圆上，又因为B（0，1），
28、T（2，0），所以得直线BT的方程为x+2y20圆心（）到直线x+2y20的距离d，即直线x+2y20与圆相离，所以直线BT上不存在点P满足PA2+PB2+PC212（3）因为圆C上存在E、F两点，使得射线AB平分EAF，所以EABFAB，得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数设直线AE斜率为k且k0，则直线AE的方程为ykx+4，联立得，消去x化简得（k2+1）x2+（3k4）x0，解得x0或x，所以E（），用k替换点E坐标中的k得F（），由k0得xExF，则kEF，所以直线EF的斜率为定值【点评】本题考查了直线与圆的关系，涉及了直线的斜率公式，点到直线的距离公式，对称知识等，属于综合性题目，难度中等
