1、2017-2018学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1（5分）若直线l经过两点（1，3），（3，3），则直线l的斜率为 2（5分）在ABC中，已知a3，b5，c7，则角C等于 3（5分）函数y的定义域为 4（5分）若A，B，Al，Bl，那么直线l与平面有 个公共点5（5分）已知两条直线x+2y+10和（a1）x（a+1）y10互相垂直，则a的值为 6（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S22a2+3，S32a3+3，则S
2、5 7（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则 8（5分）已知正三棱锥SABC的底面边长为2，侧棱SA，SB，SC两两垂直，则此正三棱锥的体积为 9（5分）已知实数x，y满足条件则zxy的最大值为 10（5分）用半径为3cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 cm11（5分）设正实数a，b满足a+b1，则的最小值为 12（5分）如果三条直线ax+2y+80，4x+3y10和2xy10将平面分为六个部分，那么实数a的取值集合为 13（5分）已知等差数列an的公差为2
3、，数列bn满足bn+1bnan，nN*，且b3b1000，则b1 14（5分）已知点A（3，0），B（0，1），C（2，4），若点P，满足PA2PB213，则PC的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（15分）在等差数列an中，a24，5a42a9（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn16（15分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2a2bc（1）求角A的大小；（2）若a5，求ABC面积的最大值17（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面AB
4、CD（1）求证：ADPC；（2）若E是BC的中点，F在PC上，PA平面DEF，求的值18（15分）如图，有两条相交成60角的直路l1，l2，交点是O，警务岗A、B分别在l1，l2上，警务岗A离O点1千米，警务岗B离O点3千米若警员甲从A出发沿OA方向，警员乙从B出发沿BO方向，同时以4千米/小时的速度沿途巡逻（1）当警员甲行至点C处时，OBC45，求OC的距离；（2）t小时后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？19（15分）在直角坐标系中，已知射线OA：xy0（x0），过点P（3，1）作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B（1）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；（2）求PAP
5、B的最小值20（15分）在数列an中，a12，a23，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn12Sn+1（n2，xN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设，如果对任意的nN+有bn+1bn恒成立，求实数的取值范围；（3）若ancn+3cn+1（nN+），5c2c32，求证：数列cn是等差数列2017-2018学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1（5分）若直线l经过两点（1，3），（3，3），则直线l的斜率为【分析】直接由两点坐标求斜率公式得答案【解答】解：直线l经过两点（1，3），（
6、3，3），故答案为：【点评】本题考查由直线上两点的坐标求直线的斜率，是基础的计算题2（5分）在ABC中，已知a3，b5，c7，则角C等于【分析】利用余弦定理得cosC，由此能求出角C【解答】解：在ABC中，a3，b5，c7，cosC，0C，角C故答案为：【点评】本题考查三角形中角的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）函数y的定义域为3，4【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则12+xx20，即x2x120，即3x4，故函数的定义域为3，4，故答案为：3，4【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常
7、见函数成立的条件4（5分）若A，B，Al，Bl，那么直线l与平面有1个公共点【分析】根据直线l上有点A在平面内，可以推断：“l平面”或“l平面A”成立，再用反证明法证明直线l不可能在平面内，即可得到直线l平面A，说明直线l与平面有唯一公共点【解答】解：A，Al，直线l与平面有公共点A直线l平面 或直线l平面A，下面用反证法证明直线l不可能在平面内：假设直线l平面，因为Bl，所以B这与已知条件“B”矛盾，故“直线l平面”不能成立直线l平面A，直线l与平面有唯一公共点故答案为：1【点评】本题给出直线l经过平面内一点和平面外一点，要我们判断直线l与平面公共点的个数，考查了空间的直线与平面的位置关系的
8、知识，属于基础题5（5分）已知两条直线x+2y+10和（a1）x（a+1）y10互相垂直，则a的值为3【分析】由已知条件利用两直线互相垂直的性质能求出a的值【解答】解：两条直线x+2y+10和（a1）x（a+1）y10互相垂直，1（a1）2（a+1）0，解得a3故答案为：3【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线垂直的性质的合理运用6（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S22a2+3，S32a3+3，则S593【分析】利用等比数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a13，q2，由此能求出S5【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，S22a2+3，S32
9、a3+3，解得a13，q2，S53（132）93故答案为：93【点评】本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则【分析】由余弦定理得+c，由此能求出的值【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，+c，整理，得：2a22，故答案为：【点评】本题考查三角形的两条边长的比值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题8（5分）已知正三棱锥SABC的底面边长为2，侧棱SA，SB，SC两两垂直，则此正三棱锥的体积为【分析】求
10、出三棱锥的侧棱长，利用几何体的形状，求解几何体的体积即可【解答】解：三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，正三棱锥SABC的底面边长为2，且SASBSC，则该三棱锥是正方体的一个角，三棱锥的体积为：故答案为：【点评】本题考查球棱锥的结构特征，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力9（5分）已知实数x，y满足条件则zxy的最大值为2【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解【解答】解：作出实数x，y满足条件表示的平面区域，如图所示由zxy可得yxz，则z表示直线zxy在y轴上的截距，截距越小，z越大由可得A（4，2），此时z最大为
11、2故答案为：2【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想10（5分）用半径为3cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm【分析】根据半圆的弧长为圆锥底面圆的周长求得底面圆半径，再利用其轴截面为等腰三角形求出圆锥的高【解答】解：半径为3cm的半圆弧长为l2R3，圆锥的底面圆的周长为3，其轴截面为等腰三角形如图所示：则圆锥的底面半径r满足：2r3，解得r；圆锥的高为hcm故答案为：【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题11（5分）设正实数a，b满足a+b1，则的最小值为8【分析】把1a+b代入，再利用基本不等式求得的最小值【解答】解：正
12、实数a，b满足a+b1，则+42+48，当且仅当，即a，b时等号成立；的最小值为8故答案为：8【点评】本题考查了基本不等式的解法与应用问题，是基础题12（5分）如果三条直线ax+2y+80，4x+3y10和2xy10将平面分为六个部分，那么实数a的取值集合为4，1，【分析】三条直线将平面划分为六部分，则直线x+ky0过另外两条直线的交点，或这条直线与另外两条直线平行，由此求出k的值【解答】解：若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，是ax+2y+80过另外两条直线的交点，由4x+3y10和2xy10的交点是（4，2
13、），解得a1；是这条直线与另外两条直线平行，此时a或4，综上，a的取值集合是4，1，故答案为：4，1，【点评】本题考查了直线方程与直线的位置关系应用问题，是较简单的综合题13（5分）已知等差数列an的公差为2，数列bn满足bn+1bnan，nN*，且b3b1000，则b1198【分析】等差数列an的公差为2，可得ana1+2（n1）数列bn满足bn+1bnan，nN*，利用累加求和方法n2时，bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1an1+an2+a1+b1，可得bn，根据b3b1000，即可得出【解答】解：等差数列an的公差为2，ana1+2（n1）数列bn满足bn+1bna
14、n，nN*，n2时，bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1an1+an2+a1+b1（n1）a1+b1（n1）a1+（n1）（n2）+b1b3b1000，2a1+2+b199a1+9998+b10解得b1198故答案为：198【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）已知点A（3，0），B（0，1），C（2，4），若点P，满足PA2PB213，则PC的最小值为【分析】求出P的轨迹方程，然后利用点到直线的距离求解即可【解答】解：点A（3，0），B（0，1），若点P（x，y）满足PA2PB213可得：（x3）2+
15、y2x2（y+1）213，可得6x+2y+50，C（2，4），则PC的最小值为：故答案为：【点评】本题考查轨迹方程的求法，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（15分）在等差数列an中，a24，5a42a9（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a24，5a42a9可得a1+d4，5（a1+3d）2（a1+8d），联立解得a1，d，即可得出（2）由（1）可得：利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a24，5a42a9a1+d
16、4，5（a1+3d）2（a1+8d），联立解得a11，d3，an1+3（n1）3n2（2）由（1）可得：数列的前n项和Sn【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（15分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2a2bc（1）求角A的大小；（2）若a5，求ABC面积的最大值【分析】（1）直接利用三角函数关系是的恒等变换和余弦定理的应用求出结果（2）利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果【解答】解：（1）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2a2bc则：cosA，由于0A，则：A（2
17、）由（1）得：，且a5，所以a2b2+c22bccosA，25b2+c2bc2bcbcbc，即：bc25（当且仅当bc5时，等号成立），则：可得ABC面积的最大值为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用17（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD（1）求证：ADPC；（2）若E是BC的中点，F在PC上，PA平面DEF，求的值【分析】（1）由ADDC，ADPD证明AD平面PDC，即可证明ADPC；（2）连接AC，交DE于点M，连接FM，得出FMPA，过点B作BNDE，交AD与H，由题意得出的值，即可得
18、出的值【解答】解：（1）证明：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCDADCD，ADPD，且CDPDD，AD平面PDC，PC平面PDC，ADPC（2）连接AC，交DE于点M，连接FM，PA平面DEF，FMPA， 过点B作BNDE，交AD与H，四边形BHDE是平行四边形；又DE是BC的中点，H是AD的中点，2【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了数形结合应用问题，是中档题18（15分）如图，有两条相交成60角的直路l1，l2，交点是O，警务岗A、B分别在l1，l2上，警务岗A离O点1千米，警务岗B离O点3千米若警员甲从A出发沿OA方向，警员乙从B出发沿BO方
19、向，同时以4千米/小时的速度沿途巡逻（1）当警员甲行至点C处时，OBC45，求OC的距离；（2）t小时后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？【分析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）设警员乙从B出发沿BO方向所走的位置设为D，沿途巡逻的时间为t，分D在O的右边或D在O的左边，利用余弦定理表示出CD的长，根据t的范围，利用二次函数的性质即可求出两人距离最短时的时间t的值【解答】解：（1）AOB60，OBC45，OCB75，sin75sin（45+30）根据正弦定理得：，即OC33，故OC的距离为33（2）设警员乙从B出发沿BO方向所走的位置设为D，沿途巡逻的时间为t，当0t时，D在O的
20、右边或D与OC重合，则t小时走的路为4t，则OCOA+4t1+4t，ODOB4t34t，AOD60，根根据余弦定理得：可得CD2OC2+OD22OCOD（1+4t）2+（34t）22（1+4t）（34t）48t224t+748（t）2+4，当t时，CD有最小值，最小值为2，设警员乙从B出发沿BO方向所走的位置设为D，沿途巡逻的时间为t，当t时，D在O的左边，则t小时走的路为4t，则OCOA+4t1+4t，OD4t3，AOD120，根根据余弦定理得：可得CD2OC2+OD22OCOD（1+4t）2+（4t3）22（1+4t）（4t3）（）16t28t+1316（t）2+12，当t时，CD有最小值
21、，最小值为4，综上所述，CD，当t时，CD有最小值，最小值为2【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查余弦定理的运用，有一定的综合性19（15分）在直角坐标系中，已知射线OA：xy0（x0），过点P（3，1）作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B（1）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；（2）求PAPB的最小值【分析】（1）设A，B的坐标，表示出P点，建立方程组求解坐标，可得直线AB的方程；（2）点斜式设出直线AB的方程，求解A，B的坐标可得PA，PB，从而可求解PAPB的最小值【解答】解：（1）由题意，设A（x1，x1），B（x2，0），且x1、x20；当AB的中点为P时
22、，有，解得x12，x24，A（2，2），B（4，0），直线AB的方程为，化为一般式为x+y40；（2）当k存在时，设直线AB的方程为：y1k（x3）（k1，k0）直线AB与xy0（x0）相交：可得A（，），直线AB与x轴正半轴相交与B，可得B（，0）那么：PAPB|令k+1m0，可得，当m0时，由于，PAPB的最小值为：|当m0时，由于，PAPB的最小值为：当且仅当m时取等号即k故得PAPB的最小值为：（当且仅当m时取等号即k）【点评】本题考查了中点坐标公式、基本不等式的性质、直线的方程，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题20（15分）在数列an中，a12，a23，其前n项和Sn
23、满足Sn+1+Sn12Sn+1（n2，xN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设，如果对任意的nN+有bn+1bn恒成立，求实数的取值范围；（3）若ancn+3cn+1（nN+），5c2c32，求证：数列cn是等差数列【分析】（1）在数列an中，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn12Sn+1（n2，xN*）n3时，Sn+Sn22Sn1+1，相减可得：an+1+an12ann1时，S3+S12S2+1，2a1+a2+a32（a1+a2）+1，解得a1，a2，a3满足a1+a32a2即可证明结论（2）4n+（1）n12n+1对任意的nN+有bn+1bn恒成立，化为4n+（1）n2n+10对n分类讨
24、论即可得出实数的取值范围（3）ancn+3cn+1n+1，（nN+），变形cn+1，n1，c1+3c22，c2+3c33，又5c2c32，联立解得：c1，c2，c3cn0，解得cn即可证明结论【解答】（1）解：在数列an中，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn12Sn+1（n2，xN*）n3时，Sn+Sn22Sn1+1，相减可得：an+1+an12ann1时，S3+S12S2+1，2a1+a2+a32（a1+a2）+1，a12，a23，a34a1+a32a2因此nN*，n2，都有：an+1+an12an数列an是等差数列，公差为1an2+n1n+1（2）解：4n+（1）n12n+1对任意的nN+有bn+1bn恒成立，4n+1+（1）n2n+24n+（1）n12n+14n+（1）n2n+10n2k1（kN*）时，可得：4n2n+10，2n1，1n2k（kN*）时，可得：4n+2n+10，2n1，221实数的取值范围是（2，1）（3）证明：ancn+3cn+1n+1，（nN+），cn+1，n1，c1+3c22，c2+3c33，又5c2c32，联立解得：c1，c2，c3cn0，解得cn+数列cn是等差数列【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
