1、2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题4分，共40分）1（4分）下列说法正确的是（）A任意三点确定一个平面B梯形一定是平面图形C平面和有不同在一条直线上的三个交点D一条直线和一个点确定一个平面2（4分）已知A船在灯塔C北偏东85且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北55且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A2kmBkmC3kmDkm3（4分）如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）ABCD4（4分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a2，b
2、3，则sinB（）A3B4CD5（4分）正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A1：2B2：C：2D1：36（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a3，c2，A+C，则b（）AB6C7D87（4分）在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，下列结论：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE；PBDE，其中错误的结论个数是（）A0B1C2D38（4分）ABC中，a2：b2tanA：tanB，则ABC一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形9（4分）已知m，n为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若n，n
3、，m则mB若m，则mC若m，n在内的射影互相平行，则mnD若ml，l，则m10（4分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinAcsinC（ab）sinB，c2，则ABC面积的最大值为（注：a2+b22ab恒成立）（）AB2C2D4二、填空题（本大题共有6小题，每题6分，共36分）11（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为 12（6分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA：sinB3：4，则a：b 13（6分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC3，AA14，则点
4、D到平面A1D1C的距离是 14（6分）ABC中，若a，c2，B30，则ABC的面积为 15（6分）圆锥的全面积为15cm2，侧面展开图的中心角为60，则圆锥的体积为 16（6分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba（cosC+sinC），a，c1，则角C 三、解答题（本大题共有5小题，共74分）17（14分）已知ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足下列三个条件：a2+b2c2+ab；c12sinC；a+b13求：（1）内角C和边长c的大小；（2）ABC的面积18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，若E、F分别
5、为PC、BD的中点（）求证：EF平面PAD；（）求证：平面PDC平面PAD19（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足abc，a2c2b2，a3，ABC的面积为6（1）求角A的正弦值；（2）求边长b，c的值20（16分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD4，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点（1）求证：EF平面BCG；（2）求三棱锥DBCG的体积21（16分）如图所示，有两条相交成60角的直线XX，YY，交点为O甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来甲沿XX的方向，乙沿YY的方向，同时以4km/h
6、的速度步行求：（1）起初两人的距离是多少？（2）th后两人的距离是多少？（3）什么时候两人的距离最短？2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每题4分，共40分）1（4分）下列说法正确的是（）A任意三点确定一个平面B梯形一定是平面图形C平面和有不同在一条直线上的三个交点D一条直线和一个点确定一个平面【分析】根据平面中的公理定理，排除即可【解答】解：A选项，不共线的三点确定一个平面，A错C选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C错D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面
7、B选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B对，故选：B【点评】本题考查了公理2（不共线的三点确定一个平面）及其推论，公理3：两个平面有一个公共点，则两平面有且只有一条过该公共点的公共直线属于基础题2（4分）已知A船在灯塔C北偏东85且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北55且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A2kmBkmC3kmDkm【分析】根据余弦定理可得【解答】解：依题意可得ACB85+35120，在三角形ACB中，由余弦定理可得：AB2AC2+BC22ACBCcos12012+32（）21，ABkm故选：D【点评】本题考查了解三角形，属中档题3（4分）
8、如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可【解答】解如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设ABa，AA12a，A1BC1Ba，A1C1a，A1BC1的余弦值为，故选：D【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题4（4分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a2，b3，则sinB（）A3B4CD【分
9、析】直接根据正弦定理即可求出【解答】解：A，a2，b3，由正弦定理可得，则sinB，故选：C【点评】本题考查了正弦定理，考查了运算能力，属于基础题5（4分）正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A1：2B2：C：2D1：3【分析】本题考查一个常识，即：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得半径R，再代入球的表面积公式可得球的表面积【解答】解：设正方体的棱长为a，不妨设a1，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R，即R；所以外接球的表面积为：S球4R23则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：6：32：故选：B【
10、点评】本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算6（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a3，c2，A+C，则b（）AB6C7D8【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求B的值，进而根据余弦定理可求b的值【解答】解：A+C，B（A+C），a3，c2，由余弦定理可得：b故选：A【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题7（4分）在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，下列结论：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE；PBDE，其中错误的结
11、论个数是（）A0B1C2D3【分析】利用三棱锥的定义，分别判断直线和平面的位置关系利用正三棱锥的性质即可判定，对于利用线面平行的判定定理进行判定，对于利用反证法进行判定，运用正三棱锥的性质和线线垂直的性质可判断【解答】解：根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确ACDE，AC面PDE，DE面PDE，AC平面PDE，故正确若AB平面PDE，则ABDE，因为DEAC，AC与AB不垂直，如图，显然不正确由可得ACPB，DEAC，可得PBDE，即正确故选：B【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，属于基础题8（4分）ABC中，a2：b2tanA：tanB，则ABC一定是
12、（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】由已知a2：b2tanA：tanB，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断【解答】解：a2：b2tanA：tanB，由正弦定理可得，sinAsinB0sinAcosAsinBcosB即sin2Asin2B2A2B或2A+2BAB或A+B，即三角形为等腰或直角三角形故选：D【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点9（4分）已知m，n为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若n，n，m则mB若m，则mC若m，n在内的射
13、影互相平行，则mnD若ml，l，则m【分析】根据空间线面位置关系的定义及性质判断或举反例说明【解答】解：对于A，若n，n，则，又m，m，故A正确；对于B，若m，显然结论错误；故B错误；对于C，设，且，设m为内任意一条不与垂直的直线，n为内任意一条不与垂直的直线，则若m，n在内的射影互相平行，显然m与n不一定平行，故C错误；对于D，若m，显然结论错误；故D错误；故选：A【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，考查空间思维与想象能力，属于中档题10（4分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinAcsinC（ab）sinB，c2，则ABC面积的最大值为（注：a2+b22ab恒成立
14、）（）AB2C2D4【分析】通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C的大小，再利用余弦定理求出ab的最大值，从而求得三角形面积的最大值【解答】解：asinAcsinC（ab）sinB，由正弦定理得a2c2（ab）b，即a2+b2c2ab；由余弦定理得cosC，结合0C，得C；又c2，由余弦定理可得4c2a2+b2ab2ababab，当且仅当ab等号成立，SABCabsinC4sin，即ABC面积的最大值为故选：A【点评】本题主要考查了三角形面积公式以及正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式应用问题，是中档题二、填空题（本大题共有6小题，每题6分，共36分）11（6分）如图，在棱长为2的
15、正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为【分析】过E作EFBC，交BC于F，连接DF，得到EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可【解答】解：过E作EFBC，交BC于F，连接DFEFBC，CC1BCEFCC1，而CC1平面ABCDEF平面ABCD，EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF（8分）EFDF，（10分）故答案为【点评】本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题12（6分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA：
16、sinB3：4，则a：b3：4【分析】直接根据正弦定理即可求出【解答】解：由正弦定理可得，则a：bsinA：sinB3：4，故答案为：3：4【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题13（6分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC3，AA14，则点D到平面A1D1C的距离是【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面A1D1C的距离【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A1（3，0，4），D1（0，0，4），C（0，3，0），（0，0，4），（3，0，0），（0，3
17、，4），设平面A1D1C的法向量（x，y，z），则，取y4，得（0，4，3），点D到平面A1D1C的距离：d故答案为：【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题14（6分）ABC中，若a，c2，B30，则ABC的面积为1【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：由a，c2，B30，则SABCacsinB21，故答案为：1【点评】本题考查了三角形的面积公式，属于基础题15（6分）圆锥的全面积为15cm2，侧面展开图的中心角为60，则圆锥的体积为cm3【分析】由已知中，圆锥的全面积为15cm2，侧面展开图的中心角为6
18、0，求出圆锥的底面半径和母线长，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的全面积为15cm2，侧面展开图的中心角为60，r（r+l）15，且l6r，解得：r，l，则圆锥的高h5，故圆锥的体积Vcm3，故答案为：cm3【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中熟练掌握圆锥的母线长，半径，高，侧面展开图圆心角的度数之间的关系，是解答的关键16（6分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba（cosC+sinC），a，c1，则角C【分析】根据题意，由正弦定理分析可得sinBsinA（cosC+sinC）sinAcosC+sinA sin
19、C，结合和角公式可得sinAcosC+sinAcosCsinAcosC+sinA sinC，变形可得tanA，即可得A的值，结合正弦定理可得sinC，结合C的范围分析可得答案【解答】解：根据题意，ABC中，ba（cosC+sinC），则有sinBsinA（cosC+sinC）sinAcosC+sinA sinC，又由sinBsin（A+C）sinAcosC+sinAcosC，则有sinAcosC+sinAcosCsinAcosC+sinA sinC，变形可得tanA，则A，即sinA，又由a，c1，则sinC，又由ac，则AC，则C；故答案为：【点评】本题考查三角函数的恒等变形以及正弦定理的应
20、用，关键是求出A的大小三、解答题（本大题共有5小题，共74分）17（14分）已知ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足下列三个条件：a2+b2c2+ab；c12sinC；a+b13求：（1）内角C和边长c的大小；（2）ABC的面积【分析】（1）根据夹角公式可得C，再由由c12sinC可得c6，（2）由a2+b2c2+ab和a+b13可求出ab，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：（1）由a2+b2c2+ab，可得cosC，又0C，则C，由c12sinC可得c6（2）a2+b2c2+ab，可得36（a+b）23ab，即ab则SABCabsinC【点评】本题考查了余弦定理，三角
21、形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于基础题18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点（）求证：EF平面PAD；（）求证：平面PDC平面PAD【分析】（）利用线面平行的判定定理证明EFPA，即可）先证明线面垂直CD平面PAD，再证明面面垂直平面PAD平面PDC 即可【解答】（）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点F为AC中点又E是PC中点，在CPA中，EFPA（3分）且PA平面PAD，EF平面PADEF平面PAD（）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，CD平面PAD，CD平面
22、PDC平面PAD平面PDC【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及空间二面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理19（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足abc，a2c2b2，a3，ABC的面积为6（1）求角A的正弦值；（2）求边长b，c的值【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosA，结合范围A（0，），可得sinA的值（2）由三角形面积公式可求bc20，由余弦定理可求b2+c241，联立结合bc解得b，c的值【解答】（本题满分14分）解：（1）由a2c2b2，得：，即cosA（3分）A（0，），sinA （6分）（2）SABCbcsinAbc6，
23、bc20，（9分）由，及bc20、a3，得：b2+c241，（12分）由、及bc解得b4，c5 （14分）【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，余弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（16分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD4，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点（1）求证：EF平面BCG；（2）求三棱锥DBCG的体积【分析】（1）推导出ABCDBC，CGAD，BGAD，从而AD平面BGC，推导出EFAD，由此能证明EF平面BCG（2）作AOBC，交CB的延长线于O，推导出AO平面BDC，G到平面BD
24、C的距离h是AO长的一半，三棱锥DBCG的体积VDBCGVGBCD【解答】证明：（1）ABC和BCD所在平面互相垂直，ABBCBD4，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，ABCDBC，G是AD中点，CGAD，同理BGAD，又BGCGG，AD平面BGC，E，F分别是AC，DC的中点，EFAD，EF平面BCG解：（2）在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图，平面ABC平面BCD，AO平面BDC，又G为AD的中点，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在AOB中，AOABsin602，三棱锥DBCG的体积：VDBCGVGBCD4【点评】本题考查线面垂直的证明，考
25、查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（16分）如图所示，有两条相交成60角的直线XX，YY，交点为O甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来甲沿XX的方向，乙沿YY的方向，同时以4km/h的速度步行求：（1）起初两人的距离是多少？（2）th后两人的距离是多少？（3）什么时候两人的距离最短？【分析】（1）利用余弦定理计算；（2）对t进行讨论，利用余弦定理求出距离；（3）根据（2）的结果，配方得出最短距离及其成立的条件【解答】解：（1）设甲乙两人初始位置分别为A，B，则，由余弦定理得：AB2OA2+OB22OAOBcosAOB7，即起初两人间的距离是（2）设th后甲由A点运动到C点，乙由B点运动到D点连接CD当t时，C与O重合，CDOD1+44；当0时，；当时，；综上，th后甲乙两人间的距离是（3）由（2）知：所以当时，甲乙两人间的距离最短，最短距离是2km【点评】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题
