1、2017-2018学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集UZ，A0，1，2，3，Bx|x22x，则A（UB）为（）A1，3B0，2C0，1，3D22（5分）函数的定义域为（）A（，1）B（0，1C（0，1）D（0，+）3（5分）函数f（x）ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）4（5分）如图所示，直观图四边形ABCD是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）ABCD5（5分）将长方体截去一个
2、四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD6（5分）圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是（）AB2CD7（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A30B45C60D908（5分）我国古代数学名著数学九章中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A29尺B24尺C26尺D30尺9（5分）过点（1，2），
3、且与原点距离最大的直线方程是（）Ax+2y50B2x+y40Cx+3y70Dx2y+3010（5分）与直线xy40和圆x2+y2+2x2y0都相切的半径最小的圆的方程是（）A（x+1）2+（y+1）22B（x+1）2+（y+1）24C（x1）2+（y+1）22D（x1）2+（y+1）411（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y40的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A3x+y60Bx3y+20Cx+3y20D3xy+2012（5分）若直线ax+by1与圆C：x2+y21相交，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A在圆内B在圆上C在圆外D以上都有可能二、填空题（每题5分，满分20分，将答
4、案填在答题纸上）13（5分）已知直线5x+12y+a0与圆x2+y22x0相切，则a的值为 14（5分）已知奇函数f（x），x（0，+），f（x）lgx，则不等式f（x）0的解集是 15（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为 16（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点 A（m，0），B（m，0）（m0），若圆上存在点 P，使得APB90，则m的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明18（12分）ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x3y+10，x+y1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为等边三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A1；（3）求三棱锥CBC1D的体积20（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF平面ABCD，EF1，FBFC，BFC90，AE（
6、1）求证：AB平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值21（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角（1）证明：ACBO1；（2）求二面角OACO1的余弦值22（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y26x+4y+40（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线axy+10与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由2017-2018学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）期末数学试卷参
7、考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集UZ，A0，1，2，3，Bx|x22x，则A（UB）为（）A1，3B0，2C0，1，3D2【分析】由全集UZ，Bx|x22x0，2，先求出UBx|xZ，且x0，且x2，再由A0，1，2，3，能求出AUB【解答】解：全集UZ，A0，1，2，3，Bx|x22x0，2，UBx|xZ，且x0，且x2，AUB1，3故选：A【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）函数的定义域为（）A（，1）B（0，1C（0，1）D（0
8、，+）【分析】函数的定义域为x|，由此能够求出结果【解答】解：函数的定义域为：x|，解得x|0x1，故选：C【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用3（5分）函数f（x）ex+x2的零点所在的一个区间是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案【解答】解：因为f（0）10，f（1）e10，所以零点在区间（0，1）上，故选：C【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入
9、排除的方法求解4（5分）如图所示，直观图四边形ABCD是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）ABCD【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可也可利用原图和直观图的面积关系求解【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD1，高AB2A'B'2，下底为BC1+，故选：A【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础5（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在
10、面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合故选：D【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错6（5分）圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是（）AB2CD【分析】通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积【解答】解：S1，S
11、24，r1，R2，S6（r+R）l，l2，hV（1+4+2）故选：D【点评】本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题7（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A30B45C60D90【分析】利用补形法，在右面补一个正方体，平移相交，构造三角形根据余弦定理求解即可【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，可得：CPB1M，NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角连接NP，设正方体ABCDA1B1C1D1的边长为a可得：CNCP
12、NPNCP的三条边满足：CN2+CP2NP2NCP90即异面直线B1M与CN所成的角是90故选：D【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8（5分）我国古代数学名著数学九章中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A29尺B24尺C26尺D30尺【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5210（尺），利用勾股定
13、理，可得结论【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5210（尺），因此葛藤长26（尺）故选：C【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键9（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）Ax+2y50B2x+y40Cx+3y70Dx2y+30【分析】数形结合得到所求直线与OA垂直，再用点斜式方程求解【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为，所以由点斜式方程得：y2（x1），化简得：x+2y50，故选：A【点评】本题考查直线方程的求
14、解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程，属基础题10（5分）与直线xy40和圆x2+y2+2x2y0都相切的半径最小的圆的方程是（）A（x+1）2+（y+1）22B（x+1）2+（y+1）24C（x1）2+（y+1）22D（x1）2+（y+1）4【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径【解答】解：由题意圆x2+y2+2x2y0的圆心为（1，1），半径为，过圆心（1，1）与直线xy40垂直的直线方程为x+y0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心（1，1）到直线xy40的距离为3，则所求的圆的半径为，故选：C【点评】本题主要考查了由
15、题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度11（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y40的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A3x+y60Bx3y+20Cx+3y20D3xy+20【分析】因为点F（1，1）在直线3x+y40，所以点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，由点斜法写出即可【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y40上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y40的斜率为3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y1（x1）即x3y+20故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求法、两条直线垂直的应用、直线
16、的点斜式方程等，注意点P的轨迹不是抛物线12（5分）若直线ax+by1与圆C：x2+y21相交，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A在圆内B在圆上C在圆外D以上都有可能【分析】先求圆心到直线ax+by1的距离，通过关系判断点P（a，b）与圆的位置关系【解答】解：直线ax+by1与圆C：x2+y21相交，圆心到直线距离，得a2+b21，则点P（a，b）到圆心距离为点P与圆C的位置关系为：P在圆外故选：C【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，是基础题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知直线5x+12y+a0与圆x2+y22x0相切，则a的值为1
17、8或8【分析】求出圆心和半径，结合直线和圆相切的等价条件，建立方程关系进行求解即可【解答】解：圆的标准方程为（x1）2+y21，圆心坐标为（1，0），半径R1，直线和圆相切，圆心到直线的距离d1，即|a+5|13，即a+513或a+513，得a8或a18，故答案为：18或8【点评】本题主要考查直线和圆相切的位置关系的应用，结合圆心到直线的距离等于半径是解决本题的关键用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况14（5分）已知奇函数f（x），x（0，+），f（x）lgx，则不等式f（x）0的解集是（，1）（0，1）【分析】利用函数的奇偶性、单调性即可得出【解答】解：x（0，+），f（x
18、）lgx，不等式f（x）0化为lgx0，0x1当x0时，函数f（x）是奇函数，f（x）f（x）lg（x），由f（x）0即lg（x）0，化为lg（x）0，x1，解得x1综上可得不等式f（x）0的解集是：（，1）（0，1）故答案为：（，1）（0，1）【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性，属于基础题15（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为【分析】判定三棱锥的形状，确定外接球的球心位置，找出半径并求解，然后求出球的体积【解答】解：DAB60三棱锥PDCE各边长度均为
19、1三棱锥PDCE为正三棱锥 P点在底面DCE的投影为等边DCE的中心，设中心为OODOEOC在直角POD中：OP2PD2OD2OP外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'PO'D 设O'PO'DR则在直角OO'D中：OO'2+OD2O'D2（OPO'P）2+OD2O'D2（R）2+（）2R2，R体积为R3故答案为：【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积，考查学生空间想象能力，是中档题16（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点 A（m，0），B（m，0）（m0），若圆上存在点 P，使得APB90，则m
20、的取值范围是4，6【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由APB90，可得POABm，从而得到答案【解答】解：圆C：（x3）2+（y4）21的圆心C（3，4），半径为1，圆心C到O（0，0）的距离为5，圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由APB90，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得POABm，故有4m6，故答案为：4，6【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知（1）求f（
21、x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明【分析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式（2）利用奇偶性的定义，看f（x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（x）+f（x）0得到【解答】解：（1）由对数函数的定义知0即0，解得：1x1；故f（x）的定义域为（1，1）（2）f（x）为奇函数，理由如下：f（x）定义域为（1，1）关于原点对称，又f（x）logalogaf（x），f（x）为奇函数【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，与函数的定义域，对数函数的性质，难度中档18（12分）ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x
22、3y+10，x+y1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程【分析】直线AC的斜率为，从而直线AC的方程为3x+2y70，同理可求得直线AB的方程为xy+10由，得顶点C（5，4），由，得顶点B（2，1）由此能出直线BC的方程【解答】解：因为AC边上的高所在直线方程为2x3y+10，所以直线AC的斜率为；所以直线AC的方程为y2，即3x+2y70，同理可求得直线AB的方程为xy+10由，得顶点C（5，4），由，得顶点B（2，1）所以直线BC的斜率为，所以直线BC的方程为y+1（x+2），即3x+7y+130【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的
23、合理运用19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为等边三角形，AA1AB6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A1；（3）求三棱锥CBC1D的体积【分析】（1）连接B1C交BC1于O，连接OD，证明ODB1A，由线面平行的判定定理证明AB1平面C1BD（2）由线面垂直的判定定理得出BD平面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理得出平面C1BD平面A1ACC1；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥CBC1D的体积【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所
24、以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为AB1C的中位线，所以ODB1A，又OD平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1平面C1BD（2）证明：因为ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BDAC，又因为AA1底面ABC，所以AA1BD，根据线面垂直的判定定理得BD平面A1ACC1，又因为BD平面C1BD，所以平面C1BD平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，ABC中，BDAC，BDBCsin603，SBCD33，69【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，考查了锥体体积公式的应用，是综合性题目属于中档题20（12分
25、）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF平面ABCD，EF1，FBFC，BFC90，AE（1）求证：AB平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值【分析】（1）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EMFB，EMFB进而在RtBFC中求得EM，在AEM中，根据边长推断出AM2+EM23AE2，进而证明出AMEM然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出ABBC最后通过线面垂直的判定定理证明出AB平面BCF（2）先证明出AEO是直线AE与平面BDE所成的角，进而在RtAOE中，求得tanAEO【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AMMB
26、1，EF平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，EFAB，即EFMBEFMB1四边形EMBF是平行四边形EMFB，EMFB在RtBFC中，FB2+FC2BC24，又FBFC，得FBEM在AEM中，AE，AM1，EM，AM2+EM23AE2，AMEMAMFB，即ABFB四边形ABCD是正方形，ABBCFBBCB，FB平面BCF，BC平面BCF，AB平面BCF（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH，则OHAB，OHAB1由（1）知EFAB，且EFAB，EFOH，且EFOH四边形EOHF是平行四边形E0FH，且EOFH1由
27、（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，FHAB，FHBC，ABBCB，FH平面ABCD，BC平面ABCD，FH平面ABCDE0平面ABCDAO平面ABCD，EOAOAOBD，EOBDO，EO平面EBD，BD平面EBD，AO平面EBDAEO是直线AE与平面BDE所成的角在RtAOE中，tanAEO直线AE与平面BDE所成角的正切值为【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，二面角的求法解题的关键是找到二面角的平面角21（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角（1）证明：ACBO1；（2）求二面角OACO1的余弦值【分析】（1
28、）由OAOO1，OBOO1，知AOB是所折成的直二面角的平面角，从而OAOB，进而推导出OCBO1，由此能证明ACBO1（2）推导出BO1平面AOC，设OCO1BE，过点E作EFAC于F，连结O1F，则O1FE是二面角OACO1的平面角，由此能求出二面角OACO1的余弦值【解答】证明：（1）由题设知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影因为tanOO1A，tanO1OC，所以OO1B60，O1OC30，从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1解：（2）由（1）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC设OC
29、O1BE，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1FAC所以O1FE是二面角OACO1的平面角由题设知OA3，OO1，O1C1，所以2，AC，从而，又O1EOO1sin30，所以sinO1FE，cosO1FE，二面角OACO1的余弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养22（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y26x+4y+40（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线axy+10与圆C交于A，B两点，
30、是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心
31、必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为1，即可求出直线axy+10的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在【解答】解：（1）由于圆C：x2+y26x+4y+40的圆心C（3，2），半径为3，|CP|，而弦心距d，所以d|CP|，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x2）2+y24；（2）把直线axy+10即yax+1代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a1）x+90由于直线axy+10交圆C于A，B两点，故36（a1）236（a2+1）0，即2a0，解得a0则实数a的取值范围是（，0）设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，2）必在l2上所以l2的斜率kPC2，kABa，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题
