1、专题三 压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系类型一 中点问题来源:ZXXK典例1 【山东省济南市2
2、018届高三上学期期末考试】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.（1）求椭圆的方程和直线的斜率；来源:Z.X.X.K（2）求面积的最大值.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】【2019四川省宜宾市质检】设椭圆的左焦点为，左顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线y=上找到一点，在
3、椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.类型二 垂直问题典例2 【天津市部分区2018届高三上学期期末考试】设椭圆的左焦点为，离心率为， 为圆的圆心.来源:Z#xx#k.Com（1）求椭圆的方程；_网（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知O为坐标原点，椭圆的两个焦点分别为.点在椭圆C上，
4、且P到的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程。(2)若过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过O，求直线l的方程类型三 面积问题典例3 【广东省肇庆市2019届高三第二次（1月)统一检测】已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁【举一反三】【2019吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点
5、， 是上的动点， 为的左焦点.（）求椭圆的方程；（）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.类型四 范围与定值问题来源:Z#xx#k.Com典例4 【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】已知椭圆 的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且 .（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】【福建省龙岩市2019届高三第一学
6、期期末教学质量检查】已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为（为坐标原点），且，求的取值范围.【精选名校模拟】1【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】已知椭圆：的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中，点，是平面内一点，直线的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为
7、曲线，过点的直线与相交于两点，以线段为直径的圆过点，求直线的方程3【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知椭圆：的焦距为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.4. 【广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测】已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且的面积为。（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，满足，其中是坐标原点，求的值。5. 【山东省德州市跃华中学2017-2018学年下学期高三模拟】设椭圆的离
8、心率是，A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点O到AB所在直线的距离为.（I）求椭圆C的方程；（）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），垂足为H，且，求证：直线恒过定点.6. 设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与x轴不重合，设P为圆A上一点，线段PB的垂直平分线交直线PA于E（1）证明为定值，并写出E的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，问：在轴上是否存在定点D使直线DM与DN的倾斜角互补，若存在求出D点的坐标，否则说明理由。7. 【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴相交于，.
9、（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：.8. 【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为_网()求椭圆的方程；学!()斜率为的直线交椭圆于，两点，且若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程9. 【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆的离心率，且经过点.（1）求椭圆方程；（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围来源:ZXXK10. 【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上.（1）求椭
10、圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线斜率的取值范围.11. 【山东省寿光市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.12. 【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. () 求椭圆的离心率；() 当时，求的面积；（）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时
11、，求的值 .13. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，直线与椭圆交于两点且为直角，为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）求长度的最大值.14. 【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.15. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知椭圆过， )两点_网(I)求椭圆的方程及离心率；()设点在椭圆上试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
