1、第10讲 数列填空压轴题1（百校联盟联考）已知首项为的数列的前项和为，若，且数列，成各项均不相等的等差数列，则的最大值为_【答案】【分析】由已知结合得，设前项等差数列的公差为，分析得，分析得，两式结合可得，求出，验证符合题意，验证不符合题意，利用反证法证得不符合题意，即可得解【解析】且，（*）；前项成各项均不相等的等差数列，设公差为，则，若，则，在（*）式中，令得，即，化简得；若，则，在（*）式中，令得，即，化简得；得，将代入得，则，符合题意若，则，在（*）式中，令得，不符合题意假设时符合题意，则，整理得，即即，又时，与等差数列矛盾，不符合题意故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的知
2、识，解题的关键是利用 将已知条件转换为，再分别分析，时是否符合题意，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题2（湖北宜昌高三期末（文）艾萨克牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出了一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列如果函数有两个零点1和3，数列为牛顿数列，且，则数列的通项公式为_【答案】【分析】根据函数有两个零点1和3可将写成零点式，再利用求得关于的地推公式，进而根据求得的通项公式即可【解析】函数有两个零点1和3可得故由题意得故，故故数列是以为首项， 公比为2的等比数列故【点睛】本题主要考查了新定
3、义的问题方法，需要根据题意找到对应的数列的递推关系，从而推导出为等比数列属于难题3（河北石家庄正定中学高三月考）若数列满足，且对任意都有，则的最小值为_【答案】8【分析】根据题意，分析数列的前5项，结合递推公式分析可得在在中，最大为，设，分析可得，且，将其变形可得，可以得到数列是首项为2，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列通项公式，则有，据此分析恒成立可得答案【解析】根据题意，数列满足，当时，有，则，分析可得：在中，最大为，设，则有，且，变形可得：，数列是首项为682，公比为的等比数列，则，则，即，又为递增数列，且，若对任意任意都有成立，则，即的最小值为8，故答案为8【点睛】本题
4、考查数列的递推公式，注意查找规律，分析局部数列的性质是解题的关键，属于难题4（超级全能生1月联考（文）各项均为正数的等比数列，满足，且，成等差数列，数列满足，数列的前项和，则_【答案】【分析】根据条件可得，得，进而得设，由和与项的关系可得，再由累加计算，利用错位相减即可得解【解析】各项均为正数的等比数列，设公比为，由，可得，即，得，成等差数列，即，得，设，则时，满足，累加得：记，则，两式作差得：，即，【点睛】思路点睛：由等比数列的基本量运算可得，由前n项和，由可得通项公式（注意验首项），由利用累加法求通项，利用错位相减求，本题的所涉及的求通项的方法较多，考查了学生的计算能力5（辽宁大连高三期末
5、）已知数列通项公式，若数列是递减数列，则实数的取值范围为_【答案】【分析】首先构造函数，对函数求导，对的范围进行讨论，转化为比较数列两项之间的大小，从而求得结果【解析】构造函数，则，由，得，当时，只需，即，得，即，当时，只需，即，即，综上，实数的取值范围为，故答案为：【点睛】关键点点睛：该题考场的是有关数列与导数的综合题，在解题的过程中，根据数列单调减，构造函数，研究函数的单调性，正确解题的关键是需要明确利用函数研究数列的性质的时候，注意函数定义域为正整数集，再者就是不需要其在上单调减，还有需要考虑特定项的大小比较6（浙江温州高三期末）已知正数数列满足，且对任意，都有，则的取值范围为_【答案】
6、【分析】由已知可得出，解得，结合，可得，令，求出数列的最大项的值，可得出的取值范围，进而可得出的取值范围【解析】由题意可知，对任意，都有，则，则，整理可得，解不等式可得，当时，令，则数列为单调递减数列，下面来说明，当时，对任意的，由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，则，可得，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，则，可得，假设当时，由于函数在上为增函数，则，可得由上可知，当时，对任意的，综上所述，的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式恒成立求数列首项的取值范围，解题的关键就是由得出关于的不等式，通过解不等式可得出关于数列不等式恒成立，进而转化为数列最值来
7、求解7（福建三校联考）已知数列满足奇数项成等差，公差为d，偶数项成等比，公比为q，且数列的前n项和为，若，则正整数_【答案】2【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差，公比，分别讨论为奇数和偶数时，结合等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求值【解析】，又，奇数项成等差，公差为，偶数项成等比，公比为，可得，解得，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，当为奇数时，由，可得，即，当时，不合题意；当时，右边小于2，左边大于2，等式不成立；当为偶数时，可得，解得综上，【点睛】关键点睛：解决本题，一是要注意运用基本量来确定数列，二是要注意分奇偶讨论8（洛阳理工学院附属中学高三月考（理
8、）设数列满足，且，设，若，则整数_【答案】2【分析】先求出，再裂项相消得到，即得的值【解析】，又，由题得，【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法9（邵东市第一中学高三月考）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则的值为_【答案】【分析】先根据题意得当时，集合中元素的个数为满足，进而得，再结合裂项相消求和即可得答案【解析】根据题意得：，进而得，在各区间中的元素个数为：，当时，的值域为，集合中元素的个数为满足：， ，【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知条件得当时
9、， ，故，进而利用裂项相消求和法求和即可得答案10（安徽五校联考）已知是等比数列的前项和，为的公比且若，则下列命题中所有正确的序号是_；【答案】【分析】构造函数，证明出，由，可推导出，可判断的正误，然后分、进行分析，可判断的正误，利用作差法可判断的正误【解析】构造函数，其中，则当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增，即，进而得，错误；，则，即若，则，则，即，这与矛盾；若，则，由，可得，这与矛盾综上所述，正确；，正确，错误故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列有关命题正误的判断，在由进行推导时，可充分利用不等式来构造不等式关系来推导，同时在求解有关等比数列的基本问题时，通常分
10、析出等比数列的首项和公比，结合等比数列的通项公式和求和公式来求解11（肥东县综合高中高三期中（文）记数列的前项和为，已知，且若对任意的，都有，则实数的取值范围为_【答案】【分析】在已知式中用代得另一等式，两式相减可证得数列是等差数列，由求出，得公差，从而可得前项和，令，求出后确定数列的最大值，得的取值范围【解析】依题意，则，两式相减，可得，为等差数列，由，得，又，解得，则，令，当时，数列单调递减，而，故【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的地推公式，属于中档题，本题解题关键为设出，根据，得到数列单调递减，从而得到数列的最大值12（海伦市第一中学高三月考）已知函数定义在上，满足，且数列，若，则_
11、【答案】【分析】令可得，再令可得，可判断是奇函数，进一步可得，得出为等比数列，则可得出，进而判断和均为公差为6的等差数列，即可讨论奇偶进行计算【解析】定义在上，满足，令时，可得，令，则，即，即是定义在的奇函数，又，是首项为1，公比为2的等比数列，即，则，两式相减得，和均为公差为6的等差数列，当n为奇数时，当n为偶数时，【点睛】本题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是先得出是奇函数，由此得出判断为等比数列，进而可求得，判断出和均为公差为6的等差数列13（内蒙古呼和浩特高三月考（理）已知集合，为正整数，若集合中所有元素之和为2019，则当取最大值时，集合_（用列举法表示集合）【答案】【分析】由题
12、意利用等差数列的前n项和公式，分类讨论n，得出结论【解析】集合，为正整数，A中共有n个正整数，且这n个正整数从小到大排列，构成以k+1为首项，以1位公差的等差数列若集合A中所有元素之和为，当n为偶数时，设n=2m，m为正整数，m=3，2k+2m1=673，即m=3，n=6，k=333，即当为奇数时，设，为正整数，即，故n的最大值为6，此时【点睛】关键点点睛：本题转化为等差数列求和，注意分n为奇数、偶数两种情况分类讨论，属于创新性题目，难度中等14（浙江数海漫游联考）已知单调递增的数列满足、成等比数列，、成等差数列，则的取值范围是_【答案】【分析】设等差数列、的公差为，设等比数列、的公比为，推导
13、出，然后分和两种情况讨论，分别得出和，结合数列的单调性可求得的取值范围【解析】设等差数列、的公差为，则，且，设等比数列、的公比为，则，且，由题意可得，即，由不等式的基本性质可得，当时，则，可得，即，此时，由可得，又，此时；当时，则，可得，即，此时，由可得，则，此时综上所述，的取值范围是【点睛】对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的基本量之间的关系，本题中需要对等比数列的公比进行分类讨论，并充分利用不等式的基本性质进行求解15（渝中区重庆巴蜀中学高三月考）设数列的前项和为，已知，若，则的最小值是_【答案】4【分析】根据已知条件先求解出，再利用求解出，将不等式化简求解出的取值
14、范围，从而的最小值可求【解析】，是等比数列且，又，当时，则有，又，化简得，解得或，则【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，其中涉及构造法求通项公式以及利用求的通项公式，难度较难16（安徽省六安中学高三开学考试（文）如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，记其前项和为，则_【答案】361【分析】将按照奇偶分别计算：当 为偶数时，；当为奇数时，计算得到答案【解析】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，当为偶数时，当为奇数时，解法二：当时，当时，17（安徽皖江名校联盟联考）由数列和的公共项组成的数列记为，已知，若为递增数列，且，则=_【
15、答案】352【分析】由已知，设，逐一推导下一项有等量关系的和的值，得到，从而求出时和的值【解析】由已知，设，即，不是正整数，不是公共项， 故，故当时，故【点睛】本题考查等差和等比数列的应用，考查递推关系的应用，考查学生的分析能力和推导能力，属于难题18（浙江温州浙鳌高级中学高三月考）数列满足：对任意非负整数，均有若，则该数列中小于2019的最大的一项等于_【答案】【分析】先根据题意令特殊值得，得，进而令并整理得，故数列是等差数列，首项为，公差为，再结合累加法求得，进而根据通项公式即可求解【解析】根据题意令得：，解得，令时，整理得：，进而令得，令得，有，整理得：，数列是等差数列，首项为，公差为，
16、根据累加法得：，显然当时，满足题意，该数列中小于2019的最大的一项等于【点睛】本题考查利用地推公式证明数列是等差数列，累加法求通项公式，考查运算能力，是难题19（广东深圳明德学校高三月考）已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则_【答案】【分析】由等差数列的求和公式，求得，得到，利用分组求和，即可求解【解析】由题意，数列满足，则，则，则【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差数列的通项公式和求和公式，合理应用分组求和求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力20（天一大联考）已知为等差数列的前项和，若为数列中的项，则_【答案】2
17、【分析】本题首先可设等差数列的公差为，然后根据得出，根据得出，两式联立，即可得出，再然后令，则，根据为8的约数以及是奇数得出的可能取值为，最后分为、两种情况进行讨论，即可得出结果【解析】设等差数列的公差为，即，联立，解得，令，则，为8的约数，是奇数，的可能取值为，当时，是数列中的第5项；当时，不是数列中的项，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查判断数是否是数列中的项，考查等差数列通项公式的求法，能够根据判断出的可能取值为是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题21（安徽合肥高三二模（文）如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下
18、方得到依次类推，则该数表中，第n行第1个数是_【答案】【分析】观察数表得出规律：每一行都成等差数列，且第行公差为，设第n行第1个数是，可得出与的递推关系，然后构造等差数列求通项公式【解析】观察数表，得出每一行都成等差数列，且第行公差为，因此设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，从而可得，从而，是等差数列，公差为，【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是观察出数表中的规律本题有一个规律是每一行都成等差数列，且第行公差为，然后根据数表的生成方法得出相邻两第一个数之间的关系，结合数列的知识求得结论22（四川名校联盟联考）设数列满足，为的个位数字，则的值为_【答案】【分析】用累加法求得通项，根据求出的前
19、几项，得出是周期数列，从而可得求的和【解析】由已知可得时，用累加法可得时适合上式，与余数相同故，故是以为周期的周期数列，故【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式，考查分组求和法求通项公式除公式法外，如果递推式是数列前后的差，则可用累加法求解，如果是前后项的商，则可用连乘法求解这是两种基本方法，有时还可能通过求出数列的前几项，归纳出数列的性质，得出结论23（河南新乡高三二模（理）已知数列满足，现有如下四个结论：是单调递增数列；，；数列的前项和为其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】由递推关系可判断是首项为1，公比为2的等比数列，即可得出，由此可分别判断每个选项的正误【解析】，又，是首项为
20、1，公比为2的等比数列，则，即，则是单调递增数列，故正确；且，故正确；若，则，此方程无整数解，则不正确，数列的前项和为故所有正确结论的序号是【点睛】关键点睛：本题考查数列的相关计算，解题的关键是得出是首项为1，公比为2的等比数列，求得24（河南高三一模（理）设正数数列的前项和为，数列的前项之积为，且，则数列的通项公式是_【答案】【分析】由递推关系可得，求出前几项，可猜想出，再加以验证，利用即可求出【解析】当时，即，则，当时，则，整理可得，则可得，则猜想，代入检验得，满足猜想，当时，【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列得通项公式，解题的关键是根据递推关系先得出，利用猜想得出25（江西九校
21、3月联考）数列满足，为其前项和，则_【答案】5151【分析】讨论当是奇数时，；结合，所有的奇数项都等于，当是偶数时，分别计算奇数项的和、偶数项的和即可求解【解析】，可得，当是奇数时， ，是偶数，两式相减可得：，当是偶数时，是奇数，两式相加可得：，当是奇数时，；，可得，可得，当是偶数时，【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通
22、项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解26（江西吉安模拟）定义：若数列满足，则称该数列为函数的“切线零点数列”已知函数有两个零点、，数列为函数的“切线零点数列”，设数列满足，数列的前项和为，则_【答案】【分析】根据二次函数的零点可求得、的值，求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得【解析】有两个零点、，由韦达定理可得，解得，由题
23、意得，又，数列是首项为，公比为的等比数列，【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和27（山西阳泉高三期末（文）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是_【答案】【分析】由化简可得，从而可得，由知，则从而解得【解析】，即，即，故，由知，；若对任意，恒成立，只需使，即，解得，故【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用28（兴义市第二
24、高级中学高三期末（理）定义表示实数中的较大的数已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为_【答案】7254【分析】参数进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据求得的值可得答案【解析】由题意，当时，因此是周期数列，周期为，不合题意，当时，同理是周期数列，周期为，【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由依次求出），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数进行分类讨论解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的
25、知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题29（江西上饶高三一模（文）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为_【答案】【分析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解【解析】设等比数列的公比为，则（常数），数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，同理可得，因此，【点睛】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则30（陕西渭南高三一模（文）已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比_【答案】【分析】时，与矛盾；时，利用等比数列的求和公式代入可求出，再代入即可求得m的值从而求得公比q【解析】当数列的公比时，与矛盾，故不符合题意当时，即，则31（八省适应性考试）对于正
26、整数n，设是关于x的方程的实数根记，其中表示不超过x的最大整数，则_；设数列的前n项和为则_【答案】0 1010 【分析】（1）当时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果（2）令，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即得范围，分类讨论为奇数和偶数时，求得结果【解析】（1）当时，设单调递减，（2）令，则方程化为：，令，则在单调递增，由零点存在定理可得：，当，当，当， ，故答案为：0；1010【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题32（浙江温州高三二模）有一种病毒在人群
27、中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的型；感染病毒尚未康复的型；感染病毒后康复的型（所有康复者都对病毒免疫）根据统计数据：每隔一周，型人群中有95%仍为型，5%成为型；型人群中有65%仍为型，35%成为型；型人群都仍为型若人口数为的人群在病毒爆发前全部是型，记病毒爆发周后的型人数为型人数为，则_；_（用和表示，其中）【答案】 【分析】由题意，列出关系式，结合等比数列的定义，求得为等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解【解析】由题意，可得 ，由可得，代入可得，则，数列为等比数列，由可得，整理得，综上可得，故答案为：，【点睛】解决数列与数学文化相交汇问题的关键：（1）读懂题意
28、：会脱去数学文化的背景，读懂题意；（2）由题意，构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型；（3）利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项，通项公式或前项和的公式33（四川乐山高三月考（文）在数列中，为的前项和，关于的方程有唯一的解则（1）_；（2）若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为_【答案】 【分析】设知：为偶函数，（1）根据偶函数的对称性，及题设方程有唯一解，有时方程成立，即得，进而写出数列通项；（2）由（1）及已知可得，令得，即知先减后增，进而求的取值范围【解析】设，则为偶函数，（1）由关于的方程有唯一的解，知是该方程的唯一解，则有，数列为等差数列，而，易得，则（2）由，可得，
29、则有恒成立，令，则，易得，当时，当时，有，从而得，即的取值范围为【点睛】关键点点睛：（1）应用函数思想，根据偶函数的对称性且对应方程的解唯一，确定的关系，进而写出数列通项公式；（2）由（1）所得数列通项，将题设不等式转化为，令，判断其增减性，进而求参数范围34（四川乐山高三月考（理）在数列中，为的前项和关于的方程有唯一的解则（1）_；（2）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_【答案】 【分析】设知：为偶函数，（1）根据偶函数的对称性，及题设方程有唯一解，有时方程成立，即得，进而写出数列通项；（2）由（1）及已知可得，令得，即知先减后增，进而求的取值范围【解析】设，则为偶函数，（1）由关
30、于的方程有唯一的解，知是该方程的唯一解，则有，数列为等差数列，而，易得，则；（2）由，可得，则，令，则，易得，当时，当时，有，当为偶数时，从而得；当为奇数时，从而得；综上可得得取值范围为【点睛】关键点点睛：（1）应用函数思想，根据偶函数的对称性且对应方程的解唯一，确定的关系，进而写出数列通项公式；（2）由（1）所得数列通项，将题设不等式转化为，令，判断其增减性，进而求参数范围35（浙江湖州湖州中学高三月考）已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是_若，且，则整数_【答案】 【分析】由题意得出，由化简可解得，可得出的取值范围；当时，计算得出，可求得，由可求得的取值范围，进而可求得整数的值【解析】对任意的，由，即，解得，由于，由于数列是递增数列，则，可得，化简可得，解得，的取值范围是，等式两边取倒数可得，当时，故答案为：；【点睛】本题考查利用数列的单调性求的取值范围，同时也考查了裂项相消法，考查计算能力，属于难题
