1、题三 压轴解答题第三关 以解析几何中与抛物线相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物
2、线与圆锥曲线的交汇问题类型一 中点问题典例1【江西省九江市2019第一次高考模拟统一考试】已知抛物线的焦点为，直线与相切于点，（）求抛物线的方程；（）设直线交于两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程。【解析】（）设，联立方程，得由，得，解得故抛物线的方程为（）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：xmy+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程可得y24my4n0，16m2+16n0，y1+y24m，y1y24n，|AB|8，可得nm2，2m，2m2+nm2m2+11213，当且仅当m2+1，即m21，即m1，T到y轴的距离的最小值为3，此时n1，直线的方程为xy
3、10.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为6（1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值【解析】（1）由题意设抛物线方程为（），其准线方程为，到焦点的距离等于到其准线的距离，此抛物线的方程为学_类型二 垂直问题典例2 【安徽省皖南八校2018届高三第二次（12月）联考】过抛物线的焦点作直线与抛
4、物线交于两点，当点的纵坐标为1时， .（）求抛物线的方程；（）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【解析】（） 的准线方程为，当点纵坐标为1时， ， ， 势物线的方程为. （）在上， ， 又,设方程为，由得， 令， ，则， ， ， ， ,，或0， 当时， 过点（舍），方程为. 【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理！网【举一反三】【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.（1）求该抛物线的方程；（
5、2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为： ，联立，得，则.设，则. 即，得： ，即或，代人式检验均满足，直线的方程为： 或.来源:直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.类型三 面积问题典例3 【山东省滨州市2019届高三期末考试】已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.（1）求抛物线的方程；（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.【解析】（1）由抛物线的定义知，点到抛物线的准线的距离为7， 又抛物线的准线
6、方程为，所以，解得.故抛物线的方程为.（2）由题意可知的方程为，设，由消去，整理得，则，.又点到直线的距离，则.因为，同理可得，由，得，解得，即或.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键【举一反三】【福建省泉州市2019届高三1月单科质检】在平面直角坐标系中，已知点是轴与圆的一个公共点（异于原点），抛物线的准线为，上横坐标为的点到的距离等于.（1）求的方程；（2）直线与圆相切且与相交于，两点，若的面积为4，求的方程.（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为， 则，所以，由化简得，判
7、別式，且直线与轴交于点，所以，因为，或，所以，所以方程是或.类型四 范围与定值问题典例4【湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷】已知为坐标原点，抛物线上在第一象限内的点到焦点的距离为，曲线在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴（）求点的坐标；（）设不经过点和的动直线交曲线于点和，交于点，若直线， ， 的斜率依次成等差数列，试问： 是否过定点？请说明理由【解析】（）由抛物线上的点到焦点的距离为，得，所以，则抛物线方程为，故曲线在点处的切线斜率，切线方程为，令得，所以点（）由题意知，因为与相交，所以设，令，得，故，设， ，_网由消去得，则， ，直线的斜率为，同理直线的斜率为，直线的斜率为因
8、为直线， ， 的斜率依次成等差数列，所以，即，即整理得： ，因为不经过点，所以，所以故，即恒过定点【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】【福建省宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测】在平面直角坐标系中，过动点作直线的垂线，垂足为，且满足，其中为坐标原点，动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点作与轴不平行的直线，交曲线于，两点，点，记，分别为，的斜率，求证：为定值.【解析】（）设，则，来源:Zxxk.Com，.，代入整理得，曲线的方程为
9、.（）设直线的方程为，联立，整理得，设，则，为定值.【精选名校模拟】1. 【湖北省2019届高三1月联考测试】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆的周长为.（1）求抛物线的方程；（2）已知不与轴垂直的动直线与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和直线于、两点，试求的值.【解析】（1）的外接圆的圆心必在线段的中垂线上且外接圆与准线相切，外接圆的周长为外接圆的半径 即抛物线的方程为（2）解法一：由题知直线的斜率存在且不为0 可设：由消去得直线与抛物线只有一个公共点，即直线：与准线交于即 同理 2【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】已知
10、点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为. 直线与抛物线交于两点，且线段的中点为.（）求直线的方程.（）点是直线上的动点，求的最小值.【解析】（）抛物线的准线方程为 ,抛物线方程为 设, 直线的方程为即 （）都在直线上，则，设8分又当时，的最小值为3 【河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，且.（1）求抛物线的方程；（2）圆与抛物线顺次交于四点，所在的直线过焦点，线段是圆的直径，求直线的方程._网（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.设，则，故的中点为，.又因为，所以的斜率为，过的中点，所以的方程为，即.将上式代入，并整理得.设
11、，则，故的中点为，.因为是直径，所以垂直平分，所以四点在同一个圆上等价于，所以，即，化简得，解得或，所以或.4. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；（2）求的取值范围.【解析】（1）设，则，由抛物线的定义知.（2）设，直线的方程为.由得即，.由，得. 由抛物线的定义知，.则.因为，所以.故的取值范围是.5. 已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.（1）求抛物线的标准方程；来源:Z#xx#k.Com（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点
12、，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】（1）当时， 即联立 消得 由 所以抛物线的标准方程为；（2）设，则，则即；同理： ；.由在直线上，即（1）；由在直线上将（1）代入 （2）将（2）代入方程，易得直线过定点6. 【湖北省荆门市龙泉中学2019年高三年级11月月考】已知抛物线的焦点坐标为（1）求抛物线的标准方程.（2）若过的直线与抛物线交于两点，在抛物线上是否存在定点,使得以为直径的圆过定点.若存在，求出点,若不存在，说明理由.【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，所以，所以a=2，故得方程为.（2）设，由于直线斜率一定存在，故设,联立得，由题知,即即，即化简可得：，当时等式恒成立，故
13、存在定点（2,2）7. 【河北省廊坊市省级示范校高中联合体2019届高三上学期第三次联考】设抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，.（1）求抛物线的方程；（2）已知过点作直线与抛物线相切于点，证明：.【解析】（1）解：由题意可知，的方程为，设，由，得，故，所以，所以，故抛物线的方程为.（2）证明：设点，因为，所以.切线方程为，即.令，可解得，所以.所以，所以.8. 【五省优创名校2019届高三联考】在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x2）2y21外切，且圆P与直线x1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（2，0）的动直线l与曲线C交于A，
14、B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以，显然动直线l的斜率存在且非零，设l：xty2，联立方程组，消去x得y28ty160，由0得t1或t1，所以y1y28t，y1y216，且y1y2，代入式得，令（m为常数），整理得，因为式对任意t（，1）（1，）恒成立，所以，所以或，即M（2，4）或M（2，4），即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，4）满足题意9.在平面
15、直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点N到焦点的距离是3. （1）求此抛物线的方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由【解析】（1）抛物线准线方程是， ， 故抛物线的方程是. （2）设，由得， 由得且. ， ，同理由得，即：， ， ，得且，由且得，的取值范围为 10. 设点，动圆经过点且和直线相切记动圆的圆心的轨迹为曲线 （）求曲线的方程; （）过点作互相垂直的直线、分别交曲线于和,求四边形面积的最小值【解析】（）过点作垂直直线于点依题意得所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线
16、的抛物线即曲线的方程是（）依题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，由得的方程为将代入 化简得设 则同理可得四边形的面积当且仅当 即时，故四边形面积的最小值是11. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知抛物线的焦点为，是上一点，且.来源:Z+xx+k.Com（1）求的方程；（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点.【解析】（1）解：根据题意知，因为，所以. 联立解的，. 所以的方程为. 由点的任意性，得，所以.即直线恒过定点.13. 【贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点O，
17、以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）（1）求抛物线C的方程；设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|求直线AB的斜率【解析】 ()根据题意,设抛物线C的方程为由抛物线C经过点, 得,所以抛物线C的方程为()因为, 所以, 来源:Z_X_X_K所以, 所以直线PA与PB的倾斜角互补, 所以根据题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为:, 将其代入抛物线C的方程,整理得设,则,所以以-k替换点A坐标中的k,得所以 , 所以直线AB的斜率为-1._网14己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4（1）求动点P的
18、轨迹的方程；（2）过点B的直线与，分别交于点M ,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积【答案】（1） ；（2）QxMABOy试题解析：(1)不妨设点在点左侧，则设，则整理得：所以动点的轨迹C2的方程为 5分没有y的范围扣1分 (2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C2的方程，整理得(k24)x22k2xk240(*)设点M的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xM，从而yM，点M的坐标为 7分同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)*网由题意可知AMAQ，且，即 k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k 10分所以的面积为 12分
