1、专题三 压轴解答题第五关 以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出2本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用类型一用导数研究函数的性质典例1 【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊
2、断性考试】已知函数（1）讨论函数的单调区间；学_（2）若函数的极小值大于，求实数的取值范围【解析】（1）定义域为 单调递增区间为时，由 单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间为：单调递增区间：故：单调递增区间是单调递增区间是单调递增区间是单调递减区间是单调递增区间为【名师指点】利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用的到的方法为：1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式和定义域求交集得单调递增区间；解不等式和定义域求交集得单调递减区间.学!2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求的根
3、，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求的根，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】【福建省泉州市2019届高三1月单科质检】已知函数（1）当时，证明在单调递减；（2）当时，讨论的零点个数.【解析】（1）当时，令，则，在上为减函数，且，令，得，所以的递增区间为，同理，可得的递减区间为，所以即，故在单调递减.（2）
4、由（1）得时，在单调递减，又，所以时，有一个零点.因为定义域为，故与有相同的零点，令，则，当时，时，时，所以，无零点，也无零点.学_当时，令，得或1-0+0-，当时， 当即时， 故有一个零点，也有有一个零点.综上可知，当时，无零点；当时，有一个零点.类型2 导数、函数与不等式典例2 已知函数（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：【答案】（1）；（2）存在实数，使得当时有最小值3；（3）详见解析【解析】（1）在上恒成立，令，有得，得（2）假设存在实数，使有最小值3，当时，在
5、上单调递减，（舍去），当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件当时，在上单调递减，（舍去），综上，存在实数，使得当时有最小值3【名师指点】证明不等式成立，可以构造函数，通过证明函数的最小值大于等于零即可，可是有时候利用导数求函数最小值不易，可以通过特例法，即证明的最小值大于等于的最大值即可【举一反三】【湖南省郴州市一中2018届高三十二月月考理科】设函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明： .【解析】（1）当时， ， ，当时， ， 在上单调递减；当时， ， 在上单调递增；当时， ， 在上单调递减.所以，当， 取得极小值；当时， 取得极大值.所以.令，则，在上， ， 是增函数；在上， ，
6、 是减函数，所以，所以，即，即，由此可知. 类型三、恒成立及求参数范围问题典例3 【广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测】已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围。【解析】（1)当时，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即.（2）由可得，即.因为，所以.令，则.令则（8分）因为，所以，所以在上单调递增，则， 所以，即实数的取值范围.【名师指点】将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁
7、是参数”的原则常用方法有参变分离法和构造函数法【举一反三】【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】设函数，.来源:ZXXK（1）讨论函数的单调性，并指出其单调区间；（2）若对恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由，得，.当时，在上单调递减，当时，当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，故当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）原不等式等价于在上恒成立，即在上恒成立，令，只需在上恒成立即可.又因为，所以在处必大于等于0.令，由，可得.当时， .因为，所以，又，故在时恒大于0，所以当时，在上单调递增，所以，故也在上单调递增，所以，即在上恒大于0.综上，.【精选名校模
8、拟】1【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知函数，其中，设为导函数.（）设，若恒成立，求的范围；（）设函数的零点为，函数的极小值点为，当时，求证：.【解析】（）由题设知，.当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故在处取到最小值，且.由于恒成立，所以.（）设，则.设，则，故在上单调递增.因为，所以，,故存在，使得，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故是的极小值点，因此.由（）可知，当时，.因此 ，即单调递增.由于，即，即，所以 .又由（）可知，在单调递增，因此.2【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知函数.（1）证明：当时，的导函数的最小值不小于0；（2）
9、当时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）证明：，令，则.则当时，当时，.所以函数，即在取得最小值，.（2）解：当时，即.令，则.令，则.当时，单调递增，.则当时，所以单调递减.当时，所以单调递增.所以，所以.3【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求证: 当时，._网（）法一：因为，令得 显然当时，所以，在区间上的变化情况如下表:0极小值所以在区间上单调递减，在单调递增，所以在上的最小值为，所以只需证明因为，所以 设，其中 所以 当时，所以在区间单调递增，因为 ，所以，问题得证法二：因为，所以当时，设，其中所以所以，的变化情况
10、如下表: 0极小值所以在区间上单调递减，在上单调递增，所以函数在时取得最小值，而 所以时 所以，问题得证 法三： 因为“对任意的，”等价于“对任意的，” 即“，”，故只需证“时，” 设，其中 所以 设，,令，得所以，的变化情况如下表: 0极小值所以在处取得极小值，而 所以 所以时，所以在上单调递增，得 而，所以 问题得证4【北京市丰台区2018-2019学年度高三第一学期期末】设函数（）当时，求证：；学+（）如果恒成立，求实数的最小值【解析】（）因为，所以 . 当时，恒成立，所以 在区间上单调递增， 所以. （）因为，所以. 当时，由（）知，对恒成立； 来源:当时，因为，所以.因此在区间上单调
11、递增，所以对恒成立； 当时，令，则，来源:因为，所以恒成立，因此在区间上单调递增， 且，所以存在唯一使得，即.所以任意时，所以在上单调递减.所以，不合题意. 综上可知，的最小值为1.5【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末】已知函数（）若时，求的单调区间和极值；（）当时，若函数有两个极值点，求的最大值.【解析】（I）由已知可知，当时，当x（0，1），有f（x）0，当x（1，+）若f（x）0，则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）内单调递减则当x=1时，函数取得极大值，无极小值.（II）,且由已知可得即方程有两个不相等的实数根由韦达定理和判别式可得：其中，则 ，得，设，6【贵州省遵
12、义市2019届高三年级第一次联考试卷】设为实数，函数。(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，。【解析】f（x）=ex2x+2a，xR，f（x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2于是当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（，ln2），单调递增区间是（ln2，+），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln22ln2+2a=2（1ln2+a），无极大值（2）证明：设g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知当aln21时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1ln2+a）0于是对任意xR，都
13、有g（x）0，所以g（x）在R内单调递增于是当aln21时，对任意x（0，+），都有g（x）g（0）而g（0）=0，从而对任意x（0，+），g（x）0即exx2+2ax10，故exx22ax+17【四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题】已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）若对任意恒有，求实数的取值范围.【解析】（1）由于，则，则当时， ，所以，即在上是增函数，于是在上的最小值为_网8【福建省宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测】已知函数，曲线在原点处的切线斜率为-2.（）求实数，的值；（）若，求证：当时，.【解析】解法一：（）依题意得，又的图象在
14、原点处的切线斜率为-2，即，.（）当时，设，且.当时，在定义域上单调递减，当时，恒成立，即.当，时，.又，恒成立，即.，时，.综上所述，若，当时，.解法二：（）同解法一（）令当时，.令，在单调递减.得，当时，.9【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考理科】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意， 当时，令，得或，令，得，可知的增区间为，减区间为； 当时，令，得，令，得或，可知的增区间为，减区间为，. 综上，当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为，. （2），即， 令， 则，令，则. 若，当时，从而在上单调递增，
15、因为，故当时，即，从而在上单调递增，因为，故当时，恒成立，符合题意；若，当时，恒成立，从而在上单调递减，则，即时，从而在上单调递减，此时，不符合题意； 若，由，得，当时，故在上单调递减，则，即，故在上单调递减，故当时，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为10【2018安徽马鞍山联考】已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，在上单调递增， .实数的取值范围为.11【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】已知函数.（）设是的极值点，求的值；
16、（）在（）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；（）当时，证明：.学_【解析】（），x=0是f（x）的极值点，解得m=1经检验m=1符合题意. （）由（ ）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+） 设g（x）=ex（x+1）-1，则g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（-1，+）上为增函数，又g（0）=0，所以当x0时，g（x）0，即f（x）0；当-1x0时，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；因此，的最小值为在定义域内恒成立,即 （）证明：要证，即.设,即证当m2，x（-m，+）时，故只需证明当m=2
17、时，.当m=2时，函数在（2，+）上为增函数，且故在（2，+）上有唯一实数根，且（1，0）当时，当时，,从而当时，取得最小值 由，得，即，故综上，当m2时， 即m12【山东省德州市2019届高三期末联考】已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）若在恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）定义域是，当时，由令，使，当时，单调递减；当时，单调递增；由，将代入得：（2）由 当时，在单调递增，满足题意；当时，在单调递增，需解得，来源:Zxxk.Com当时，使当时，单调递减；当时，单调递增；，不恒成立，综上，实数的取值范围是.13【北京市朝阳区2018-2019学年度高三期末】已知函数.（）当时，求
18、函数的极小值；（）当时，讨论的单调性；（）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【解析】（）当时：，令解得，又因为当，函数为减函数；当，函数为增函数.所以，的极小值为.（）（1）当时，令，得.因为当时，当时，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（）当时，由（）可知在上单调递增，且，此时在区间上有且只有一个零点.（）当时，由（）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，在区间上有且只有一个零点；当时，函数在区间上无零点.()当时，由（）的单调性结合，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.14【河北省张家口市2019届高三上学期期末考试】已知函数 .（1）若，使得恒成立，求的取值范围.（2）设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：.【解析】（1）恒成立，即恒成立，令， ，由于，则在单调递减，在单调递增，故 ，解得.（2）证明：因为为的中点，则，故 ,故要证，即证，由于，即证.不妨假设，只需证明，即.设，构造函数，则，则有，从而.
