1、2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合P1，4，Q3，5，则U（PQ）（）A2，6B2，3，5，6C1，3，4，5D1，2，3，4，5，62（5分）函数f（x）+log3（82x）的定义域为（）ARB（2，4C（，2）（2，4）D（2，4）3（5分）已知a，b，c，则（）AabcBacbCcabDcba4（5分）已知幂函数y（m22m2）在（0，+）单调递增，则实数m的值为（）A1B3C1或3D1或35
2、（5分）在空间四边形ABCD中，ACBD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是（）A梯形B矩形C正方形D菱形6（5分）已知函数f（x）2x2mx+3在2，+）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A（，8B（，3C2，+）D13，+）7（5分）方程exx20的解的个数是（）A0B1C2D38（5分）函数f（x）log2（x2+2x+3）的单调递增区间是（）A（，1）B（3，1）C（1，1）D（1，+）9（5分）有一长方体木块，其顶点为ABCDA1B1C1D1，AB3，BC2，AA11，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点C1，则小虫爬行的最短距离为（）AB
3、3C2D10（5分）已知函数f（x）是偶函数，且在0，+）上是增函数，若f（log2x）f（1），则x的取值范围是（）A（0，2）B（0，）（1，+）C（，2）D（0，1）（2，+）11（5分）函数f（x）xln|x|的图象大致为（）ABCD12（5分）已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）1，当a，b1，1，且a+b0时，0成立，若f（x）m22am+1对任意的a1，1恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）0（2，+）B（，2）（2，+）C（2，2）D（2，0）（0，2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上）13（5分）函数yloga（2x1）
4、+2的图象恒过定点P，则点P坐标为 14（5分）已知函数f（x），则f（2）+f（log23）的值是 15（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2xc，则f（2） 16（5分）定义区间（c，d），c，d），（c，d，c，d的长度均为dc，其中dc已知函数y|2x1|的定义域为a，b，值域为，则区间a，b长度的最大值与最小值的差 三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）计算下列各式的值：（1）log327+lg25+lg4+log42；（2）已知a+a15，求a2+a2和的值18（12分）已知函数f（x）loga（2+x
5、）loga（2x），（a0，且a1）（）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（）求满足f（x）0的实数x的取值范围19（12分）如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面（）计算圆柱的表面积；（）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比20（12分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点（1）求证：直线EG平面BDD1B1（2）求直线EG与DD1所成角的正切值21（12分）我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P（x）（其中t为关税的税率，
6、且t0，），x为市场价格，b、k为正常数）当t时的市场供应量曲线如图所示（1）根据图象求b、k的值（2）当关税的税率t时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？22（12分）已知二次函数f（x）满足f（0）f（1）1，且f（x）的最小值是（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）x+m在区间（1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围；（3）函数g（x）f（x）（2t1）x，对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4恒成立，求实数t的取值范围2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共
7、12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，集合P1，4，Q3，5，则U（PQ）（）A2，6B2，3，5，6C1，3，4，5D1，2，3，4，5，6【分析】进行并集、补集的运算即可【解答】解：PQ1，3，4，5；U（PQ）2，6故选：A【点评】考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算2（5分）函数f（x）+log3（82x）的定义域为（）ARB（2，4C（，2）（2，4）D（2，4）【分析】要使得f（x）有意义，显然需满足，这样解该不等式组即可求出f（x）的定义域【解答】解：要使f（x）有意义，则；解得2x4
8、；f（x）的定义域为（2，4）故选：D【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，对数的真数大于03（5分）已知a，b，c，则（）AabcBacbCcabDcba【分析】直接利用指数函数及对数函数的单调性求解【解答】解：0a301，blog310，c，cab故选：C【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了指数函数及对数函数的单调性，是基础题4（5分）已知幂函数y（m22m2）在（0，+）单调递增，则实数m的值为（）A1B3C1或3D1或3【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再判断m是否满足条件【解答】解：幂函数y（m22m2）在（0，+）单调递增，m22m21，解得m
9、3或m1；又m2+m10，m3时满足条件，则实数m的值为3故选：B【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题5（5分）在空间四边形ABCD中，ACBD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是（）A梯形B矩形C正方形D菱形【分析】作出空间四边形ABCD，连接AC，BD，连接四边中点得到一个四边形，证明它是一个菱形【解答】解：如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，EHFG，EFHG；四边形EFGH是平行四边形，又ACBD，HGACBDEH，四边形EFGH是菱形故选：D【点评】本题考查
10、了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题6（5分）已知函数f（x）2x2mx+3在2，+）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A（，8B（，3C2，+）D13，+）【分析】若函数f（x）2x2mx+3在2，+）上为增函数，则，解得答案【解答】解：若函数f（x）2x2mx+3在2，+）上为增函数，则，解得：m（，8，故选：A【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键7（5分）方程exx20的解的个数是（）A0B1C2D3【分析】利用方程的解的个数，转化为函数的图象的交点的个数，利用数形结合求解即可【解答
11、】解：方程exx20的解的个数等于函数yex，yx+20，图象交点的个数，如图所示，可知函数yex，yx+20的图象有两个交点故选：C【点评】本题考查函数与方程的应用漫画书的零点个数的求法，考查数形结合以及计算能力8（5分）函数f（x）log2（x2+2x+3）的单调递增区间是（）A（，1）B（3，1）C（1，1）D（1，+）【分析】先求得函数的定义域，本题即求tx2+2x+3在定义域内的增区间，再利用二次函数得性质得出结论【解答】解：由函数f（x）log2（x2+2x+3），可得x2+2x+30，求得1x3，故函数的定义域为x|1x3 函数f（x）log2（x2+2x+3）的单调递增区间，即
12、tx2+2x+3在定义域内的增区间而tx2+2x+3在定义域内的增区间为（1，+1），故选：C【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题9（5分）有一长方体木块，其顶点为ABCDA1B1C1D1，AB3，BC2，AA11，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点C1，则小虫爬行的最短距离为（）AB3C2D【分析】分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可【解答】解：分三种情况：当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面 A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短此时最短距离为；当小虫沿着表面经过棱A1B1
13、时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC爬，最短距离为：3；当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面1BBCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为：2，比较，3，2的大小可知，3最小故选：B【点评】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离属中档题10（5分）已知函数f（x）是偶函数，且在0，+）上是增函数，若f（log2x）f（1），则x的取值范围是（）A（0，2）B（0，）（1，+）C（，2）D（0，1）（2，+）【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|log2x|1，即1log2x1，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】
14、解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在0，+）上是增函数，若f（log2x）f（1），则有|log2x|1，即1log2x1，解可得x2，即x的取值范围为（，2）；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题11（5分）函数f（x）xln|x|的图象大致为（）ABCD【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可【解答】解：f（x）xln|x|xlnxf（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x时，f（）ln|ln0，排除C，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识
15、别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键12（5分）已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）1，当a，b1，1，且a+b0时，0成立，若f（x）m22am+1对任意的a1，1恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）0（2，+）B（，2）（2，+）C（2，2）D（2，0）（0，2）【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：a，b1，1时，且ab时，根据增函数定义推广得函数f（x）在1，1上是增函数，从而求得最大值为f（1）1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对a恒成立，就可以求出m的范围【解答】解：f（x）是定义在1，1上的奇函数，当a，b1，1
16、，且ab时，有成立，f（x）是定义在1，1上的增函数，f（x）maxf（1）1，f（x）m22am+1对任意的x1，1恒成立f（x）maxm22am+1，1m22am+1，即2amm20对任意的a1，1恒成立令g（a）2amm2，则2amm20对任意的a1，1恒成立 转化为：解得：m2 或m2故选：B【点评】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可属难题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上）13（5分）函数yloga（2x1
17、）+2的图象恒过定点P，则点P坐标为（1，2）【分析】令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得对数函数的图象经过的定点的坐标【解答】解：函数yloga（2x1）+2，令2x11，求得x1，y2，可得函数yloga（2x1）+2的图象恒过定点P（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题14（5分）已知函数f（x），则f（2）+f（log23）的值是5【分析】推导出f（2）log242，f（log23）3，由此能求出f（2）+f（log23）的值【解答】解：函数f（x），f（2）log242，f（log23）3，f（2）+f（log23）2+35故答
18、案为：5【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2xc，则f（2）3【分析】根据题意，由函数为奇函数可得f（0）0可求c，根据所求函数解析式可先求f（2），再根据f（2）f（2）即可求解【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x0时，f（x）2xc，f（0）1c0，c1，又由当x0时，f（x）2x1，f（2）3，又由函数为奇函数，则f（2）f（2）3，故答案为：3【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键是充分利用奇函数的性质16（5分）定义区间（c，d），c，d），（c
19、，d，c，d的长度均为dc，其中dc已知函数y|2x1|的定义域为a，b，值域为，则区间a，b长度的最大值与最小值的差1【分析】函数的图象，如图所示，y|2x1|，x1或，求出区间a，b长度的最大值与最小值，即可得出结论【解答】解：函数的图象，如图所示，y|2x1|，x1或，故a，b的长度的最大值为（1）+1，最小值为0，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为1【点评】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）计算下列各式的值：（1）log327+l
20、g25+lg4+log42；（2）已知a+a15，求a2+a2和的值【分析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解（2）利用指数的性质、运算法则直接求解【解答】解：（1）log327+lg25+lg4+log423+lg100+3+2+（2）a+a15，a2+a2（a+a1）2225223（a+a）2a+a1+25+27，0，【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）已知函数f（x）loga（2+x）loga（2x），（a0，且a1）（）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（）求满足f（x）0的实数x的取值范围【分析】（
21、）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得f（x）f（x），即可得结论；（）根据题意，f（x）0即loga（2+x）loga（2x），分a1与0a1两种情况讨论可得x的取值范围，综合即可得答案【解答】解：（）根据题意，f（x）loga（2+x）loga（2x），则有，解可得2x2，则函数的定义域为（2，2），又由f（x）loga（2x）loga（2+x）f（x），则f（x）是奇函数；（）由f（x）0得loga（2+x）loga（2x）当a1时，解得0x2；当0a1时，解得2x0；当a1时x的取值范围是（0，2）；当0a1时x的取值范围是（2，0）【点评】本题考查函数的单调性与奇偶
22、性的应用，注意判断奇偶性要先求出函数的定义域，属于综合题19（12分）如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面（）计算圆柱的表面积；（）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比【分析】（）由已知可得圆柱和圆锥的高为h2r，圆锥和球的底面半径为r，直接由圆柱表面积公式求得圆柱的表面积；（）分别求出图中圆锥、球、圆柱的体积，作比得答案【解答】解：（）已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为h2r，圆锥和球的底面半径为r，则圆柱的表面积为；（）由（）知，圆锥、球、圆柱的体积比为：2r31：2：3【点评】本题考查柱、锥、球体积的求
23、法，考查圆柱表面积的求法，是中档题20（12分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点（1）求证：直线EG平面BDD1B1（2）求直线EG与DD1所成角的正切值【分析】（1）连接SB，则EGSB，由此能证明直线EG平面BDD1B1（2）取BD的中点O，连接SO，则SODD1，EGSB，从而BSO为直线EG与DD1所成角，由此能求出直线EG与DD1所成角的正切值【解答】证明：（1）如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB，又SB平面BDD1B1，EG不在平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1（6分）解：（2）取BD的中点O，连接
24、SO，则SODD1，由（1）知EGSB，则BSO为直线EG与DD1所成角，设ABa，则SOa，BD，BOa，tanBSO，直线EG与DD1所成角的正切值为（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P（x）（其中t为关税的税率，且t0，），x为市场价格，b、k为正常数）当t时的市场供应量曲线如图所示（1）根据图象求b、k的值（2）当关税的税率t时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？【分
25、析】（1）根据待定系数法即可求出k，b的值，（2）根据指数函数的图象和性质可得（x5）210，解得即可【解答】解：（1）由图可知，解得，解得k6，b5，（2）由（1）可得P（x），设m（16t）（x5）2，当t时，m（x5）2，市场供应量P不低于1024时，2m1024，解得m10，（x5）210，解得x10故市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为10【点评】本题考查了指数函数在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题22（12分）已知二次函数f（x）满足f（0）f（1）1，且f（x）的最小值是（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）x+m在区间（1，2）
26、上有唯一实数根，求实数m的取值范围；（3）函数g（x）f（x）（2t1）x，对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4恒成立，求实数t的取值范围【分析】（1）设f（x）ax2+bx+c（a0），则由f（0）1得c1，又f（1）a+b+c1，所以ab易知对称轴为，（x）的最小值是即可求解（2）转化为直线ym与函数yx22x+1，x（1，2）的图象有且只有一个交数形结合可得答案；（3）对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4成立，即|g（x1）g（x2）|max4，故有g（x）maxg（x）min4，讨论g（x）的最值问题，可得t的范围【解答】解：（1）设f（x）ax2+bx
27、+c（a0），则由f（0）1得c1，又f（1）a+b+c1，所以ab易知对称轴为，所以解得a1，b1，c1，所以f（x）x2x+1；（2）由方程f（x）x+m得mx22x+1，即直线ym与函数yx22x+1，x（1，2）的图象有且只有一个交点，作出函数yx22x+1在x（1，2）的图象易得当m0或m1，4）时函数图象与直线ym只有一个交点，所以m的取值范围是01，4）；（3）由题意知g（x）x22tx+1假设存在实数t满足条件，对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4成立，即|g（x1）g（x2）|max4，故有g（x）maxg（x）min4，由g（x）（xt）2t2+1，x4，5当t4时，g（x）在4，5上为增函数g（x）maxg（x）ming（5）g（4）4，所以；当时，g（x）maxg（x）ming（5）g（t）42510t+1t2+2t214即t210t+210解得3t7，所以当时，g（x）maxg（x）ming（4）g（t）4即t28t+120解得2t6所以当t5时，g（x）maxg（x）ming（5）g（4）4即，所以综上所述，所以当时，使得对任意x1，x24，5都有|g（x1）g（x2）|4成立【点评】本题一方面考查了二次函数的性质，要结合对数函数的图象来解决问题；另一方面要注意分类讨论
