1、2018-2019学年湖南省G10教育联盟高一（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）设集合Ax|log2x0，Bm|m22m0，则AB（）A（，2）B（0，1）C（0，2）D（1，2）2（5分）已知幂函数yf（x）的图象过点，则f（9）（）A3BC9D3（5分）函数f（x）lnx+3x10的零点所在的区间为（）A1，2B2，3C3，4D4，54（5分）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面） 若ab，b，则a若a，b，则ab 若ab，b，则a 若a，b，则ab其中正确命题的个数是（）A0个B
2、1个C2个D3个5（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为（）ABCD6（5分）函数f（x）x的图象关于（）Ax轴对称By轴对称C原点对称D直线yx对称7（5分）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）ABCD8（5分）已知函数f（x）（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）loga（xb）的图象是（）ABCD9（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2（，0）（x
3、1x2），都有0则下列结论正确的是（）Af（0.32）f（20.3）f（log25）Bf（log25）f（20.3）f（0.32）Cf（log25）f（0.32）f（20.3）Df（0.32）f（log25）f（20.3）10（5分）设奇函数f（x）在2，2上是减函数，且f（2）3，若不等式f（x）2t+1对所有的x2，2都成立，则t的取值范围是（）A1，1B（，1）C（1，+）D（，1）（1，+）11（5分）设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心球O的表面积为100，且ABC是边长为的正三角形，则三棱锥OABC的体积为（）A12B12C24D3612（5分）设a1，若对于任意的xa，2a
4、，都有ya，a2满足方程logax+logay3，这时a的取值集合为（）Aa|1a2Ba|a2Ca|2a3D2，3二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13（5分）已知函数f（x），g（x）log2x，若f（a）+f（g（2）0，则实数a的值为 14（5分）若abc0，且b2ac，则函数f（x）ax2+bx+c的零点个数是 15（5分）若函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m 16（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f（x+1）f（x1），已知当x0，1时，则下列命题：对任意xR，都有f（x+2）f（x）；函数f（x）在（1，2）上递减，在（2
5、，3）上递增；函数f（x）的最大值是1，最小值是0；当x（3，4）时，其中正确命题的序号有 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）计算：（1），（2）18（12分）如图，在三棱锥PABC中，PDBD，PDAC，BDAC，且AD1，CD2，BD1，PD2，E为PC上一点，PE（1）求证：DE平面PAB；（2）求异面直线AB和DE所成角的余弦值19（12分）已知函数f（x）log2（4x+1）ax（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a4，求函数f（x）的零点20（12分）某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市
6、场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p，其中k，b均为常数当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件（1）试确定k、b的值；（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q2xpq时，市场价格称为市场平衡价格当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值21（12分）如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的高为2，D是A1B的中点，E是B1C1的中点（ I）证明：DE平面ACC1A1；（ II）若三棱锥EDBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长22（12分）已知函数f（x），g（x）f（x）a（1）若函数
7、g（x）恰有两个不相同的零点，求实数a的值；（2）记S（a）为函数g（x）的所有零点之和，当1a2时，求S（a）的取值范围2018-2019学年湖南省G10教育联盟高一（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）设集合Ax|log2x0，Bm|m22m0，则AB（）A（，2）B（0，1）C（0，2）D（1，2）【分析】容易用区间分别表示集合A，B，然后进行并集的运算即可【解答】解：A（0，1），B（0，2）；AB（0，2）故选：C【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，对数函数的
8、单调性，以及并集的运算2（5分）已知幂函数yf（x）的图象过点，则f（9）（）A3BC9D【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可【解答】解：设f（x）x，则f（2）2，解得，则f（x），f（9）3，故选：A【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键3（5分）函数f（x）lnx+3x10的零点所在的区间为（）A1，2B2，3C3，4D4，5【分析】利用函数的连续与单调性，利用零点判定定理求解即可【解答】解：函数f（x）lnx+3x10在区间（0，+）上单调递增，且f（2）ln2+610ln240，f（3）ln310，f（2）f（3）0，函数f（
9、x）的零点位于区间2，3内故选：B【点评】本题考查函数的零点的判定定理的应用，考查计算能力4（5分）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面） 若ab，b，则a若a，b，则ab 若ab，b，则a 若a，b，则ab其中正确命题的个数是（）A0个B1个C2个D3个【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若ab，b，则a或a，故错误；若a，b，则ab或a，b异面，故错误； 若ab，b，则a或a，故错误； 若a，b，则ab或a，b异面，故错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养5（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
10、M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为（）ABCD【分析】A、M、C、C 1 四点不共面，由此能求出结果【解答】解：A、M、C、C1 四点不共面，直线AM与CC1 是异面直线，故错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故错误同理，直线BN与MB1 是异面直线，故正确；同理，直线AM与DD1 是异面直线，故正确；故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6（5分）函数f（x）x的图象关于（）Ax轴对称By轴对称
11、C原点对称D直线yx对称【分析】利用函数奇偶性的定义进行验证，可得函数 是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，由此可得函数图象关于原点对称【解答】解：，可得f（x）f（x）又函数定义域为x|x0函数f（x）在其定义域是奇函数根据奇函数图象的特征，可得函数f（x）图象关于原点对称故选：C【点评】本题给出函数f（x），要我们找f（x）图象的对称性，着重考查了函数的奇偶性与函数图象之间关系的知识，属于基础题7（5分）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）ABCD【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R2，正方体的
12、对角线的长为4，棱长等于，故选：D【点评】本题考查球的内接正方体问题，是基础题8（5分）已知函数f（x）（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）loga（xb）的图象是（）ABCD【分析】根据f（x）的图象可以求出a，b的范围，根据对数函数的图象和性质即可判断【解答】解：函数f（x）（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，1b0，a1，g（x）loga（xb）为增函数，xb0，xb，g（x）loga（xb）由ylogax的图象向左平移|b|的单位得到的，故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数的自变量的取值范围，属于基础题9（5分）定义在R上
13、的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2（，0）（x1x2），都有0则下列结论正确的是（）Af（0.32）f（20.3）f（log25）Bf（log25）f（20.3）f（0.32）Cf（log25）f（0.32）f（20.3）Df（0.32）f（log25）f（20.3）【分析】由对任意x1，x2（，0），且x1x2，都有0，可知f（x）在（，0）上是减函数，又由f（x）是R上的偶函数可得f（x）在（0，+）上是增函数，从而可得结论【解答】解：对任意x1，x2（，0），且x1x2，都有0，f（x）在（，0）上是减函数，又f（x）是R上的偶函数，f（x）在（0，+）上是增函数，0.3220.3
14、log25f（0.32）f（20.3）f（log25）故选：A【点评】本题考查了函数的性质的综合应用，特别要注意的是对任意x1，x2（，0），且x1x2，都有0，表达了f（x）在（，0）上是减函数，属于中档题10（5分）设奇函数f（x）在2，2上是减函数，且f（2）3，若不等式f（x）2t+1对所有的x2，2都成立，则t的取值范围是（）A1，1B（，1）C（1，+）D（，1）（1，+）【分析】求解f（x）在2，2上的最大值，即可求解f（x）2t+1成立，从而求解t的取值范围【解答】解：f（x）是奇函数，f（2）3，则f（2）3f（x）在2，2上是减函数，f（x）的最大值为f（2）3那么f（x）
15、2t+1对所有的x2，2都成立，可得：32t+1，t1故选：C【点评】本题主要考查奇偶性的运用和最值的求法，解集不等式恒成立问题11（5分）设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心球O的表面积为100，且ABC是边长为的正三角形，则三棱锥OABC的体积为（）A12B12C24D36【分析】先求球的半径，确定小圆中三角形ABC的特征，作出三棱锥OABC的高，然后解三角形求出三棱锥OABC的底面面积及三棱锥OABC的高，即可得到三棱锥OABC的体积【解答】解：表面积为48的球面，它的半径是R，则1004R2，R5，因为ABC是边长为的正三角形，ABBCAC4，三棱锥为正三棱锥，作OD平面ABC，
16、D为ABC的小圆的圆心，所以OD平面ABC，OD就是三棱锥OABC的高，CDOD3，则三棱锥OABC的体积为V12故选：B【点评】本题考查球的有关计算问题，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题12（5分）设a1，若对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程logax+logay3，这时a的取值集合为（）Aa|1a2Ba|a2Ca|2a3D2，3【分析】先由方程logax+logay3解出y，转化为函数的值域问题求解【解答】解：由logax+logay3，可得loga（xy）3，得，在a，2a上单调递减，所以，故a，即a2故选：B【点评】本题考查对数式的运算、反
17、比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大注意函数和方程思想的应用二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13（5分）已知函数f（x），g（x）log2x，若f（a）+f（g（2）0，则实数a的值为2【分析】直接利用分段函数的解析式，结合f（a）+f（g（2）0，列出方程求解即可【解答】解：因为函数f（x），g（x）log2x，所以g（2）log221，f（g（2）f（1）1，由f（a）+f（g（2）0，得f（a）1当a0时，因为f（a）a20，所以此时不符合题意；当a0时，f（a）a+11，解得a2故答案为：2【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力
18、14（5分）若abc0，且b2ac，则函数f（x）ax2+bx+c的零点个数是0【分析】转化为判断方程ax2+bx+c0根的个数问题，判别式法即可【解答】解：ax2+bx+c0，abc0，b2ac0，b24ac3ac0，方程ax2+bx+c0没有实根，即函数f（x）ax2+bx+c的零点个数是0故答案为：0【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于基础题15（5分）若函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m8【分析】令g（x）（x），则g（x）g（x），可得g（x）max+g（x）min0，从而可求M+m的值【解答】解：令g（x）（x），则g（x）g（x），g（x）max+g
19、（x）min0，函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，M+m8故答案为：8【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，求出g（x）max+g（x）min0是关键16（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f（x+1）f（x1），已知当x0，1时，则下列命题：对任意xR，都有f（x+2）f（x）；函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；函数f（x）的最大值是1，最小值是0；当x（3，4）时，其中正确命题的序号有【分析】将x换为x+1，求得f（x）的周期可判断；由偶函数的性质和指数函数的单调性可判断；由指数函数的单调性和f（x）的
20、周期性可判断；运用已知区间的解析式，结合偶函数和周期性可判断【解答】解：由f（x+1）f（x1），可得f（x+2）f（x+1）+1f（x+1）1f（x），故正确；当x0，1时，f（x）（）1x为增函数，由f（x）为R上的偶函数，可得x1，0时，f（x）为减函数，结合函数的周期为2，可得函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故正确；当x为奇数时，函数f（x）的最大值是1，当x为偶数时，函数的最小值是，故错误；当x（3，4）时，x4（1，0），可得f（x4）（）1+x4f（x），故正确故答案为：【点评】本题考查函数的周期性，单调性，最值，对称性，注意运用定义法和转化思想，属于
21、中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）计算：（1），（2）【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解（2）利用对数性质、运算法则直接求解【解答】解：（1）2（427）+242+1210（2）22+2【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）如图，在三棱锥PABC中，PDBD，PDAC，BDAC，且AD1，CD2，BD1，PD2，E为PC上一点，PE（1）求证：DE平面PAB；（2）求异面直线AB和DE所成角的余弦值【分析】（1）欲证明DE平面PAB，直线证得
22、DE与平面PAB内的一条直线平行即可（2）由（1）知DEAP则异面直线AB和DE所成角是PAB由余弦定理解答即可【解答】（1）证明：AD1，CD2，PE，2，DEAPAP平面PAB，DE平面PAB，DE平面PAB；（2）解：由（1）知DEAP则异面直线AB和DE所成角是PABPDAC，AD1，PD2，由勾股定理得到：AP2AD2+PD212+225BDAC，AD1，BD1，由勾股定理得到：AB2AD2+BD212+122PDBD，PD2，由勾股定理得到：PB2PD2+BD222+125cosPAB【点评】本题考查直线与平面平行的证明，异面直线及其所成的角，求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用
23、相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线19（12分）已知函数f（x）log2（4x+1）ax（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a4，求函数f（x）的零点【分析】（1）根据偶函数的定义建立恒等式f（x）f（x）在R上恒成立，从而求出a的值即可；（2）将a4代入，令f（x）0然后解对数方程，先求出4x的值，然后利用对数表示出x的值即可【解答】解：（1）f（x）是R上的偶函数f（x）f（x）即f（x）f（x）0log2（4x+1）a（x）log2（4x+1）ax02x+2ax0即a1（2）若a4，f（x）log2（4x+1）4x令f（x）0，log2（4x+1）4
24、x4x+124x（4x）24x10或（舍）【点评】本题主要考查了偶函数的性质，以及函数的零点，同时考查了对数方程的求解，属于中档题20（12分）某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p，其中k，b均为常数当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件（1）试确定k、b的值；（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q2xpq时，市场价格称为市场平衡价格当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值【分析】（1）根据“关系式：p2（1kt）（xb）2，
25、及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到从而求得结果（2）当pq时，可得2（1t）（x5）22x，可求得t1+1+，由双勾函数f（x）x+在（0，4上单调递减，可知当x4时，f（x）有最小值【解答】解：（1）由已知可得：，解得：b5，k1（2）当pq时，2（1t）（x5）22x（1t）（x5）2xt1+1+，而f（x）x+在（0，4上单调递减，当x4时，f（x）有最小值，此时t1+取得最大值5；故当x4时，关税税率的最大值为500%【点评】本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法21（12分）如图所示，正三棱柱A
26、BCA1B1C1的高为2，D是A1B的中点，E是B1C1的中点（ I）证明：DE平面ACC1A1；（ II）若三棱锥EDBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长【分析】（）连接AB1，AC1，推导出DEAC1，由此能证明DE平面ACC1A1（）由VEDBCVDEBC，作AFBC交BC于F，由正三棱柱的性质，得AF平面BCC1B1，设底面正三角形边长为a，则三棱锥DEBC的高hAF，由此能求出该正三棱柱的底面边长【解答】证明：（）如图，连接AB1，AC1，（1分）由题意知D是AB1的中点，又E是B1C1的中点，所以在B1AC1中，DEAC1，（3分）又DE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，所
27、以DE平面ACC1A1（5分）解：（）VEDBCVDEBC，（6分）D是AB1的中点，D到平面BCC1B1的距离是A到平面BCC1B1的距离的一半，如图，作AFBC交BC于F，由正三棱柱的性质，得AF平面BCC1B1，设底面正三角形边长为a，则三棱锥DEBC的高hAF，（9分），2，（11分）解得a2该正三棱柱的底面边长为2（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题22（12分）已知函数f（x），g（x）f（x）a
28、（1）若函数g（x）恰有两个不相同的零点，求实数a的值；（2）记S（a）为函数g（x）的所有零点之和，当1a2时，求S（a）的取值范围【分析】（1）由题意可得函数g（x）有两不同的零点等价于函数f（x）的图象与直线ya有两不同的交点，作出f（x）的图象，即可得到所求值；（2）由图象可设零点为x1，x2，x3，x4，则x1a2，x2log2（a+2），由x2时，f（x）|x5|1的图象关于直线x5对称，x3+x410，即可得到所求范围【解答】解：（1）由g（x）0得f（x）a，函数g（x）有两不同的零点等价于函数f（x）的图象与直线ya有两不同的交点，在同一坐标系中，作函数f（x）和直线ya的图象如图所示：由图可知，当且仅当a1时，直线ya与函数f（x）的图象有两不同的交点，即函数g（x） 有两不同的零点，可得实数a1；（2）当1a2时，由（1）图可知，函数g（x）有四个不等的零点，从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，则x1a2，x2log2（a+2），由x2时，f（x）|x5|1的图象关于直线x5对称，x3+x410，可得S（a）log2（a+2）+a+8，当1a2时，函数S（a）为增函数，即有7log2（a+2）+a+812，则S（a）的取值范围是（7，12）【点评】本题考查分段函数的图象和运用：求零点个数和求和，注意运用平移法和对称性，考查转化思想和运算能力，属于中档题
