1、2017-2018学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）下列关于集合的关系式正确的是（）A00B0C0D2，33，22（5分）若直线l的倾斜角为45，且经过点（2，0），则直线l的方程是（）Ayx+2Byx2CD3（5分）已知函数，则ff（3）的值是（）A24B15C6D124（5分）已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如表：5（5分）设alog32，c2log32，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDcab6（5分）已知空间直角坐标系Oxyz中，点A（
2、1，1，3）关于z轴的对称点为A'，则A'点的坐标为（）A（1，1，3）B（1，1，3）C（1，1，3）D（1，1，3）7（5分）函数f（x）的大致图象如图所示，则它的解析式是（）ABf（x）log2（x+1）Cf（x）x2D8（5分）下列命题中，错误的是（）A平行于同一条直线的两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C一个平面与两个平行平面相交，交线平行D一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交9（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC1与平面AB1所成角的余弦值是（）ABCD10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）AB8C2
3、0D2411（5分）若曲线C：x2+y22ax4ay+4a230上所有的点都在x轴上方，则a的取值范围是（）A（，1）B（，1）（1，+）C（1，+）D（0，1）12（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数a、b当a+b0时，都有如果存在实数x1，3，使得不等式f（xc）+f（xc2）0成立，则实数c的取值范围是（）A（3，2）B3，2C（2，1）D2，1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为 14（5分）方程4x+1+72x20的解为 15
4、（5分）已知过P（3，4）点的直线l与x轴，y轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 16（5分）已知函数f（x）（xR）满足f（2x）f（x），若函数与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知集合Ax|3x6，Bx|x4，Cx|m5x2m+3（1）求AB；（2）若AC，求实数m的取值范围18（12分）已知ABC的三个顶点是A（1，1），B（1，
5、3），C（3，2），直线l过C点且与AB边所在直线平行（1）求直线l的方程；（2）求ABC的面积19（12分）已知关于x的函数f（x）x22ax+5（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a1时，对任意t1，a，记f（t）的最小值为n，f（t）的最大值为m，且n+m3，求实数a的值20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AD4，BCCD2，PAPCPD，ADBC且ADDC，O，M分别为AC，PA的中点（1）求证：BM平面PCD；（2）求证：PO平面ACD；（3）若二面角PCDA的大小为60，求四棱锥PABCD的体积21（12分）已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数
6、f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若函数，求函数g（x）的零点22（12分）已知点P（2，1）是圆O：x2+y28内一点，直线l：ykx4（1）若圆O的弦AB恰好被点P（2，1）平分，求弦AB所在直线的方程；（2）若过点P（2，1）作圆O的两条互相垂直的弦EF，GH，求四边形EGFH的面积的最大值；（3）若，Q是l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D证明：直线CD过定点2017-2018学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）下列关于集合的关系式正确
7、的是（）A00B0C0D2，33，2【分析】利用元素与集合的关系、空集、单元素集、集合相等的性质直接求解【解答】解：在A中，元素0是集合0的元素，00，故A正确；在B中，中没有元素，集合0中有一个元素0，0，故B错误；在C中，0是元素，是集合，0，故C错误；在D中，2，33，2，故D错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、空集、单元素集、集合相等的性质等基础知识，是基础题2（5分）若直线l的倾斜角为45，且经过点（2，0），则直线l的方程是（）Ayx+2Byx2CD【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程即可【解答】解：直线l的倾斜角为45，直线的斜率为：1直线经过点
8、（2，0），可得y0x2即yx2故选：B【点评】考查学生掌握直线的倾斜角与斜率的关系，以及会根据斜率和一点写出直线的点斜式方程3（5分）已知函数，则ff（3）的值是（）A24B15C6D12【分析】由函数的解析式可得f（3）23323，f（3）6，即可得答案【解答】解：根据题意，函数，则f（3）23323，f（3）6，则ff（3）6；故选：C【点评】本题考查分段函数的函数值的计算，关键是分段函数解析式的形式，属于基础题4（5分）已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如表：x12468y1241664256y214163664y30122.5853则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好
9、的一组函数模型是（）ABCD【分析】观察题中表格，根据函数的变化趋势即可求出【解答】解：从题表格可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数函数变化，变量y3的增长速度最慢，对数型函数变化，故选：B【点评】本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用5（5分）设alog32，c2log32，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbacCbcaDcab【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：0log31alog32log331，log210，c2log32log341，a、b、
10、c的大小关系为bac故选：B【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5分）已知空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，1，3）关于z轴的对称点为A'，则A'点的坐标为（）A（1，1，3）B（1，1，3）C（1，1，3）D（1，1，3）【分析】空间直角坐标系Oxyz中，点（x，y，z）关于z轴的对称点为（x，y，z）【解答】解：空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，1，3）关于z轴的对称点为A'，则A'点的坐标为（1，1，3）故选：C【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系
11、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）函数f（x）的大致图象如图所示，则它的解析式是（）ABf（x）log2（x+1）Cf（x）x2D【分析】根据已知中的函数图象，分析函数的奇偶性及凸凹性，利用排除法可得答案【解答】解：由已知中函数f（x）的图象可得：函数为偶函数，故排除A，B，当x0时，函数为凸函数，故排除C，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的性质，难度不大，属于基础题8（5分）下列命题中，错误的是（）A平行于同一条直线的两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C一个平面与两个平行平面相交，交线平行D一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【分析】
12、平行于同一条直线的两个平面平行或相交；由面面平行的判定定理，可得结论；由面面平行的性质定理，可得结论；利用反证法，可得结论【解答】解：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，即A不正确；由面面平行的判定定理，可得平行于同一个平面的两个平面平行，即B正确；由面面平行的性质定理，可得一个平面与两个平行平面相交，交线平行，即C正确；利用反证法，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即D正确故选：A【点评】本题考查命题的真假判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题9（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC1与平面AB1所成角的余弦值是（）ABCD【分析】由B1C1平面
13、AB1，知AB1C1就是AC1与平面AB1所成角，在AB1C1中求得AC1与平面AB1所成角的余弦值【解答】解：设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，由B1C1平面AB1，可知AB1C1就是AC1与平面AB1所成角，在AB1C1中，故选：D【点评】本题考查线面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）AB8C20D24【分析】根据三视图知几何体为一平放的直四棱柱，结合图中数据求出四棱柱的体积【解答】解：由三视图知几何体为一平放的直四棱柱，且四棱柱的底面为直角梯形，棱柱的高为4；又直角梯形的上底为2，下底为3，高
14、为2，所以直角梯形的面积为（2+3）25，所以该四棱柱的体积为V5420故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题11（5分）若曲线C：x2+y22ax4ay+4a230上所有的点都在x轴上方，则a的取值范围是（）A（，1）B（，1）（1，+）C（1，+）D（0，1）【分析】根据题意，将曲线C的方程变形为（xa）2+（y2a）2a2+3，分析可得曲线C为为圆心为（a，2a），半径为的圆，据此分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，曲线C：x2+y22ax4ay+4a230，则有（xa）2+（y2a）2a2+3，为圆心为
15、（a，2a），半径为的圆，若曲线C：x2+y22ax4ay+4a230上所有的点都在x轴上方，则，解可得a1，则a的取值范围为（1，+）；故选：C【点评】本题考查圆的方程的综合应用，其中分析曲线C：x2+y2+2ax4ay+4a230表示的几何图形，是解答本题的关键12（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数a、b当a+b0时，都有如果存在实数x1，3，使得不等式f（xc）+f（xc2）0成立，则实数c的取值范围是（）A（3，2）B3，2C（2，1）D2，1【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得对任意实数a、b当a+b0时，都有0，即可得f（x）在R上为增函数，据此可以将原不等式
16、变形为2xc2+c，结合x的范围可得22x6，进而可得c2+c6，解可得c的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）是R上的奇函数，则f（x）满足对任意实数a、b当a+b0时，都有0，则函数f（x）在R上为增函数，则f（xc）+f（xc2）0f（xc）f（xc2）f（xc）f（c2x）xcc2x2xc2+c，又由实数x1，3，则22x6，若存在实数x1，3，使得不等式f（xc）+f（xc2）0成立，则有c2+c6，解可得：3c2，即c的取值范围为（3，2）；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及特称命题的定义，属于基础题二、填空题（每题5分，满分20分，将答
17、案填在答题纸上）13（5分）以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为3【分析】根据题意画出图形，结合图形得出旋转后的几何体是圆锥，由题中数据求得圆锥的表面积【解答】解：如图所示，以边长为2的正三角形ABC的一条高CD所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体是底面半径为1，高为的圆锥；则圆锥的表面积为Sr2+rl12+123故答案为：3【点评】本题考查了旋转体的表面积计算问题，是基础题14（5分）方程4x+1+72x20的解为x2【分析】推导出4（2x）2+72x20，解得2x或2x1（舍），由此能求出结果【解答】解：方程4x+1+72x20
18、，4（2x）2+72x20，解得2x或2x1（舍），解得x2故答案为：x2【点评】本题考查指数方程的解法，考查指数函数、对数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15（5分）已知过P（3，4）点的直线l与x轴，y轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为2x3y+60【分析】设直线l的斜率为k，由直线过（3，4）得到直线方程，求出直线l与x轴、y轴上的截距，由直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3列方程求出k的值，再验证是否满足题意即可【解答】解：设直线l的方程是yk（x3）+4，k0；它在x轴、y轴上的截距分别是+3，3k+4，由已知，得|（
19、3k+4）（+3）|6，可得（3k4）（3k4）6k或6k，解得k1或k2；k时，直线l的方程为：2x3y+60；k时，直线l的方程为：8x3y120，它所围成的三角形在第四象限，不合题意，舍去故答案为：2x3y+60【点评】本题考查了求直线l与两坐标轴围成的三角形面积计算问题，解题时应注意求线段应带绝对值，是中档题16（5分）已知函数f（x）（xR）满足f（2x）f（x），若函数与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y44【分析】根据两个函数都是以（1，0）为中心的对称图形，且对称中
20、右边有2个点，没对点的横坐标和为2，纵坐标和为0【解答】解：因为f（2x）f（x），f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，y的图象也是关于点（1，0）成中心对称图形，且（1，0）不是公共交点，所以x1+x2+x3+x4224，y1+y2+y3+y40，故答案为：4【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知集合Ax|3x6，Bx|x4，Cx|m5x2m+3（1）求AB；（2）若AC，求实数m的取值范围【分析】（1）利用集合的交集可得结果；（2）利用子集的概念和不等式的运算可得结果【解答】解
21、：（1）ABx|3x6x|x4x|3x4（2）因为Ax|3x6，Cx|m5x2m+3，所以当AC时，有，解得，所以实数m的取值范围是【点评】本题考查交集和子集的概念及不等式（组）的运算18（12分）已知ABC的三个顶点是A（1，1），B（1，3），C（3，2），直线l过C点且与AB边所在直线平行（1）求直线l的方程；（2）求ABC的面积【分析】（1）先求出直线AB的斜率为2，由lAB，得到直线l的斜率为2，由此能求出直线l的方程（2）先求出|AB|，再由点C到直线AB的距离d等于点A到直线l的距离，由此能求出ABC的面积【解答】解：（1）由题意可知：直线AB的斜率为：，lAB，直线l的斜率为2
22、，直线l的方程为：y22（x3），即2x+y80（2），点C到直线AB的距离d等于点A到直线l的距离，ABC的面积【点评】本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（12分）已知关于x的函数f（x）x22ax+5（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a1时，对任意t1，a，记f（t）的最小值为n，f（t）的最大值为m，且n+m3，求实数a的值【分析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得f（x）f（x），即x2+2ax+5x22ax+5，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，分析f（
23、x）在1，a上单调递减，据此可得n、m的表达式，则有5a2+62a3，即a2+2a80，解可得a的值，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，因为函数f（x）x22ax+5是偶函数，则有f（x）f（x），即x2+2ax+5x22ax+5，变形可得a0（2）根据题意，当a1时，函数f（x）x22ax+5在1，a上单调递减，所以nf（a）a22aa+55a2，mf（1）12a+562a，又n+m3，所以5a2+62a3，即a2+2a80，解得a2，a4（舍），所以a2【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AD4，BC
24、CD2，PAPCPD，ADBC且ADDC，O，M分别为AC，PA的中点（1）求证：BM平面PCD；（2）求证：PO平面ACD；（3）若二面角PCDA的大小为60，求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）取PD的中点N，连接MN，CN，得MNAD，MN，由已知BCAD，BC，得到四边形MNCB为平行四边形，则BMCN再由线面平行的判定可得BM平面PCD；（2）连接OD，由ADCD，得ODOAOC，进一步得到POCPOD，证明POAC，则POOD，可得PO平面ACD；（3）取CD的中点F，连接OF，PF可得PFO为二面角PCDA的平面角，则PFO60，由PO平面ABCD，求得PO，再求出梯形ABCD
25、的面积，则四棱锥PABCD的体积可求【解答】（1）证明：取PD的中点N，连接MN，CN，M为PA中点，MNAD，MN，由已知BCAD，BC，MNBC，MNBC，四边形MNCB为平行四边形，则BMCN又BM平面PCD，CN平面PCD，BM平面PCD；（2）证明：连接OD，ADCD，ODOAOC，又PAPCPD，POCPOD，又PAPC，O为AC中点，POAC，则POOD，ACODO，PO平面ACD；（3）解：取CD的中点F，连接OF，PFOFAD，CDAD，OFCD，又PCPD，F为CD的中点，PFCD，故PFO为二面角PCDA的平面角，则PFO60，PO平面ABCD，由已知，四边形ABCD为直
26、角梯形，【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题21（12分）已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若函数，求函数g（x）的零点【分析】（1）根据题意，分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）f（x），结合奇偶性的定义分析可得答案；（3）根据题意，由函数零点的定义可得函数g（x）的零点即方程g（x）0的根即的根，结合函数为奇函数可得，进而证明函数f（x）为定义域上的增函数，即可得，解可得x的值，验证可得答案【解答】解：（1）
27、根据题意，函数，必有，解可得：1x1，因此，f（x）的定义域为（1，1）（2）函数f（x）为奇函数，且f（x）的定义域为（1，1），对（1，1）内的任意x有：，所以，f（x）为奇函数（3）函数g（x）的零点即方程g（x）0的根即的根，又f（x）为奇函数，所以任取x1，x2（1，1），且x1x2，f（x1）f（x2）x1x2，x1，x2（1，1）且x1x2，（1x1）（1+x2）（1+x1）（1x2）2（x2x1）0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）在定义域（1，1）上为增函数，由得解得x2或，验证当x2时，1x21不符合题意，当时，符合题意，所以函数g（x）的零点为【点
28、评】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及函数定义域的计算，属于综合题22（12分）已知点P（2，1）是圆O：x2+y28内一点，直线l：ykx4（1）若圆O的弦AB恰好被点P（2，1）平分，求弦AB所在直线的方程；（2）若过点P（2，1）作圆O的两条互相垂直的弦EF，GH，求四边形EGFH的面积的最大值；（3）若，Q是l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D证明：直线CD过定点【分析】（1）由题意知ABOP，求出OP的斜率，得到AB所在直线当斜率，利用直线方程的点斜式得答案；（2）设点O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，把EF，GH的长度分别用d1，d2表示，得到四
29、边形EGFH的面积，转化为含有d1的函数，利用配方法求最值；（3）由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上，设，得到圆的方程为再由C、D在圆O：x2+y28上，可得直线CD的方程为，利用直线系方程求解【解答】（1）解：由题意知ABOP，kABkOP1，kAB2，因此弦AB所在直线方程为y12（x2），即2x+y50；（2）解：如图，设点O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，则，当时取等号四边形EGFH面积的最大值为11；（3）证明：由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上，设，则该圆的方程为，即：又C、D在圆O：x2+y28上，直线CD的方程为，即，由，得，直线CD过定点（1，2）【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用配方法求最值，考查直线恒过定点问题，是中档题
