1、2017-2018学年湖南省五市十校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，那么（）AMNBMNCNMDMN2（5分）在ABC中，（a+b）（sinAsinB）（cb）sinC，A（）ABCD3（5分）已知角的终边过点P（8m，6sin30），且cos，则m的值为（）ABCD4（5分）执行如图的程序框图，若输出S的值是55，则判断框内应输入（）An9？Bn10？Cn11？Dn12？5（5分）在ABC中，则ABC为（）A等腰直角三角形B等边三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形6（5分）在AB
2、C中，已知b，A30，c2，则（）ABC2D17（5分）在ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，则（）A（2，7）B（6，21）C（2，7）D（6，21）8（5分）在ABC中，（+）|2，则三角形ABC的形状一定是（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形9（5分）用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1160编号，按编号顺序平均分成20组（18号，916号，153160号）若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是（）A4B5C6D710（5分）已知向量，的夹角为45，且|1，|2|，则|（）AB2C3D411（5分
3、）已知函数f（x）sin2x+cos2xm在0，上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A（1，2）B1，2）C（1，2D1，212（5分）已知函数f（x）f（x），且当x（，）时，f（x）x+tanx，设af（1），bf（2），cf（3），则（）AabcBbcaCcbaDcab二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知统计某化妆品的广告费用x（千元）与利润y（万元）所得的数据如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x有较强的线性相关关系，且y0.95x+a，若投入广告费用为6千元，预计利润为 万元14（5分）为了在运行下面的程序之后
4、得到输出y25，键盘输入x应该是 15（5分）已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是 16（5分）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程17（10分）已知tan（+），tan（+）（1）求tan（+）的值；（2）求tan的值18（12分）南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开
5、展战略合作现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率19（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积20（12分）某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为
6、A等，小于80分者为B等（1）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（2）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？（3）在（2）问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率21（12分）已知（5cosx，cosx），（sinx，2cosx），设函数f（x）+|2+（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）当x，时，求函数f（x）的值域；（3）该函数yf（x）的图象可由ysinx，xR的图象经过怎样的变换得到？22（12分）已知向量（2sin，sin+cos），（cos，2m），函数f（）的最小值为g（m）（mR
7、）（1）当m1时，求g（m）的值；（2）求g（m）；（3）已知函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任意的x1，x2都满足h（x1+x2）h（x1）+h（x2）问：是否存在这样的实数m，使不等式h（f（）h（）+h（3+2m）0对所有0，恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由2017-2018学年湖南省五市十校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，那么（）AMNBMNCNMDMN【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得【解答】解：由题意可得Mx|x180+45，
8、kZx|x（2k+1）45，kZ，即45的奇数倍构成的集合，又Nx|x180+45，kZx|x（k+1）45，kZ，即45的整数倍构成的集合，MN，故选：B【点评】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题2（5分）在ABC中，（a+b）（sinAsinB）（cb）sinC，A（）ABCD【分析】根据题意，由正弦定理可得（a+b）（ab）（cb）c，变形可得b2+c2a2bc，据此由余弦定理可得cosA，结合A的范围分析可得答案【解答】解：根据题意，ABC中，（a+b）（sinAsinB）（cb）sinC，则有（a+b）（ab）（cb）c，变形可得：a2b2c
9、2bc，即：b2+c2a2bc，则cosA，又由0A，则A；故选：C【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意余弦定理的形式，属于基础题3（5分）已知角的终边过点P（8m，6sin30），且cos，则m的值为（）ABCD【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值【解答】解：由题意可得x8m，y6sin303，r|OP|，cos，解得m，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4（5分）执行如图的程序框图，若输出S的值是55，则判断框内应输入（）An9？Bn10？Cn11？Dn12？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值
10、，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得S0，n1执行循环体，S1，n2不满足判断框内的条件，执行循环体，S3，n3不满足判断框内的条件，执行循环体，S6，n4不满足判断框内的条件，执行循环体，S10，n5不满足判断框内的条件，执行循环体，S15，n6不满足判断框内的条件，执行循环体，S21，n7不满足判断框内的条件，执行循环体，S28，n8不满足判断框内的条件，执行循环体，S36，n9不满足判断框内的条件，执行循环体，S45，n10不满足判断框内的条件，执行循环体，S55，n11由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为5
11、5故判断框内的条件为n11？故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5（5分）在ABC中，则ABC为（）A等腰直角三角形B等边三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】由由条件利用二倍角的余弦公式可得，可得sinAcosC0，再结合三角形内角对应的函数值得C即可得到结论【解答】解：ABC中，若，cosA+1+1sinCcosAsinB，sinCcosAsin（A+C）sinAcosC+cosAsinCcosCsinA0又因为是三角形内角，cosC0，即 C，故ABC是 直角三角形，故选：C【点评】本题考查二倍角的余弦公式
12、，两角差的余弦公式，根据三角函数的值求角，得到sinAcosC0，是解题的关键6（5分）在ABC中，已知b，A30，c2，则（）ABC2D1【分析】由余弦定理可求a，利用正弦定理即可计算得解【解答】解：b，A30，c2，由余弦定理可得：a1，由正弦定理可得：，可得：故选：B【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题7（5分）在ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，则（）A（2，7）B（6，21）C（2，7）D（6，21）【分析】利用向量的坐标形式的运算法则求出，利用向量共线的充要条件求出，利用向量共线的充要条件求出【解答】解：（3，2）点Q是AC的中点（
13、6，21）故选：B【点评】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件：8（5分）在ABC中，（+）|2，则三角形ABC的形状一定是（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形【分析】利用向量的模的平方是向量的平方，再用向量的运算法则得到，据向量的数量积为0两向量垂直得三角形为直角三角形【解答】解：由，A90故选：C【点评】本题考查向量模的性质；向量的运算法则；向量垂直的充要条件9（5分）用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1160编号，按编号顺序平均分成20组（18号，916号，153160号）若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的
14、号码是（）A4B5C6D7【分析】按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这20个数成等差数列，a1x，a16126，d8（d是公差）【解答】解：设在第一组中抽取的号码是x（1x8）由题意可得分段间隔是8又第16组应抽出的号码为126x+158126解得x6第一组中用抽签方法确定的号码是6【点评】系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样10（5分）已知向量，的夹角为45，且|1，|2|，则|（）AB2C3D4【分析】将|2|平方，然后将夹角与|1代入，得到|的方程，解方程可得【解答】解：因为向量，的夹角为45，且|1，|2|，所以424+210，即
15、|22|60，解得|3或|（舍）故选：C【点评】本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想11（5分）已知函数f（x）sin2x+cos2xm在0，上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A（1，2）B1，2）C（1，2D1，2【分析】由题意可知g（x）sin2x+cos2x与直线ym在0，上两个交点，数形结合可得m的取值范围【解答】解：由题意可得函数g（x）2sin（2x+） 与直线ym在0，上两个交点由于x0，故2x+，故g（x）1，2令2x+t，则t，函数yh（t）2sint 与直线ym在，上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1m2，
16、故选：B【点评】本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题12（5分）已知函数f（x）f（x），且当x（，）时，f（x）x+tanx，设af（1），bf（2），cf（3），则（）AabcBbcaCcbaDcab【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x对称，f（x）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减由此可得a、b、c的大小关系【解答】解：函数f（x）f（x），函数f（x）的图象关于直线x对称又当x（，）时，f（x）x+tanx，故f（x）在（，）上单调递增，在x（，）上单调递减再根据af（1），bf（2），cf（3），可得f（2
17、）f（1）f（3），即 bac，故选：D【点评】本题主要考查正切函数的单调性，函数的图象的对称性，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知统计某化妆品的广告费用x（千元）与利润y（万元）所得的数据如表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x有较强的线性相关关系，且y0.95x+a，若投入广告费用为6千元，预计利润为8.3万元【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把6代入，预报出结果【解答】解：由题意，2，4.5，样本中心点为（2，4.5），数据的样本中心点
18、在线性回归直线上，0.95x+，4.50.952+，2.6，x6时，0.956+2.68.3万元故答案为：8.3【点评】本题考查线性回归方程，考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题14（5分）为了在运行下面的程序之后得到输出y25，键盘输入x应该是6【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y的函数值，将输出y25代入，构造方程，解方程，即可求对应的x值【解答】解：当x0时，25（x+1）2，解得：x6，或x4（舍去）当x0时，25（x1）2，解得：x6，或x4（舍去）即输入的x值为6故答案为：6【点评
19、】本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算属于基础题15（5分）已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是1【分析】根据题意，先求出满足条件的正方形ABCD的面积，再求出满足条件正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案【解答】解：满足条件的正方形ABCD如下图所示：其中正方形的面积S正方形4416；满足到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于2的平面区域如图中阴影部分所示则S阴影164，故该正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于1的概率是P1；故答案为：1【点评】本题考查
20、几何概型的计算，解题的关键理解几何概型的意义，即将长度、面积、体积的比值转化为事件发生的概率16（5分）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为5【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0ba），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0ba）则
21、（2，b），（1，ab），（5，3a4b）5故答案为5【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程17（10分）已知tan（+），tan（+）（1）求tan（+）的值；（2）求tan的值【分析】（1）先利用诱导公式对已知化简可得tan，然后把tan的值代入第二个式子可求tan（+）（2）利用拆角可得（+），结合（1）利用两角差的正切公式可求【解答】解：（1）tan（+），tan，tan（+），tan（+）（2）tantan（+），tan【点评】（1）主要考查了
22、诱导公式在三角函数化简中的应用（2）拆角技巧在求解三角函数值中的运用，常见的拆角有2（+）+（），2（+）（），+，+18（12分）南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分
23、）的概率【分析】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在90，100分的人数为12，竞赛成绩在80，90）的人数为20，由此能求出受奖励分数线（2）受奖励的20人中，分数在86，90）的人数为8，分数在90，100的人数为12，利用分层抽样，可知分数在86，90）的抽取2人，分数在90，100的抽取3人，设分数在86，90）的2人分别为A1，A2，分数在90，100的3人分别为B1，B2，B3，利用列举法能求出结果【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在90，100分的人数为0.0121010012，竞赛成绩在80，90）的人数为0.021010020，故受奖励分数线在
24、80，90）之间，（3分）设受奖励分数线为x，则（90x）0.02+0.012100.20，解得x86，故受奖励分数线为86（6分）（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在86，90）的人数为8，分数在90，100的人数为12，利用分层抽样，可知分数在86，90）的抽取2人，分数在90，100的抽取3人，（8分）设分数在86，90）的2人分别为A1，A2，分数在90，100的3人分别为B1，B2，B3，所有的可能情况有10种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），
25、满足条件的情况有3种：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），故所求的概率为p（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b，a+c4，求ABC的面积【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定
26、理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值【解答】解：（1）由正弦定理得：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，将上式代入得，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB0，即2sinAcosB+sin（B+C）0，A+B+C，sin（B+C）sinA，2sinAcosB+sinA0，即sinA（2cosB+1）0，sinA0，cosB，B为三角形的内角，B（2）将b，a+c4，B代入余弦定理b2a2+c22accosB得：b2（a+c）22ac2acco
27、sB，即即13162ac（1），ac3，SABCacsinB【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形熟练掌握定理及公式是解本题的关键属于中档题20（12分）某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等（1）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（2）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？（3）在（2）问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率【分析】（1）利用中位数、平均值的意义即可得
28、出；（2）利用分层抽样，即可求出，（3）利用列举法，古典概型的计算公式即可得出【解答】解：（1）女生共14人，中间两个成绩是75和76，它们的平均数为75.5因此女生的成绩的中位数是75.5男生的平均成绩（69+76+78+85+87+91）81（2）成绩不小于80分者为A等的有8人，小于80分者为12人，用分层抽样的方法从A和B中抽取5人，每个人被抽中的概率是，故A等中抽取82，B等中抽取123，（3）记选中的A等的大学毕业生A1，A2，选中的B等的大学毕业生为B，C，D从这5人中选2人的所以可能情况为：（A1，A2），（A1，B），（A1，C），（A1，D），（A2，B），（A2，C），（
29、A2，D），（B，C），（B，D），（C，D），共10种其中至少有1人是A等的结果有7种因此，至至少有1人是A等的概率是，【点评】熟练掌握中位数、平均值的意义、分层抽样及列举法、古典概型的计算公式是解题的关键21（12分）已知（5cosx，cosx），（sinx，2cosx），设函数f（x）+|2+（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）当x，时，求函数f（x）的值域；（3）该函数yf（x）的图象可由ysinx，xR的图象经过怎样的变换得到？【分析】（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）得解析式，再利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的周期性、以及图象的对称性，得出结论（2）由题
30、意利用正弦函数的定义域和值域，求得当x，时，函数f（x）的值域（3）根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解（1）已知（5cosx，cosx），（sinx，2cosx），设函数f（x）+|2+5sin xcos x+2cos2x+4cos2x+sin2x+5sin xcos x+5cos2x+sin 2x+5+5sin（2x+）+5，最小正周期为令2x+k，求得x，可得函数的图象的对称中心为（，5），kZ（2）对于函数f （x）5sin（2x+）+5，由x，得2x+，sin（2x+）1当x时，函数f（x）的值域为，10（3）把ysinx，xR的图象向左平移个单位，可得ysi
31、n（x+）的图象；再把横坐标变为原来的倍，可得ysin（2x+）的图象；再把所得图象上点的纵坐标变为原来的5倍，可得y5sin（2x+）的图象；再把所得图象向上平移5个单位，可得yf（x）5sin（2x+）+5的图象【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、以及图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于中档题22（12分）已知向量（2sin，sin+cos），（cos，2m），函数f（）的最小值为g（m）（mR）（1）当m1时，求g（m）的值；（2）求g（m）；（3）已知函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任意的x1，x2
32、都满足h（x1+x2）h（x1）+h（x2）问：是否存在这样的实数m，使不等式h（f（）h（）+h（3+2m）0对所有0，恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）把m1，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即可；（2）转化成二次函数问题，对对称轴的位置与区间，进行讨论；（3）利用函数h（x）为R上的奇函数，得到hsin2（2+m）（sin+cos）h（32m），然后，再根据函数的单调性，转化成sin2（2+m）（sin+cos）32m，最后，利用换元法tsin+cos，转化成m，求解函数g（t）在1，的最大值为3，从而解决问题【解答
33、】解：（1）f（）sin2（2+m）（sin+cos），令tsin+cos，t，sin2t21，当m1时，g（m）（t23t1）min13（2）f（）F（t）t2（m+2）t1，t，g（m），（3）h（x1+x2）h（x1）+h（x2），可令x1x20，可得h（0）0，由x1x，x2x，可得h（x）+h（x）0，可得函数h（x）为R上的奇函数，使不等式h（f（）h（）+h（3+2m）0对所有0，恒成立，只需使不等式hsin2（2+m）（sin+cos）+h（3+2m）0对所有0，恒成立，hsin2（2+m）（sin+cos）h（3+2m）h（32m），函数h（x）为定义在R上的增函数，sin2（2+m）（sin+cos）32m，令tsin+cos，sin2t21，0，t1，原命题等价于t21（m+2）t+3+2m0对t1，恒成立，（2t）m2tt2+2，m，由对勾函数的图象和性质，得：g（t）在1，为减函数，g（t）的最大值为3，m3时，原命题成立【点评】本题综合考查了三角函数的公式、三角恒等变换公式、二次函数最值、三角函数的图象与性质等知识，对于恒成立问题，一般思路是分离参数法，本题属于难题
