1、专题二 压轴解答题第六关 以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质类型一 以数列和项与通项关系定义新数列典例1【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列为“回归数列”，且对于任意，均有成立求数列的通项公式；求所
2、有的正整数s，t，使得等式成立【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2），使得等式成立的所有的正整数s，的值是s1，t3【解析】（1）假设是“回归数列”，则对任意，总存在，使成立，即，即，此时等式左边为奇数右边为偶数，不成立，所以假设不成立，所以不是“回归数列”（2）因为，所以，所以且，又因为为“回归数列”，所以，即，所以数列为等差数列又因为所以因为，所以因为，所以，又因为，所以，当时，式整理为，不成立，当时，式整理为，设，因为，所以时，时，所以，所以s无解当时，式整理，因为，所以s1综合所述，使得等式成立的所有的正整数s，的值是s1，t3典例2【2019上海静安区上学期期末】将个数，的
3、连乘积记为，将个数，的和记为（）（1）若数列满足，设，求；（2）用表示不超过的最大整数，例如，若数列满足，求的值；（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）【答案】（1）；（2）；（3）存在，且（3）若存在正整数n，则由已知得，且，因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+17=153项之后，且，共有个，所以，所以，解得所以存在正整数n=166，使得【名师指点】（1）准确转化，紧扣定义，区别已有概念；（2）恰当选取特例法、演绎法，结合性质求解；（3）耐心读题，挖出隐含条件，分析与综合相结合【举一反三】若数列同时满足：对于任
4、意的正整数，恒成立；对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得，成等差数列，证明： 是等差数列-网【答案】（1）是（2）见解析【解析】 所以，数列是“数列”（2）由题意可得： ，则数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为因为，所以，所以，所以，若，则当时，不成立；若，则当时，不成立；若，则和都成立，所以同理得： ，所以，记设 ，则同理可得： ，所以所以是等差数列网【另解】 ， ， ，以上三式相加可得： ，所以，来源：所以 ， ， ，所以，所以
5、，所以，数列是等差数列类型二 以分段形式定义新数列典例3【2019广东茂名一模】已知为数列的前项和，（1）求数列的通项公式（2）若，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】（1）由得-得由得，是以2为首项，公比为2的等比数列，（2） 典例4已知数列满足记数列的前项和为， （1）求证：数列为等比数列，并求其通项； （2）求； （3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由【答案】（1） （2） （3）当为偶数时， 都成立，（3）详见解析【解析】（3）假设存在正整数，使得 成立，因为，所以只要 即只要满足 ：，和：，对于只要 就可以；对于，当 为奇数时，满足，不成立，当 为偶数时，满足，即，令，因为
6、，即，且当 时，所以当 为偶数时，式成立，即当 为偶数时，成立【名师指点】分段函数在数列中应用，既考察各段数列特性，又考查两者综合性质【举一反三】已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“坠点数列”若数列“坠点数列”，求若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）， 6(2)数列满足：存在唯一的正整数k=5，使得，且，数列必为1，3，5，7，5，7，9，11，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为
7、首项5，公差为2的等差数列，故；，即，而数列为“坠点数列”且，数列中有且只有两个负项假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，必为偶数当时，当时，故不存在，使得成立当时，显然不存在，使得成立当时，当时，才存在，使得成立所以当时，构造为1，3，1，3，5，7，9，为-1，2，4，8，-16，32，此时，所以的最大值为6类型三 以分拆定义新数列典例5记对数列和的子集T，若，定义；若，定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时，（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题解析：（1）由已知得于是当时，
8、又，故，即所以数列的通项公式为（2）因为，所以因此，（3）下面分三种情况证明若是的子集，则若是的子集，则若不是的子集，且不是的子集令，则，于是，进而由，得设是中的最大数，为中的最大数，则由（2）知，于是，所以，即又，故，从而，故，所以，即综合得，【名师指点】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用【举一反三】设数列A：， ()如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”
9、记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2，3，N），则的元素个数不小于 -来源：【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】（2）因为存在使得，所以记，则，且对任意正整数因此，从而（3）当时，结论成立以下设由（）知设，记则对，记如果，取，则对任何从而且又因为是中的最大元素，所以从而对任意，特别地，对因此所以【精选名校模拟】1【2019江苏镇江上学期期末】设数列是各项均为正数的等比数列，数列满足：对任意的正整数，都有（1）分别求数列与的通项公式；学
10、-（2）若不等式对一切正整数都成立，求实数的取值范围；（3）已知，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列设数列的前项的和为，试问：是否存在正整数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【答案】（1） ；（2） ；（3）当时，【解析】（1）因为是等比数列，且各项均为正数，所以，解得，公比，所以，因为，所以，两式相减，得，所以当时，因为当时，所以，符合，所以；（2）因为，所以当时，原不等式成立，当时，原不等式可化为，设，则，则，所以，即数列单调递减，所以，解得综上，（3）由题意可知，设在数列中的项为，则由题意可知，所以当时，设，易解得，当时，因为，且，所以当时，2【2019江苏南京
11、六校12月联考】已知数列an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN*（1）若，求；（2）若bn1(k)2bn(k)对均成立，数列an的前n项和为Sn（i）求数列an的通项公式；（ii）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值【答案】（1）；（2）（i）；（ii）k2，t3【解析】（1）因为，所以，所以（ii）由（i）可知Sn2n1因为S1，SkS1，StSk成等比数列，所以(SkS1)2S1(StSk)，即(2k2)22t2k，所以2t(2k)232k4，即2t2(2k1)232k21(*)由于SkS10，所以k1，即k2当k2时，2t8，得t3当k3时，由(*)，得
12、(2k1)232k21为奇数，所以t20，即t2，代入(*)得22k232k20，即2k3，此时k无正整数解综上，k2，t33【2019苏北三市一模】已知数列满足对任意的，都有，且，其中，记（1）若，求的值；（2）设数列满足 求数列的通项公式； 若数列满足，且当时，是否存在正整数，使，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由【答案】（1）1011（2）；，满足题意【解析】（1）当时，由，得，又，所以，又，所以（2）由，得，又，所以，又因为，所以，所以， ，所以由题意，得，因为，成等比数列，所以，即，所以，即由于，所以，即当时，得当时，由(*)，得为奇数，所以，即，代入(*)得，即，
13、此时无正整数解来源:综上，4【2019江苏徐州第一学期期中模拟】设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列 若，求数列的通项公式； 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）若，则，所以，而，所以对任意的均成立，即数列是“好”数列； 若，取，则，此时，即数列不是“好”数列（2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立当，有，两式相减，得（），即（），所以（），所以，即，即（），当时，有，即，所以对任意，恒成立，
14、所以数列是等差数列设数列的公差为，因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设，由于是任意给定正整数，所以5【2019北京大兴区第一学期期末】设有限数列，定义集合为数列的伴随集合（）已知有限数列和数列分别写出和的伴随集合；（）已知有限等比数列，求的伴随集合中各元素之和；（）已知有限等差数列，判断是否能同时属于的伴随集合，并说明理由【答案】（）数列的伴随集合为，数列的伴随集合为；（）（）不能【解析】（）数列的伴随集合为，数列的伴随集合为（）先证明对任意或，则假设当且，因为，则，即，所以，与矛盾同理，当且时，也不成立当且时，不妨设，因为，则，所以，左边为奇数，右边为偶数，所以，综上，对任意或，则所以求
15、集合中各元素之和时，每个均出现次，所以 （）假设同时属于数列的伴随集合设数列的公差为，则即-得，-得，两式相除得，因为，所以，所以又因为，所以，所以，与矛盾，所以不能同时属于数列的伴随集合6【2019内蒙古鄂尔多斯上学期期中考试】已知数列是等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，第项，按原来的顺序组成一个新数列，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）等差数列中，解得，（2）由（1）知，7【2018上海长宁、嘉定区一模】已知数列满足： ，（1）求数列的通项公式；学-（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；（3）将数列中的部分项按原
16、来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列【答案】（1）（）（2）见解析（3）见解析【解析】（1）因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列所以，又由题意，所以（）（2）由，得，来源:Zxxk.Com故，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以，令，得，若为等差数列，则，解得当时，为等差数列所以，当时，数列为等差数列（3），先证数列满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列中的项令，则只需证即可此时，故所以，此数列中的第项是数列中的第项（也可以用数学归纳法证明能被整除，证明如下） 当时，能被整除； 假设当（）时结论成立，即能被整除，那么当时，因为与都能被整除，所以也能被整除，
17、即时，结论也成立由、知，当时，能被整除因此，以为首项，为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证8设数列的前n项和为，数列满足：，且数列的前n项和为(1) 求的值；(2) 求证：数列是等比数列；(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：【解析】(1)由题意得：；1分当n=1时，则有：解得：；当n=2时，则有：，即，解得：； 2分(2)由得： 3分 - 得：，即：即：； 5分 ，由知：数列是以4为首项，2为公比的等比数列8分(3)由(2)知：，即9分当n2时，对n=1也成立，即(n10分数列为，它的奇数项组成以4为首项、公比为
18、8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；11分当n=2k-1时， 14分当n=2k时， ，9【2018上海黄浦区二模】定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：(1)若，求数列的通项公式；(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；(3)若，数列是等比数列，求的数值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】(1)根据题意，有由，得，所以，(2) ，数列是首项为、公差为的等差数列(3) ，由，得 是等比数列，且，设公比为，则 当，即，与矛盾因此，不成立 当，即，与矛盾因此，不成立 ，即数列是常数列，于是，()，数列也是等比数列，设公
19、比为，有可化为， ，关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根一方面，()是方程的根；另一方面，若，则无穷多个互不相等的 都是该二次方程的根这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！，即数列也是常数列，于是， 由，得把，代入解得10【2018北京六区一模】数列： 满足： 记的前项和为，并规定定义集合， ，（）对数列： ，求集合；（）若集合，证明： ；（）给定正整数对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值【答案】（）（）见解析；（）【解析】（）因为，所以（）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以又因为 ，来源:Z&xx&k.Com所以所以（）因为，所以非空设集合，不妨设，则由（）可知，同理
20、，且所以因为，所以的元素个数取常数数列： ，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为综上，的元素个数的最小值为来源:ZXXK11【2019北京四中上学期期中考试】对于数列A：a1，a2，a3，定义A的“差数列” A：，（I）若数列A：a1，a2，a3，的通项公式，写出A的前3项；（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，使得A是等差数列；（III）若数列A：a1，a2，a3，的差数列的差数列 （A）的所有项都等于1，且=0，求的值【答案】（I）1，2，4；（II）数列A：2，2，2，2，；（III）819【解析】（I）数列A：2，3，5，9，数列A：1，2，4 （II）数列A：2，2，2，2，
21、 （III）数列（A）：1，1，1，1，设数列A：k，k+1，k+2，k+3，则数列A：a2a1=ka3a2=k+1以上叠加得，即则，则12【2019福建福州八县一中上学期期中考】定义为n个正数的“均倒数”已知正项数列an的前n项的“均倒数”为（1）求数列an的通项公式（2）设数列的前n项和为，若4对一切恒成立试求实数m的取值范围学-(3)令，问：是否存在正整数k使得对一切恒成立，如存在求出k值，否则说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在正整数k=10使得对一切恒成立【解析】(1)设数列的前n项和为，由于数列an的前n项的“均倒数”为，所以，=，当，当，（对当成立），(2)=，=，对一切恒
22、成立，解之得，即m的取值范围是(3)解法一：=，由于=，时，时，时取得最大值，即存在正整数k=10使得对一切恒成立解法二：=，假设存在正整数k使得则为数列中的最大项，由得，又，k=10，即存在正整数k=10使得对一切恒成立13【2019上海市浦东新区一模】已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为求，并猜想不要求证明)；令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；已知数列满足：，数列满足：，求证：【答
23、案】，；详见解析【解析】，；猜想，由， 对任意恒成立证明：，记，则，记，来源:Zxxk.Com则，当时，可知：14设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”学_（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列为“数列”，设，证明： 【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析（3）因为数列为“数列”，所以所以故有，又n=1时，故，满足： 所以对任意正整数n恒成立，数列的前几项为：1，2，3，5，8，故所以，两式相减得： =，显然，故，即
