1、2019-2020学年广东省深圳市福田区九年级（上）第一次月考数学试卷一、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）方程的根是 2（3分）方程的解为 3（3分）如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：；，其中正确的有 （填代号）4（3分）二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是 5（3分）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于 6（3分）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为7（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 8（3分）有一个抛物线
2、形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 9（3分）设，是方程的两个实数根，则的值为 10（3分）如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线铅球落在点处，则长 米二、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）11（3分）下列方程中，关于的一元二次方程是ABCD12（3分）已知二次函数，点在该函数的图象上，点到轴、轴的距离分别为、设，下列结论中：没有最大值；没有最小值；时，随的增大而增大；满足的点有四个其中正确结论的个数有A1个B2个C3个D4个13（3分）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的两个交点分别为，对于下列命题：；其中正确的有
3、A3个B2个C1个D0个14（3分）设，是方程的两个实数根，则的值为A3B9CD1515（3分）已知一元二次方程中二次项系数，一次项系数和常数项之和为0，那么方程必有一根为A0B1CD16（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则的值为A1BC2D17（3分）新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价元，根据题意可列方程ABCD18（3分）一人乘雪橇沿坡度为的斜坡滑下，滑下距
4、离（米与时间（秒之间的关系为，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为A72米B36米C米D米19（3分）制造一种产品， 原来每件的成本是 100 元， 由于连续两次降低成本， 现在的成本是 81 元， 则平均每次降低成本的百分率为A B C D 20（3分）方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是ABCD三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21（10分）解方程：（1）；（2）22（10分）已知二次函数的部分图象如图所示（1）求的取值范围；（2）若抛物线经过点，试确定抛物线的函数表达式23（10分）如图，的顶点坐标分别为，把沿直线翻折，点的对应点为，抛物线经过点，顶点在直线上（1）证
5、明四边形是菱形，并求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由24（10分）北国购物商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件（1）每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？利润是多少？25（10分）如图，在中，边长为1的正方形的一个顶点在边上，与另两边分别交于点、，将正方形平移，使点保持在上不与
6、重合），设，正方形与重叠部分的面积为（1）求与的函数关系式并写出自变量的取值范围；（2）为何值时的值最大？（3）在哪个范围取值时的值随的增大而减小？26（10分）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：（1）按上面材料提示的方法填空： （2）探究：当取不同的实数时在得到的代数式的值中是否存在最小值？请说明理由（3）应用：如图已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）方程的根是或【分析】
7、分为0与不为0两种情况，求出方程的解即可【解答】解：当时，方程变形为，即；当，且，即时，方程的解为故答案为：或【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键2（3分）方程的解为，【分析】利用因式分解法解方程【解答】解：，或，所以，故答案为，【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）3（3分）如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，其中，
8、下列结论：；，其中正确的有（填代号）【分析】观察图象，通过抛物线的开口方向，对称轴，以及与轴交于两点这些条件，即可解答出该题【解答】解：抛物线的开口方向向下，由图象可看出抛物线的对称轴，故正确由图象看出当时，故正确由图象看出当时，故正确抛物线的对称轴大于，即，得出，故正确故答案为：【点评】本题综合考查了抛物线的性质，体现了数形结合的思想，同学们要熟练掌握4（3分）二次函数的图象如图所示，则函数值时，对应的取值范围是【分析】由图象知抛物线顶点坐标为，二次项系数为1，直接写出抛物线的顶点式，展开可求出，值，先求出时，对应的值，再求函数值时，对应的取值范围【解答】解：抛物线顶点坐标为，二次项系数为1
9、，抛物线的解析式为：即抛物线与轴两交点坐标为，故当函数值时，对应的取值范围上是本题答案为【点评】本题考查了二次函数解析式与顶点坐标的联系，图象与轴交点坐标的求法，函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题5（3分）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于3【分析】先将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等，则抛物线的对称轴为直线，又二次函数的对称轴为直线，得出，化简得，即可求出当时，的值【解答】解：和时，多项式的值相等，二次函数的对称轴为直线，又二次函数的对称轴为直线，当时，故答案为：3【点评】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等将和时，多项式的值相等理
10、解为和时，二次函数的值相等是解题的关键6（3分）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为8【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值【解答】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则；当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，故，；由于此时点横坐标最大，故点的横坐标最大值为8；故答案为：8【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元
11、二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目7（3分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则4【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出的值即可【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，解得：故答案为：4【点评】本题考查了一元二次方程，为常数）根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根8（3分）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是【分析】根据图象得到：顶点坐标是，因而可以利用顶点式求解析式【解答】解：设解析式是：，根据题
12、意得：，解得函数关系式，即故答案为：【点评】利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单9（3分）设，是方程的两个实数根，则的值为8【分析】由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解【解答】解：是方程的根，；由根与系数的关系得：，故答案为：8【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形10（3分）如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线铅球落在点处，则长7米【分析】当时代入解析式求出的值即可【解答】解：由题意，得当时，解得：（舍去
13、），故答案为：7【点评】本题考查了二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数与实际问题的运用，解答时运用二次函数的解析式解实际问题是关键二、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）11（3分）下列方程中，关于的一元二次方程是ABCD【分析】利用一元二次方程的定义判断即可【解答】解：下列方程中，关于的一元二次方程是，故选：【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键12（3分）已知二次函数，点在该函数的图象上，点到轴、轴的距离分别为、设，下列结论中：没有最大值；没有最小值；时，随的增大而增大；满足的点有四个其中正确结论的个数有A1个B2个C3
14、个D4个【分析】找出二次函数与轴的交点，结合点所在的象限分段考虑，再根据二次函数的性质找出其最值以及在各段区间内的增减性，对比4个结论即可得知正确的结论有两个【解答】解：令二次函数中，即，解得：，当时，；当时，；当时，；当时，综上可知：有最小值，没有最大值，即成立，不成立；当时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，结论不成立；令，中存在一个解；中无解；中有两个解；中一个解满足的点有四个，结论成立正确的结论有2个故选：【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据点所在的区间进行分段本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质找出函数在各段区间内的增减性
15、与最值是关键13（3分）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的两个交点分别为，对于下列命题：；其中正确的有A3个B2个C1个D0个【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：如图，二次函数的图象与轴的两个交点分别为，该抛物线的对称轴是，故错误；抛物线开口方向向上，抛物线与轴交于负半轴，故错误；由图示知，当时，即故错误综上所述，正确的结论的个数是0个故选：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定14（3分）
16、设，是方程的两个实数根，则的值为A3B9CD15【分析】根据根与系数的关系得到，则【解答】解：，是方程的两个实数根，故选：【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法15（3分）已知一元二次方程中二次项系数，一次项系数和常数项之和为0，那么方程必有一根为A0B1CD【分析】一元二次方程中二次项系数，一次项系数和常数项之和为0，即，根据方程解的定义，当时，方程即可变形成，即可确定方程的解【解答】解：根据题意：当时，方程左边而，即当时，方程成立故是方程的一个根故选：【点评】本题主要考查方程的根的定义，能够找到已知的式子与方程的关系是解决本题的
17、关系并且本题作为一个选择题，可以采用代入检验的方法，进行判断16（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则的值为A1BC2D【分析】主要考正方形性质，把点坐标求出来代入二次函数中就可以求出了【解答】解：令，得点坐标，因为四边形为正方形，知，所以点坐标为：，代入得：，左右两边都除以得：，又有，故选：【点评】本题结合了二次函数方程考查正方形性质，要学会综合运用17（3分）新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰
18、箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价元，根据题意可列方程ABCD【分析】销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程【解答】解：设每台冰箱的降价应为元，依题意得：，故选：【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键18（3分）一人乘雪橇沿坡度为的斜坡滑下，滑下距离（米与时间（秒之间的关系为，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为A72米B36米C米D米【分析】求滑下的距离；设出下降的高度
19、，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解【解答】解：当时，设此人下降的高度为米，过斜坡顶点向地面作垂线在直角三角形中，由勾股定理得：解得故选：【点评】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键19（3分）制造一种产品， 原来每件的成本是 100 元， 由于连续两次降低成本， 现在的成本是 81 元， 则平均每次降低成本的百分率为A B C D 【分析】设平均每次降低成本的百分率为的话， 经过第一次下降， 成本变为元， 再经过一次下降后成本变为元， 根据两次降低后的成本是 81 元列方程求解即可 【解答】解： 设平均每次降低成本的百分率为，根据题意得：，解
20、得：或 1.9 （不 合题意， 舍去）即：故选：【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用， 这是一道典型的数量调整问题， 数量上调或下调后就变为原来的倍， 调整 2 次就是倍 20（3分）方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是ABCD【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方【解答】解：故选：【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21（10分）解方程
21、：（1）；（2）【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可【解答】解：（1）方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；（2）方程整理得：，分解因式得：，解得：，【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键22（10分）已知二次函数的部分图象如图所示（1）求的取值范围；（2）若抛物线经过点，试确定抛物线的函数表达式【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系即可得到的范围；（2）把点代入中求出的值，从而可确定抛物线解析式【解答】解：（1）抛物线与轴的交点在轴下方，；（2）抛物线经过点，抛物线解析式为【点评】本题
22、考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解23（10分）如图，的顶点坐标分别为，把沿直线翻折，点的对应点为，抛物线经过点，顶点在直线上（1）证明四边形是菱形，并求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析
23、】（1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得，根据菱形的判定和性质可得点的坐标；（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设的坐标为，直线的解析式为，根据待定系数法可求的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；（3）分点在的上面和点在的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点的坐标【解答】（1）证明：，由翻折可得，四边形是菱形，点的坐标是；（2），对称轴为直线设的坐标为，直线的解析式为，解得点在直线上，又抛物线经过点和，解得抛物线的函数表达式为；（3）存在理由如下：由题意可知，在抛物线上，且到，所在直线距离相等，所以在二次函数与、所在的直线的夹角平分线的交点上，而、所在
24、的直线的夹角平分线有两条：一条是所在的直线，解析式为，另外一条是过且与平行的直线，解析式为，联立，解得：（舍或，联立，解得：（舍或所以当与的面积相等，点的坐标为，【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用24（10分）北国购物商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件（1）每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降
25、价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？利润是多少？【分析】（1）根据：每件的实际利润降价后的销售量每天利润，列出方程解方程，再结合题意取舍可得；（2）根据：每件的实际利润降价后的销售量每天利润，列出函数关系式，配方成二次函数顶点式，结合函数性质可得最值情况【解答】解：（1）设每件衬衫应降价元，根据题意，得：，解得：或，商场要尽快减少库存，答：每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价20元；（2）设每套降价元，商场平均每天赢利元，则，当时，有最大值为1250元，答：当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，准确抓住题目中
26、的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键25（10分）如图，在中，边长为1的正方形的一个顶点在边上，与另两边分别交于点、，将正方形平移，使点保持在上不与重合），设，正方形与重叠部分的面积为（1）求与的函数关系式并写出自变量的取值范围；（2）为何值时的值最大？（3）在哪个范围取值时的值随的增大而减小？【分析】（1）当点保持在上时，正方形与重叠部分为直角梯形，根据直角梯形的面积公式，只需用含的代数式分别表示出上底、下底及高的长度即可由为等腰直角三角形，可得高；则，下底；进而得出，再根据等腰三角形及平行线的性质可证，得出上底；根据点保持在上，且不与重合，可知，从而求出自变量的取值范围；（2）由（1
27、）知，是的二次函数，根据二次函数的性质，可知当时，的值最大；（3）根据二次函数的增减性，当时，在对称轴的右侧，的值随的增大而减小【解答】解：（1），（2分）在中，（3分），（4分）点保持在上，且不与重合，故，自变量的取值范围是；（8分）（2），当时，有最大值；（10分）（3），当时，随的增大而减小（14分）【点评】本题考查了正方形、平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角梯形的面积及二次函数的性质，综合性较强，难度中等26（10分）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：（1）按上面材料提示的方法填空： （2）探究：当取不同的实数时在得到的代数式的值中是否存在最小值？请说明理由（3）应用：如图已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由【分析】（1）原式配方即可得到结果；（2）利用非负数的性质确定出结果即可；（3）根据题意列出与的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：；故答案为：；（2），当时，代数式存在最小值为；（3）根据题意得：，则时，最大值为9【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键
