专题2.10 已知不等恒成立讨论单调或最值高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)

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资源描述

1、【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:分离参数函数最值;直接化为最值分类讨论;缩小范围证明不等式;分离函数数形结合。通过讨论函数的单调性及最值,直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。【典例指引】例1设是在点处的切线()求的解析式;()求证: ;()设,其中若对恒成立,求的取值范围【思路引导】()由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数f(x)的解析式;()令,求导证得;(), 当时,由()得 ,可得,进而得在区间上单调递增, 恒成立, 当时,可得在

2、区间上单调递增,存在,使得, ,此时不会恒成立,进而得的取值范围当时, ,故单调递减;当时, ,故单调递增 所以, )学*所以 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ,若恒成立;(3)若 恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) 例2函数.()讨论的单调性;()若且满足:对,都有,试比较与的大小,并证明.【思路引导】(1)求出, 讨论两种情况分别令可得增区间, 可得得减区间;(2)由()知在上单调递减,在上单调递增,所以对,都有等价于,可得,令,研究其单调性,可得,进而可

3、得结果.()当时,由得.由()知在上单调递减,在上单调递增,所以对,都有等价于即解得;学*令,当时,单调递减;当时,单调递增;又,所以.即,所以.学*来源:Z*X*X*K例3已知函数(,为自然对数的底数)在点处的切线经过点()讨论函数的单调性;()若,不等式恒成立,求实数的取值范围【思路引导】 ()求出,由过点的直线的斜率为可得,讨论两种情况,分别由得增区间, 得减区间;()原不等式等价于不等式恒成立,利用导数研究的单调性,求其最小值,令其最小值不小于零即可得结果.来源:()不等式恒成立,即不等式恒成立,设,若,则,函数单调递增且不存在最小值,不满足题意;当时,由得,学*来【新题展示】1【20

4、19江苏常州上学期期末】已知函数,函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;(3)若函数对恒成立,求实数的取值范围.(是自然对数的底数,)【思路引导】(1)代入a值,求函数的导数,由导数的几何意义求得切线斜率,根据点斜式可得切线方程;(2)求导数,通过讨论a的范围,求函数单调区间,结合函数单调性和函数的最值可求a的范围;(3)求g(x)解析式,求函数导数,讨论函数单调性,由函数单调性和最值可确定a的范围【解析】(1)当时,则,所以,所以切线方程为.(2),当时,恒成立,所以单调递增,因为,所以有唯一零点,即符合题意;当时,令,解得,列表如下:-0+

5、极小值由表可知,.(iii)当,即时,因为,设,则,所以单调递增,即,所以,又因为,所以,故存在,使得,所以不符题意;综上,的取值范围为.2【2019安徽江淮十校联考】已知函数为常数,e为自然对数的底数,若函数恒成立,求实数a的取值范围;若曲线在点处的切线方程为,且对任意都成立,求k的最大值,【思路引导】由题意转化为恒成立,设,求得导数和单调性,可得极值和最值,即可得到所求范围;求得的导数,可得切线的斜率,由已知切线方程可得,对任意都成立,可得对恒成立,设,求得导数,设,求得导数,由零点存在定理和单调性,可得的最小值,可得k的最大值【解析】函数恒成立,即恒成立,可得恒成立,设,当时,递减;当时

6、,递增,可得处取得最小值,且,所以;的导数为,曲线在点处的切线斜率为,可得,即,又由对任意都成立,可得对恒成立,3【2019辽宁葫芦岛调研】已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)如果对任意,恒成立,求的取值范围.【思路引导】(1)将a代入,求出函数的导数,分别解f(x)0和f(x)0,求出函数的单调区间即可;(2)由原不等式移项为右侧为0的形式,构造新的函数,通过求导对a讨论,研究其增减性及最值,逐步得解【解析】(2)由f(x)x+1,得ax2+ax+1(x+1)ex即(x+1)ex-ax2-ax-10令g(x)=(x+1)ex-ax2-ax-1,则g(x)=(x+2)ex-ax-a,令F(

7、x)=g(x)=(x+2)ex-ax-a,则F(x)=(x+3)ex-a,令t(x)=F(x)=(x+3)ex-a,则t(x)=(x+4) ex,当x0时,t(x)0恒成立,从而t(x)在0,+)上单调递增,此时t(0)=3-a,F(0)=2-a,g(0)=0当a2时,t(x)t(0)=3-a0,即F(x)0所以F(x)在0,+)上单调递增所以F(x)F(0)=2-a0,即g(x)0,从而g(x)在0,+)上单调递增所以g(x)g(0)=0 即(x+1)ex-ax2-ax-10恒成立,所以当a2时合题意;当2a3时,t(x)在0,+)上单调递增,且t(x)t(0)=3-a0即F(x)0F(x)

8、=g(x)在0,+)上单调递增,又F(0)=g(0)=2-a0,必存在x1(0,+),使得x(0,x1)时,g(x)在(0,x1)上单调递减,g(x)g(0)=0,这与g(x)0在x0时恒成立矛盾,从而当23时,t(x)在0,+)上单调递增且t(0)=3-a0,必存在x2(0,+),使得x(0,x2)时,t(x)0,即F(x)0,从而F(x)=g(x)在0,+)上单调递减,F(x)F(0)=g(0)=2-a0,从而g(x)在(0,x1)上单调递减 ,g(x)3时不合题意;综上:a的取值范围是(-,2【同步训练】1已知函数. (1)当,求的图象在点处的切线方程;(2)若对任意都有恒成立,求实数的

9、取值范围.【思路引导】(1)由于是在那点,所以求导可得(2)对f(x)求导,再求导,当时,所以对和分类讨论。单调递增,当时, ,在单调递增, 恒成立;当时,存在当,使,则在单调递减,在单调递增,则当时, ,不合题意,综上,则实数的取值范围为.学&点睛:函数与导数中恒成立与存在性问题,一般是转化成最值问题,常用的两种处理方法:(1)分离参数(2)带参求导,本题采用带参求导。2已知函数, ,若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线()求,的值()若时,求的取值范围【思路引导】()根据导数的几何意义求解即可。()由()设,则,故只需证即可。由题意得,即,又由,得,分, ,三种情况分别讨论判断是否恒成立即可

10、得到结论。(iii)若, ,则在上单调递增,而,从而当时, 不可能恒成立,综上可得的取值范围是学&3已知函数(I)求曲线在点处的切线方程(II)求证:当时,(III)设实数使得对恒成立,求的最大值【思路引导】(I),得,又,可得在处切线方程为(II)令,求导得出的增减性,然后由得证(III)由(II)可知,当时, 对恒成立 时,令,求导,可得上单调递减,当时,F, 即当时, ,对不恒成立,可得k的最大值为2来源:Z&X&X&K(II)证明:令,学&即在时,(III)由(II)知,在时,对恒成立,点晴:本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题要证明一个不等式,我们可以先根据题意所给条件化简这个不

11、等式,如第二问的不等式,可以转化为,第三问的不等式可以转化为,划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果4已知函数(其中)在点处的切线斜率为1(1)用表示;(2)设,若对定义域内的恒成立,求实数的取值范围;(3)在(2)的前提下,如果,证明: 【思路引导】(1)由题意即得;(2)在定义域上恒成立,即,由恒成立,得,再证当时, 即可;(3)由(2)知,且在单调递减;在单调递增,当时,不妨设,要证明,等价于,需要证明,令,可证得在上单调递增, 即可证得解法二:(分离变量)恒成立,分离变量可得来源:对恒成立,令,则。这里先证明,记

12、,则,易得在上单调递增,在上单调递减, ,所以。因此, ,且时,所以,实数的取值范围是。学&(3)由(2)知,且在单调递减;在单调递增, 5已知函数()(1)若在处取到极值,求的值;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)求证:当时, 【思路引导】(1)根据极值的概念得到,可得到参数值;(2)转化为函数最值问题,研究函数的单调性,分时, 时, ,三种情况讨论单调性,使得最小值大于等于0即可。(3)由(1)知令,当时, ,当时,给x赋值:2,3,4,5等,最终证得结果。试题解析:来源:Z&X&X&K(1),在处取到极值,即,经检验, 时, 在处取到极小值(3)证明:由(1)知令,当时, (当且仅

13、当时取“”),当时, 即当2,3,4, ,有 点睛:这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性,最值中的应用,最终还用到了赋值的思想,证明不等式。其中有典型的恒成立求参的问题。一般是转化成函数最值问题,或者先变量分离,将参数和变量分离到不等号的两侧,再转化为最值问题。6已知函数, ,其中(1)若,求函数在上的值域;(2)若, 恒成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)代入, ,从而求导,从而由导数的正负确定函数的单调性,从而求最值;(2)令,化简求导得到,再令并求导得,从而解得,使得,使在上单调递减,在上单调递增,从而可得,且,从而化简求出实数的取值范围 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(

14、1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立,转化为;(3)若恒成立,可转化为7已知函数(1)当时,求在区间上的最值;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,有恒成立,求的取值范围【思路引导】(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数在区间上符号变化规律,确定函数最值(2)先求导数,根据导函数符号是否变化进行分类讨论: 时, , 时, , 时,先负后正,最后根据导数符号对应确定单调性(3)将不等式恒成立转化为对应函数最值,由(2)得,即,整理化简得,解得的取值范围(), 当,即时, ,在上单调递减;来源:ZXX

15、K当时, ,在上单调递增;当时,由得,或(舍去)在单调递增,在上单调递减;综上,当, 在上单调递增;当时, 在单调递增,在上单调递减;当时, 在上单调递减;()由()知,当时, 即原不等式等价于即整理得,又,的取值范围为点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题8已知(1)当时,求在处的切线方程;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)求出f(x)的导数,可得切线的斜率,由斜截式方程即可得到所求切线的方程;(2)由题意可

16、得存在x00,+),使得,设,两次求导,判断单调性,对a讨论,分和时,通过构造函数和求导,得到单调区间,可得最值,即可得到所求a的范围 所以 设, ,令, 所以在上单调递增,所以所以在单调递增,所以,所以所以,当时, 恒成立,不合题意综上,实数的取值范围为9已知函数()(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)若对任意,恒成立,求实数的取值范围【思路引导】由导函数研究切线的斜率可得切线方程为来源:令,结合函数的性质分类讨论和两种情况可得实数的取值范围。()当,即时, 在上,在上,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,由得, ,所以综上所述,的取值范围是点睛:本题考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数单调性的知识,在处理任意性的时候要转化为最值问题,解决好最大值与最小值之间的关系,在解答过程中需要注意分类讨论10已知函数,直线的方程为(1)若直线是曲线的切线,求证:对任意成立;(2)若对任意恒成立,求实数是应满足的条件【思路引导】(1)根据切线的方程,写出斜率和截距,构造新函数,对新函数求导,得到在x(-,t)上单调递减,在x(t,+)为单调递增,即得到函数的最小值,根据函数思想得到不等式成立(2)构造新函数,对新函数求导,判断函数的单调性,针对于k的不同值,函数的单调性不同,需要进行讨论,求出函数的最小值,得到要写的条件(2)令当时, ,则在单调递增,来源:ZXXK26

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