1、一、方法综述形如求等的问题称为“双重最值问题”按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题一个结论：设，为正常数，则（1）；（2）证明：设，则，所以，当且仅当时取等，即二、解题策略一、一元双重最值问题1分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可例1对于a，bR，记Maxa，b= ，函数f（x）=Max，（xR）的最小值是（ ）(A) (B)1 (C) (D)2【答案】C【解析】f（x）=Max，=，其图象如下图，故答案为2数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值例2已知函数f(
2、x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28设H1(x)max，H2(x)min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()来源:A16 B16Ca22a16 Da22a16【答案】B（2）当a2xa+2时，H1（x）=maxf（x），g（x）=g（x），H2（x）=minf（x），g（x）=f（x）；（3）当xa+2时，则H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x），H2（x）=minf（x），g（x）=g（x），故A=g（a+2）=（a+2）（a2）24a+12=4a4，B=g（a2）=4a+12，A
3、B=4a4（4a+12）=16故选B【解题秘籍】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键学&二、多元一次函数的双重最值问题1利用不等式的性质例3设（，），求的最小值2利用绝对值不等式例4求函数在区间上的最大值的最小值解：注意到，且，所以，当且仅当，即时，取得最小值3利用均值不等式例5设maxf(x)，g(x)=，若函数n(x)=x2+px+q(p，qR)的图象经过不同的两点（，0）、（，0），且存在整数n使得n1 Bmaxn(n)，n(n+1) Dmaxn(n)，n(n+1) 【答案】B4利用柯西不等式例6若，且，求解：设
4、，则，由柯西不等式得，当且仅当取等，即5分类讨论例7若，求的值解：设，则，当时，当且仅当时取等；当时，当且仅当时取等综上，当且仅当时取等，即6待定系数法例8若，求的值7构造函数例9设，（），求解：注意到为次函数且，联想到三倍角公式，因此先构造特殊函数，若设，则，从而，当且仅当，即或时取等，故猜测设，注意到（可用待定系数法求得），故，即，考虑到，时，故8利用韦达定理例10若，且，求解：注意到，的对称性，故可设，又，来源:Zxxk.Com所以方程有两个不大于的实根，故，当，时，9数形结合例11【2019山西实验中学月考一】设f（x）=min2x，16x，x28x+16（x0），其中mina，b，c
5、表示a，b，c三个数中的最小值，则f（x）的最大值为（）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】画出y2x，y16x，yx28x+16的图象，观察图象可知，当x2时，f（x）2x，当2x7时，f（x）x28x+16，当x7时，f（x）16x，f（x）的最大值在x7时取得为9，故选D三、强化训练1【2019广东中山一中第一次段考】已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（ ）A B1 C D2【答案】B2【2019湖南衡阳一中10月月考】已知 =min，则的值域是（ ）A B C D【答案】B【解析】，在同一坐标系中分别作出，的图象，则，的图象都过点，如图所示：
6、则由图象可知函数的值域为，故选3记mina，b为a，b两数的最小值当正数x，y变化时，令，则t的最大值为_【答案】4已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_【答案】【解析】f(x)当x1时，f(x)exe(x1时，取等号)；当xe，因此x1时，f(x)有最小值f(1)e来源:5【2019浙江杭州学军中学期中考】设maxa，b表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max|x|，|x-t|关于x=1对称，则t=_【答案】2来源:Z&X&X&K【解析】f（x）max|x|，|xt|，由函数y|x|的图象关于x0对称，函数y|xt|的图象
7、关于xt对称，即有函数f（x）的图象关于x对称，f（x）max|x|，|xt|关于x1对称，即有1，求得t2，故答案为：2学&6【2018广东汕头模拟】定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为_【答案】7对任意两实数a、b，定义运算“maxa，b”如下：maxa，b=，则关于函数，下列命题中：函数f（x）的值域为，1；函数f（x）的对称轴为， ；函数f（x）是周期函数； 当且仅当x=2k（kZ）时，函数f（x）取得最大值1； 当且仅当时，f（x）0； 正确的是_ （填上你认为正确的所有答案的序号）【答案】8【2015浙江高考】设，在上的最大值为，求证：当时，【解析】，所以9设，若对任意的，存在使得，求的最大值来源:【解析】由题意即为的最大值，等号当且仅当或时成立，又，所以，的最大值为10若，求的值【解析】设，则，当且仅当时取等，即时，11设，求的最小值【解析】 12若实数，满足，求【解析】注意到，的对称性，不妨设，由，可知方程有两个不大于的根，从而，当且仅当时取等，故13设，求的值【解析】设，则，设，令且，则，故，当且仅当，即，时取等14设（），求【解析】 15设，求的最小值【解析】令，所以，此时，当且仅当，时，16设（），求【解析】当且仅当，即时取等，即学&11
