1、第七篇 立体几何与空间向量专题7.03直线、平面平行的判定及性质【考试要求】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.【知识梳理】1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab2.平面与平面平行(1)平面与平面
2、平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab【微点提醒】平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若，则.(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若一条直线和平面内一条直
3、线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a，P，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.【教材衍化】2.(必修2P61A1(2)改编)下列说法中，与“直线a
4、平面”等价的是()A.直线a上有无数个点不在平面内B.直线a与平面内的所有直线平行C.直线a与平面内无数条直线不相交D.直线a与平面内的任意一条直线都不相交【答案】D【解析】因为a平面，所以直线a与平面无交点，因此a和平面内的任意一条直线都不相交，故选D.3.(必修2P61A1(1)改编)下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b【答案】D【解析】根据线面平行的判定与性质定理知，选D.【真题体验】4.(2018长沙模拟)已知m，
5、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.m，n，则mn B.mn，m，则nC.m，m，则 D.，则【答案】C【解析】A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n或n，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，或与相交，D错.5.(2019济宁月考)若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线【答案】A【解析】当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.6.(2019北京十八中开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四
6、边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_.【答案】平行四边形【解析】平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四边形EFGH是平行四边形.【考点聚焦】考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】 (1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若ac，bc，则abB.若a，b，则abC.若a，b，则abD.若，a，则a(2)(2019聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC平面DEF的是()【答案】(1)D(2)B【解析】(1)对于A，若ac，bc
7、，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设m，若a，b均与m平行，则ab，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若，a，则a与没有公共点，则a，故D是真命题.(2)在B中，如图，连接MN，PN，A，B，C为正方体所在棱的中点，ABMN，ACPN，MNDE，PNEF，ABDE，ACEF，ABACA，DEEFE，AB，AC平面ABC，DE，EF平面DEF，平面ABC平面DEF.【规律方法】1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再
8、逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 (1)下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BPBD1，则下面说法正确的是_(填序号).MN平面APC；
9、C1Q平面APC；A，P，M三点共线；平面MNQ平面APC.【答案】(1)C(2)【解析】(1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.(2)如图，对于，连接MN，AC，则MNAC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN平面APC，所以MN平面APC是错误的.对于，由知M，N在平面APC内，由题易知ANC1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC.所以C1Q平面APC是正确的.对于，由知，A，P，M三点共线是正确的.对于，由
10、知MN平面APC，又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面APC是错误的.考点二直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定【例21】 (2019东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1.【答案】见解析【解析】(1)证明：EF平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB的中点，MFCB，MFCB，E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，DECB，DECB，MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形，EFDM，EF平面PDC，DM平面PDC
11、，EF平面PDC.(2)解EF平面PDC，点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.PA平面ABCD，PADA，在RtPAD中，PAAD1，DP.PA平面ABCD，PACB，CBAB，PAABA，CB平面PAB，CBPB，则PC，PD2DC2PC2，PDC为直角三角形，SPDC1.连接EP，EC，易知VEPDCVCPDE，设E到平面PDC的距离为h，CDAD，CDPA，ADPAA，CD平面PAD，则h11，h，点F到平面PDC的距离为.角度2直线与平面平行性质定理的应用【例22】 (2018上饶模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1
12、的中点.(1)求三棱锥B1A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.【答案】见解析【解析】(1)如图所示，VB1A1BEVEA1B1BSA1B1B DA222.(2)B1F平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1平面CDD1C1，平面A1BH平面CDD1C1GE，所以A1BGE.又A1BCD1，所以GECD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BGB1F，BG就是所求直线.【规律方法】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行
13、的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】 (2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【答案】见解析【解析】证明(1)在平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCD
14、BD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因为AC平面ABC，ADAC.考点三面面平行的判定与性质【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【答案】见解析【解析】证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFB
15、C，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1平行且等于AB，A1G平行且等于EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【迁移探究1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1平面AC1D.【答案】见解析【解析】证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BD
16、M.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1平行且等于BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值.【答案】见解析【解析】连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1
17、，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，则1.又由题设，1，即1.【规律方法】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.【提醒】利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练3】 (2019南昌二模)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD2AD4，侧面PAB是等腰直角三角形，PAPB，平面
18、PAB平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥FDCE的体积.【答案】见解析【解析】(1)因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面ABCDCE，平面PAD平面ABCDAD，所以CEAD，又ABDC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DCAEAB，即点E是AB的中点.因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面PABEF，平面PAD平面PABPA，所以EFPA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点.综上，E，F分别是AB，PB的中点.(2)连接PE，由题意及(1)知PAPB，AEEB，所以PEAB，又平面PAB平
19、面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，所以PE平面ABCD.又ABCD，ABAD，所以VFDECVPDECSDECPE222.【反思与感悟】1.转化思想：三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.【易错防范】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为
20、这两个平面平行，实质上也可以相交.4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l不平行于平面，且l，则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.与直线l至少有两个公共点D.内的直线与l都相交【答案】B【解析】因为l，直线l不平行于平面，所以直线l只能与平面相交，于是直线l与平面只有一个公共点，所以平面内不存在与l平行的直线.2.(2019大连双基测试)已知直线l，m，平面，则下列条件能推出lm的是()A.l，m， B.，l，mC.l，m
21、D.l，m【答案】B【解析】选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出lm，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交.故选B.3.(2018长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【答案】B【解析】在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，过A1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.4.(2018重庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，是两
22、个不同的平面，则的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a，aB.存在一条直线a，a，aC.存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD.存在两条异面直线a，b，a，b，a，b【答案】D【解析】对于选项A，若存在一条直线a，a，a，则或与相交，若，则存在一条直线a，使得a，a，所以选项A的内容是的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有，所以选项D的内容是的一个充分条件.故选D.5.(2019青岛模拟)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有()A.0条 B.1条C.2条
23、D.1条或2条【答案】C【解析】如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EFGH.EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD，平面BCD平面ACDCD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH.CD平面EFGH，同理，AB平面EFGH，所以与平面(面EFGH)平行的棱有2条.二、填空题6.(2018杭州模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则EF_.【答案】【解析】根据题意，因为EF平面AB1C，所以EFAC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.因为在RtDEF中，DEDF1，故EF.7.如图，平
24、面平面，ABC，ABC分别在，内，线段AA，BB，CC共点于O，O在，之间，若AB2，AC1，BAC60，OAOA32，则ABC的面积为_.【答案】【解析】相交直线AA，BB所在平面和两平行平面，相交于AB，AB，所以ABAB.同理BCBC，CACA.所以ABC与ABC的三内角相等，所以ABCABC，.SABC21，所以SABC.8.(2019郑州调研)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填上正确命题的序号).【答案】【解析】mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误
25、；或与相交，故错误.三、解答题9.(2019武汉模拟)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB平面ABCD，E是棱PA的中点.(1)求证：PC平面BDE；(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.【答案】见解析【解析】(1)证明在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O，则O是AC的中点.又E是PA的中点，连接EO，则EO是PAC的中位线，所以PCEO，又EO平面EBD，PC平面EBD，所以PC平面EBD.(2)解设三棱锥EABD的体积为V1，高为h，四棱锥PABCD的体积为V，则三棱锥EABD的体积V1SABDh，因为E是PA的中点，所以四棱锥PA
26、BCD的高为2h，所以四棱锥PABCD的体积VS四边形ABCD2h4SABDh4V1，所以(VV1)V131，所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为31或13.10.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.【答案】见解析【解析】证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE
27、平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019石家庄模拟)过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A.4条 B.6条C.8条 D.12条【答案】B【解析】如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线.12.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A
28、.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.13.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.【答案】Q为CC1的中点【解析】如图所示，设Q为CC1
29、的中点，因为P为DD1的中点，所以QBPA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，PO平面PAO，PA平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.14.(2018河南六市三模)已知空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均是边长为2的等边三角形，ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥EABC的
30、体积.【答案】见解析【解析】(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，AH平面BCD，同理可证EN平面BCD，ENAH，EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，MNBC，MN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，EF平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均
31、与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NGDH，由(1)可知EN平面ABC，点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又BCD是边长为2的等边三角形，DHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，DH平面ABC，NG平面ABC，易知DH，又N为CD中点，NG，又ACAB3，BC2，SABCBCAH22，VEABCVNABCSABCNG.【新高考创新预测】15.(【答案】不唯一型)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)【答案】点M在线段FH上(或点M与点H重合)【解析】连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，易知平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.19
