1、第一篇 集合与不等式专题1.04基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式(a，b0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.【知识梳理】1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是
2、定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).【微点提醒】1.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.2.(a0，b0).3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sin x的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(2)函数yx的值域是(，22，)，没有最小值.(3)函数f
3、(x)sin x没有最小值.(4)x0且y0是2的充分不必要条件.【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x0，y0，且xy18，则的最大值为()A.9 B.18 C.36 D.81【答案】A【解析】因为xy18，所以9，当且仅当xy9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x0，则x()A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为2 D.有最大值，且最大值为2【答案】D【解析】因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.【真题体验】4.(2019浙江镇海中学月考)已知f(x)，则f(x)在上的最小值为()A. B. C.1 D.0
4、【答案】D【解析】f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号.又1，所以f(x)在上的最小值为0.5.(2018济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.【答案】15【解析】设矩形的长为x m，宽为y m.则x2y30，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号.6.(2018天津卷)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_.【答案】【解析】由题设知a3b6，又2a0，8b0，所以2a222，当且仅当2a，即a3，b1时取等号.故2a的最小值为.【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度
5、1利用配凑法求最值【例11】 (1)(2019乐山一中月考)设0x，则函数y4x(32x)的最大值为_.(2)已知x，则f(x)4x2的最大值为_.【答案】(1)(2)1【解析】(1)y4x(32x)22x(32x)2，当且仅当2x32x，即x时，等号成立.，函数y4x(32x)的最大值为.(2)因为x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值为1.角度2利用常数代换法求最值【例12】 (2019潍坊调研)函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，且m，n为正数，则的最小值为_.【答案】4【解析】曲线ya1x恒过
6、定点A，x1时，y1，A(1，1).将A点代入直线方程mxny10(m0，n0)，可得mn1，(mn)2224，当且仅当且mn1(m0，n0)，即mn时，取得等号.角度3基本不等式积(ab)与和(ab)的转化【例13】 (经典母题)正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.【答案】9，)【解析】a，b是正数，abab323，解得3，即ab9.【迁移探究】 本例已知条件不变，求ab的最小值.【答案】见解析【解析】a0，b0，ab，即ab3，整理得(ab)24(ab)120，解得ab6或ab2(舍).故ab的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积
7、、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019济南联考)若a0，b0且2ab4，则的最小值为()A.2 B. C.4 D.(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_.【答案】(1)B(2)5【解析】(1)因为a0，b0，故2ab2(当且仅当2ab时取等号).又因为2ab4，240ab2，故的最小值为(当且仅当a1，b2时等号成立).(2)由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)5(当且仅当
8、，即x1，y时，等号成立)，所以3x4y的最小值是5.考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】见解析【解析】(1)设所用时间为t(h)，y214，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50，100(或yx，x50，100).(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立.故当x18千米/时，这次
9、行车的总费用最低，最低费用的值为26元.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为3
10、2万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是_万元.【答案】37.5【解析】由题意知t1(1x0得32x(k1)3x20，解得k13x.又3x2(当且仅当3x，即xlog3 时，等号成立).所以k12，即k0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019孝感调研)“ab0”是“a
11、bb0，可知a2b22ab，充分性成立，由ab0且x1，lg x2B.0时，2D.当0x2时，x无最大值【答案】C【解析】对于A，当0x1时，lg x0时，22，当且仅当x1时等号成立；对于D，当01，y1，且lg x，2，lg y成等差数列，则xy有()A.最小值20 B.最小值200C.最大值20 D.最大值200【答案】B【解析】由题意得22lg xlg ylg (xy)，所以xy10 000，则xy2200，当且仅当xy100时，等号成立，所以xy有最小值200.4.设a0，若关于x的不等式x5在(1，)上恒成立，则a的最小值为()A.16 B.9 C.4 D.2【答案】C【解析】在(
12、1，)上，x(x1)12121(当且仅当x1时取等号).由题意知215.所以a4.5.(2019太原模拟)若P为圆x2y21上的一个动点，且A(1，0)，B(1，0)，则|PA|PB|的最大值为()A.2 B.2 C.4 D.4【答案】B【解析】由题意知APB90，|PA|2|PB|24，2(当且仅当|PA|PB|时取等号)，|PA|PB|2，|PA|PB|的最大值为2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件 B.80件 C
13、.100件 D.120件【答案】B【解析】设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，由基本不等式得220，当且仅当，即x80时取等号.7.若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4【答案】C【解析】依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立.因为，所以，即ab2(当且仅当a2，b2时等号成立)，所以ab的最小值为2.8.(2019衡水中学质检)正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，) B.(，3C.(，6 D.6，)【答案】D【解析】因为a0，b0，1，所以ab(
14、ab)1016，当且仅当，即a4，b12时取等号.依题意，16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立.又x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6.二、填空题9.函数y(x1)的最小值为_.【答案】22【解析】y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.【答案】8【解析】每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号
15、成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.11.已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.【答案】6【解析】因为x0，y0，所以9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y，即x3，y1时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，所以(t6)(t18)0，又因为t0，所以t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.12.已知直线mxny20经过函数g(x)loga x1(a0且a1)的定点，其中mn0，则的最小值为_.【答案】2【解析】因为函数g(x)loga x1(a0且a1)的定点(1，1)在直线mxny20上，所以mn20，即1.所以1122，当且仅当，
16、即m2n2时取等号，所以的最小值为2.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018江西师大附中月考)若向量m(a1，2)，n(4，b)，且mn，a0，b0，则log alog3 有()A.最大值log3 B.最小值log32C.最大值log D.最小值0【答案】B【解析】由mn，得mn0，即4(a1)2b0，2ab2，22，ab(当且仅当2ab时，等号成立).又log alog3 log alog blog (ab)log log3 2，故log alog3 有最小值为log3 2.14.(2019湖南师大附中模拟)已知ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC的三边长分别为a，b
17、，c，则的最小值为()A.2 B.2 C.4 D.22【答案】D【解析】因为ABC的面积为1，内切圆半径也为1，所以(abc)11，所以abc2，所以222，当且仅当abc，即c22时，等号成立，所以的最小值为22.15.(2017天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_.【答案】4【解析】a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号.16.已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.【答案】【解析】对任意xN*，f(x)3，即 3恒成立，即a3.设g(x)x，xN*，则g(x)x4，当x2时等号成立，又g(2)6，g(3)，g(2)g(3)，g(x)min.3，a，故a的取值范围是.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x，y满足xy1，则xy的取值范围为_，的最小值为_.【答案】(1，1)3【解析】正数x，y满足xy1，y1x，0x1，y1x，xy2x1，又0x1，02x2，12x11，即xy的取值范围为(1，1).112123，当且仅当xy时取“”；的最小值为3.14
